Компланарные векторы Правило параллелепипеда Векторы называются компланарными

Компланарные векторы. Правило параллелепипеда

Векторы называются компланарными, если при компланарными Другими словами, векторы называются Определение компланарных точки они откладывании их от одной и той жевекторов будут компланарными, если имеются равные им компланарными лежать в одной плоскости. векторы, лежащие в одной Любые два вектора компланарны. c a

Три вектора, среди которых Вывод: Компланарность трёх векторов имеются два коллинеарных, также компланарны. k c a

На рисунке изображен параллелепипед. Являются ли векторы ВВ 1, ОD и ОЕ компланарными? B 1 D Да, векторы ВВ 1, ОD и ОЕ компланарны C Е В О А

На рисунке изображен параллелепипед. Являются ли векторы ОА, ОВ и ОС B 1 компланарными? D ВЫВОД: Три произвольных вектора могут быть как компланарными, так и не компланарными. C Е В О А

Являются ли векторы AD, А 1 С 1 и D 1 B компланарными? D 1 A 1 C 1 B 1 Вектор D 1 В не лежит в этой плоскости. D C A B Векторы А 1 D 1, A 1 C 1 лежат в плоскости А 1 D 1 C 1.

Являются ли векторы AD и D 1 B компланарными? Любые два вектора компланарны. D 1 A 1 C 1 B 1 D C A B

№ 355 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1. Компланарны ли векторы? Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны. а) АА 1, СС 1, ВВ 1 С 1 А 1 D 1 В А С D

№ 355 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1. Компланарны ли векторы? Векторы АВ, АD и АА 1 не компланарны, так как вектор АА 1 не лежит в плоскости АВС С 1 б) АВ, АD, АА 1 В 1 А 1 D 1 В А С D

Сделаем выводы: Любые два вектора компланарны Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны. В решении вопроса о компланарности трёх векторов применим признак компланарности

С c = xa + yb В 1 Докажем, что векторы компланарны. А 1 В a c b А О Векторы ОА и ОВ лежат в одной плоскости ОАВ. ОА 1 = х ОА ОВ 1 = у ОВ Векторы ОА 1 и ОВ 1 также лежат плоскости ОАВ. А следовательно, и их сумма – вектор ОС = х ОА + у ОВ, равный вектору c

Справедливо и обратное утверждение. Признак компланарности ca b c Если векторы , и компланарны, а векторы Если вектор можно разложить по векторам a и b нет. е. представитьто вектор c = xa + yb a и b , коллинеарны, в виде c можно разложить по векторам a и где x и y – некоторые числа, тоb векторы a , b и c c = xa + yb , причем компланарны. коэффициенты разложения определяются единственным образом.

П О В Т О Р И М Сложение векторов. Правило треугольника. АВ + ВС = АС a+b b a

Сложение векторов. Правило параллелограмма. П О В Т О Р И М АВ + АD = АС a+b В b b a+b А a a D C

Сложение векторов. Правило многоугольника. П О В Т О Р И М АВ + ВС + СD + DO = АO n m a m c c a m+n a+c+ n

Правило параллелепипеда. из Δ OED OA + OB + OC == OD из Δ OAE OD = OE + ED = (OA + AE) + ED = OA + OB + OC = D =a+b+c В 1 С c Е A В О a b

№ 358 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: АВ + АD + АА 1= AC 1 D 1 A 1 C 1 B 1 D A С В

№ 358 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: DА + DC + DD 1 = DB 1 D 1 A 1 C 1 B 1 D A С В

№ 358 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: A 1 B 1 + C 1 B 1 + BB 1 D 1 A 1 C 1 B 1 D A С В DC + DA + DD 1 = DB 1

№ 358 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: A 1 A + A 1 D 1 + AB D 1 A 1 C 1 B 1 D A С В A 1 A + A 1 D 1 + A 1 B 1 = A 1 C

№ 358 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1. Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов: B 1 A 1 + BB 1 + BC D 1 A 1 C 1 B 1 D A С В BA + BB 1 + BC = BD 1

№ 359 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1. Разложите вектор BD 1 по векторам BA, ВС и ВВ 1. По правилу параллелепипеда D 1 A 1 C 1 B 1 D A С В ВD 1 = BA + BC + BB 1

№ 359 Дан параллелепипед АВСA 1 B 1 C 1 D 1. Разложите вектор B 1 D 1 по векторам А 1 A, А 1 В и А 1 D 1. По правилу треугольника из D 1 A 1 А 1 В 1 D 1: C 1 В 1 D 1 = B 1 A 1+ А 1 D 1 = из B 1 Δ А 1 В 1 B = (В 1 B + BA 1)+ А 1 D 1 = = (A 1 A – A 1 B)+ А 1 D 1 = D A С В = A 1 A – A 1 B+ А 1 D 1