Комплексные числа Новоселов Яков 9 Д Евклид

Комплексные числа Новоселов Яков 9 Д

Евклид (325 г. До н. э. - 265 г. До н. э. ) Архимед (287 г. До н. э. - 212 г. До н. э. )

Исаак Ньютон (4 марта 1643 — 31 марта 1727 года) Гео рг Ка нтор (3 марта 1845 — 6 января 1918 года) Карл Вейерштрасс (31 октября 1815 — 19 февраля 1897 года)

Джероламо Кардано (24 сентября 1501 — 21 сентября 1576 года) Рафаэль Бомбелли (1526— 1572 года)

Карл Гаусс (30 апреля 1777 — 23 февраля 1855 года) Леонард Эйлер (4 апреля 1707 — 7 сентября 1783 года)

• «Мнимые числа – это прекрасное и чудесное убежище божественного духа, почти, что амфибия с небытием. » - Готфрид Лейбниц. • В 1747 году Эйлер нашел свою знаменитую формулу: eix = cosx + i∙sinx.

• Комплексные числа - расширение множества вещественных чисел, обычно обозначается. Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма , где и — вещественные числа, — мнимая единица. А+В∙i. i 2 = -1.

Операции с комплексными числами.

Сложение и вычитание комплексных чисел. • Суммой двух комплексных чисел А+В∙i и С+D∙i называется комплексное число (А+С) + (В+D)∙i, т. е. (А+В∙i) + (С+D∙i) = (А+С) + (В+D)∙i. • Вычитание комплексных чисел – это операция, обратная сложению: для любых комплексных чисел Z 1 и Z 2 существует, и при том только одно, число Z, такое, что: Z + Z 2 = Z 1. (А+В∙i)-(С+D∙i)=А+В∙i-С-D∙i.

Произведение и частное комплексных чисел. • Произведением двух комплексных чисел А+В∙i и С+D∙i называется комплексное число (А∙С-В∙D)+(А∙D+B∙C)∙i. • Нахождение частного вводится как операция, обратная умножению: Z ∙ Z 2 = Z 1. Разделив обе части на Z 2 получим: Z = Z 1 /Z 2. Из этого уравнения видно, что Z 2 ≠ 0.

Комплексная плоскость. Модулем комплексного числа называется длина вектора ОР, изображающего комплексное число на координатной плоскости. Модуль комплексного числа a + bi обозначается |a + bi| или буквой r и равен: r = |a + bi| = √ a 2 + b 2.

Тригонометрическая форма комплексного числа. Z = r ∙ ( cosΦ + i∙sinΦ). Эта запись называется тригонометрической формой комплексного числа. r = |Z| - модуль комплексного числа.

Показательная форма комплексного числа. Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа х выполнено следующее равенство: eix = cosx + i∙sinx.

Применение комплексных чисел.

Софья Ковалевская(1850 – 1891) Решила задачу о вращении твёрдого тела вокруг неподвижной точки.

Джеймс Уатт(1736 – 1819) Создал центробежные регуляторы.

Джеймс Максвелл(1831 – 1879) Стал автором первой работы о принципах действия автоматических регуляторах паровых машин.

Иван Вышнеградский(1831 – 1895) Заложил основы инженерной теории автоматического регулирования.

Эдвард Раус(1831 – 1907) Решил задачу об устойчивых многочленах.

Николай Жуковский(1847 – 1921) Вывел формулу для определения подъёмной силы крыла: W = 1/2 (z + 1/z).

Аурел Стодола(1859 – 1942) Создатель теории регулирования турбин .

Спасибо за внимание!