Комбинаторика решение задач Основные правила комбинаторики

Комбинаторика (решение задач)

Основные правила комбинаторики • Правило суммы: Есть два множества: множество A содержит n элементов, множество B содержит m элементов. Выбрать какой-либо элемент из множества A или из множества B можно (m+n) способами. • Правило произведения: Есть два множества: множество A содержит n элементов, множество B содержит m элементов. Выбрать пару элементов, по одному из каждого множества можно m*n способами.

Основные типы комбинаций • Перестановки - это такие комбинации, которые различаются между собой лишь порядком следования элементов. • Размещения – это такие комбинации, которые различаются между собой либо порядком следования элементов, либо их составом. • Сочетания – это такие комбинации, которые различаются между собой лишь составом элементов.

Сводная таблица Комбинации Перестановки Размещения Сочетания Порядок Состав Повторения Формула

Задача 1. У Кати 2 кофты и 3 юбки – все разного цвета. Может ли Катя в течение 7 дней недели надевать каждый день разные костюмы?

Задача 1 Не может

Задачи для самостоятельного решения. 1. Сколько различных «слов» можно составить из букв «к» , «о» , «т» ? 2. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из нечетных цифр, причем цифры в числе не должны повторяться? 3. Сколько можно составить различных трехзначных чисел, которые делятся на « 5» ?

Задача 2 Сколькими способами можно составить трехцветный флаг (три горизонтальные цветные полосы равной ширины), если имеется материал трех различных цветов: красный белый, синий.

Задача 2 (1 способ) Выбираем цвет для первой полосы: Выбираем цвет для второй полосы: Пришиваем третью полосу: 3 * 2 * 1 = 6

Задача 2 (2 способ) Выбираем расположение для красной полосы: Выбираем расположение для синей полосы: Пришиваем белую полосу на оставшееся место: 3 * 2 * 1 = 6

Задача 2 (3 способ) Определим, к какому виду комбинаций относятся полученные расположения полос: 1) Флаги различаются порядком следования цветов. 2) Для составления флага каждый раз используются одни и те же цвета, значит, состав в комбинации не меняется. Вывод: перестановки 3) Цвета не могут повторяться. Вывод: перестановки без повторений. Формула: Основные формулы комбинаторики

Задачи для самостоятельного решения 1) Имеется материал пяти различных цветов: красный, белый, синий, зеленый, желтый. 2) Имеется материал пяти различных цветов и одна из полос должна быть обязательно красной.

Задача 3 Имеются 3 одинаковые туристические путевки. Сколькими способами их можно распределить среди 5 желающих.

Задача 3 (способ 1) Комбинации 10101 11100 • Порядок меняется • Состав не меняется • Есть повторяющиеся элементы Вывод: перестановки с повторениями

Задача 3 (способ 2) Комбинации Оля Саша Миша Аня Юля Миша • Порядок не важен • Состав меняется • Повторения не допустимы Вывод: сочетания без повторений ОМЮ САМ Основные формулы комбинаторики

Задачи для самостоятельного решения 1) Имеются 3 одинаковые путевки. Сколькими способами их можно распределить среди 5 желающих (3 девочки, 2 мальчика) так, чтобы среди получивших было больше девочек. 2) Имеются 3 различные путевки (в Египет, в Лютово, в профилакторий). Сколькими способами их можно распределить среди 5 желающих.

Задача 4 Сколькими способами из колоды карт в 36 листов можно выбрать 5 карт: 1) любых 2) так чтобы в этом наборе был 1 туз 3) так чтобы в этом наборе был хотя бы 1 туз 4) так чтобы в этом наборе все карты были одной масти 5) так чтобы в этом наборе 3 карты были одной масти и 2 карты другой масти 6) так чтобы в этом наборе было бы точно 2 туза, 1 дама, 1 бубновая карта.

Задача 4. 1 Сколькими способами из колоды карт в 36 листов можно выбрать 5 любых карт. Составим несколько комбинаций: 1. Порядок не важен 2. Состав меняется 3. Одинаковых карт нет Вывод: сочетания без повторений Основные формулы комбинаторики

Задача 4. 2 Сколькими способами из колоды карт в 36 листов можно выбрать 5 карт так чтобы в этом наборе был 1 туз. Колода 36 карт Нужно взять 5 карт 143840 32 другие карты 4 туза 1 туз 4 другие карты

Задача 4. 3 (1 способ) Сколькими способами из колоды карт в 36 листов можно выбрать 5 карт так чтобы в этом наборе был хотя бы1 туз. Хотя бы один туз означает, что тузов может быть 1, 2, 3 Итого: 143840+29760+1984+32=175616 или все 4. Количество тузов 1 2 3 4 тузы другие карты Общее количество способов

Задача 4. 3 (2 способ) Сколькими способами из колоды карт в 36 листов можно выбрать 5 карт так чтобы в этом наборе был хотя бы1 туз. Противоположное событие: тузов нет. Тогда все 5 карт нужно взять из части колоды, не содержащей тузов: Количество способов взять хотя бы 1 туза:

Задача 4. 4 Сколькими способами из колоды карт в 36 листов можно выбрать 5 карт так, чтобы в этом наборе все карты были одной масти. Всего в колоде 4 масти. Карт каждой масти – 9. Определим, сколькими способами можно взять все 5 карт масти червей: Столькими же способами можно взять все 5 карт масти пик, масти бубей, масти крестей. Итого:

Задача 4. 5 Сколькими способами из колоды карт в 36 листов можно выбрать 5 карт так, чтобы в этом наборе 3 карты были одной масти и 2 карты другой масти 1. Определим, сколькими способами можно взять 3 карты масти червей и 2 карты масти пик: 2. Сколькими способами можно выбрать 2 масти: 1) порядок важен: 3 ч2 п, 3 п 2 ч 2) состав меняется: 3 ч2 п, 3 б 2 к 3) повторения не допустимы, т. к. в этом случае все 5 карт будут одной масти. 3. Итого: Основные формулы комбинаторики

Задача 4. 6 Сколькими способами из колоды карт в 36 листов можно выбрать 5 карт так, чтобы в этом наборе было бы точно 2 туза, 1 дама, 1 бубновая карта. Бубновая карта может быть: 1) Тузом 2) Дамой 3) Другой картой

Задача 4. 6 (1 шаг) Сколькими способами из колоды карт в 36 листов можно выбрать 5 карт так, чтобы в этом наборе было бы точно 2 туза, 1 дама, 1 бубновая карта. Пусть бубновая карта – дама. 1) Дама выбирается 1 способом. 2) 2 туза выбираются из 3 не бубновых тузов: 3) 2 другие карты выбираются из не бубновых карт, не являющихся тузами и дамами: Итого:

Задача 4. 6 (2 шаг) Сколькими способами из колоды карт в 36 листов можно выбрать 5 карт так, чтобы в этом наборе было бы точно 2 туза, 1 дама, 1 бубновая карта. Пусть бубновая карта – туз. 1) Дама может быть любой, но не бубновой масти. 2) 1 туз выбираются из 3 не бубновых тузов: а второй туз обязательно бубновой масти: 1 3) 2 другие карты выбираются из не бубновых карт, не являющихся тузами и дамами: Итого:

Задача 4. 6 (3 шаг) Сколькими способами из колоды карт в 36 листов можно выбрать 5 карт так, чтобы в этом наборе было бы точно 2 туза, 1 дама, 1 бубновая карта. Пусть бубновая карта – не туз и не дама. 1) Дама может быть любой, но не бубновой масти. 2) 2 туза выбираются из 3 не бубновых тузов: 3) 1 другая карта выбираются должна быть бубновой масти последняя карта не должна быть бубновой Итого: Ответ: 630+1890+1323=3843