КОМБИНАТОРИКА (теория соединений)
Итак напомню, что упорядоченным (счетным) множеством называется такое множество, в котором каждому его элементу поставлено в соответствие число (номер элемента) от 1 до n, где n - число элементов множества, так, что различным элементам соответствуют различные числа. Упорядоченные множества считаются различными, если они отличаются либо своими элементами, либо их порядком.
ПЕРЕСТАНОВКИ Перестановками данного множества называются различные упорядоченные множества, которые отличаются лишь порядком входящих в них элементов. Пример. Перестановки множества А=(а, b, с) из трех элементов имеют вид (а, b, с), (а, с, b) (b, а, с) (b, с, а), (с, а, b), (с, b, а).
Пусть множество A имеет n элементов. Обозначим число его перестановок через Рn. Тогда Pn=n! (принимаем без доказательства) Напоминаю, произведение первых n натуральных чисел обозначают n! (читается «эн факториал» ).
Итак, упорядоченное расположение исходного множества называется перестановкой из n элементов и обозначается P- первая буква французского слова permutation (пермютасион - перестановка).
Задача Сколькими способами можно разместить на полке 4 книги (обозначим их a, b, c, d). Решение Искомое число способов равно числу способов упорядочения множества, состоящего из четырех элементов: Р 4 = 1 • 2 • 3 • 4 = 24.
Сочетаниями из n элементов по m называются комбинации элементов, отличающиеся друг от друга Порядок элементов в комбинации не имеет значения. Пример. Сочетаниями из трех элементов (а, b, c) по 2, будут (а, b), (а, с) , (b, с).
Число всех сочетаний из n различных элементов по т обозначается Читается: «число сочетаний из n по т» . С - первая буква французского слова combinaison (комбинесон - сочетание).
Число всех сочетаний из n различных элементов по m равно Основные свойства сочетаний
Задача. Сколькими способами читатель может выбрать 3 книги из 5? Решение. Искомое число способов равно числу сочетаний из пяти по три:
Задача. В турнире принимали участие n шахматистов, и каждые два шахматиста встретились один раз. Сколько партий было сыграно в турнире? Решение. Партий было сыграно столько, сколько можно выделить двухэлементных комбинаций в множестве из n элементов, т. е.
Число сочетаний из n элементов по m еще называют биномиальным коэффициентом, т. к. с его помощью вычисляются коэффициенты при возведении в степень следующего выражения что есть не что иное, как бином (двучлен) Ньютона
Формула для вычисления Число сочетаний применяется также при определении вероятности случайного события, но об этом уже в следующей лекции
Размещениями из n элементов по m называются комбинации элементов, которые отличаются друг от друга самими элементами или их порядком. Пример. Размещения из трех элементов (а, b, с) по два: (a, b), (a, c), (b, c) (b, a), (c, b)
Итак, Число всех размещений из n элементов по m обозначают Читается: «число размещений из n по т» . A – первая буква французского слова arrangement (арранжеман - размещение).
Итак, размещение из n элементов по m - есть упорядоченное m-элементное подмножество множества из n элементов и равно Задача. Сколькими способами можно рассадить 4 учащихся на 25 нумерованных местах? Решение. Искомое число способов равно числу размещений из 25 по 4:
Скачать презентацию КОМБИНАТОРИКА теория соединений Итак напомню что упорядоченным
КОМБИНАТОРИКА.ppt