КОМБИНАТОРИКА Основные понятия определения и решение задач Составитель

КОМБИНАТОРИКА Основные понятия, определения и решение задач. Составитель учитель математики МАОУ СОШ № 40 САЛИЙ ВАЛЕНТИНА ПАВЛОВНА

Что изучает комбинаторика? • В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Такие задачи получили название комбинаторных задач, а раздел математики, в котором рассматриваются подобные задачи, называют комбинаторикой. Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова combinare, которое означает «соединять, сочетать» .

Пример 1 • Из группы теннисистов, в которую входят четыре человека – Антонов, Григорьев, Сергеев и Федоров, тренер выделяет пару для участия в соревнованиях. Сколько существует вариантов выбора такой пары?

Решение • Составим сначала все пары, в которые входит Антонов (для краткости будем писать первые буквы фамилий). Получим три пары : АГ, АС, АФ. Выпишем пары, в которые входит Григорьев, но не входит Антонов : ГС, ГФ. Далее составим пары, в которые входит Сергеев, но не входят Антонов и Григорьев : СФ. Других вариантов нет. Итак, получили шесть пар : АГ, АС, АФ, ГС, ГФ, СФ. • Способ рассуждений, которым решена задача, называют перебором возможных вариантов.

Пример 2 • Четыре ученика класса Миша, Саша, Алёша, Таня углублённо изучают математику. На математическую олимпиаду требуется послать двух учеников. Сколькими способами это можно сделать?

Пример 3 • В меню столовой три первых блюда А 1 , А 2 А 3, два вторых В 1, В 2 и три сока С 1, С 2, С 3. Сколько вариантов комплексного обеда можно составить из этих блюд?

Решение

Решите задачи • № 1 У Ирины пять подруг: Вера, Зоя, Марина, Полина и Светлана. Она решила двух из них пригласить в кино. Укажите все возможные варианты выбора подруг. Сколько таких вариантов? • № 2 Стадион имеет четыре выхода: А, В, С, Д. Укажите все возможные способы, какими посетитель может войти через один выход , а выйти через другой. Сколько таких способов?

№ 3 Из цифр 1, 2, 3 составьте все возможные двузначные числа при условии, что: а) цифры в числе не повторяются; б) допускается повторение цифр в числе.

Решение задач • № 1. ВЗ, ВМ, ВП, ВС; ЗМ, ЗП, ЗС; МП, МС; ПС. Всего 10 вариантов. • № 2 АВ, АС, АД; ВС, ВД, СД; ВА, СА, ДА, СВ, ДС. Всего 12 вариантов. • № 3 а)12, 13, 21, 32. • б) 11, 12, 13, 22, 21, 23, 31. 32, 33.

Пример 4 • В посёлке имеется 5 светофоров. Каждый может находиться в одном из трёх состояний (гореть красным, зелёным или жёлтым светом). Сколькими способами можно зажечь все светофоры?

Решение • Первый светофор может быть включён тремя разными способами. Для каждого способа включения первого светофора можно получить 3 способа включения второго светофора, т. е. будем иметь 3 • 3 способов включения двух светофоров. Из всякого способа включения двух светофоров снова можно получить три способа включения третьего светофора, изменяя его состояние, всего получаем 3 • 3 способов включения трёх светофоров. При включении каждого нового светофора число способов увеличивается в три раза. Значит, пять светофоров могут быть включены 3 • 3 • 3 = З 5 способами. Ответ: 243 способа.

Правила сложения и умножение • Задачи комбинаторики решаются проще, если использовать комбинаторные правила сложения и умножения. Пусть даны два непересекающихся множества элементов: А ={a 1 а 2, . . , аn} и B ={Ь 1, Ь 2, . . , Ьn }.

Правило сложения. • Если элемент а(а ϵ А) может быть выбран n способами, а элемент Ь(Ь ϵ В) может быть выбран m способами, то число способов, которыми можно выбрать один элемент из множества А или множества B, равно сумме n + m.

Пример 5 • В одном классе 25 учеников, в другом — 27 учеников. Сколькими способами можно выбрать одного ученика из двух классов?

Решение • Решение. 25 + 27 = 52. Ответ: 52.

Пример 6 • Для проезда из города М в город N можно воспользоваться 5 автобусными маршрутами или 3 железнодорожными. Сколькими способами можно проехать из города М в город N?

Решение • Решение. По формуле сложения количество способов равно сумме 5 + 3 = 8. Ответ: 8.

Правило умножения (основное правило комбинаторики). • Если элемент а(а ϵ А) может быть выбран n способами, а элемент b (b ϵ В) после каждого выбора элемента а может быть выбран m способами, то число способов, которыми можно выбрать пару элементов а и b в указанном порядке по одному из каждого множества, равно произведению n • m.

Пример 7 • В одном классе 25 учеников, в другом — 27 учеников. Сколькими способами можно выбрать двух учеников по одному из каждого класса?

Решение • Одного ученика первого класса можно выбрать 25 способами, а второго класса — 27 способами. Двух учеников по одному из каждого класса (по правилу умножения) можно выбрать 25 • 27 способами; 25 • 27 = 675. Ответ: 675.

Пример 8 • На книжной полке стоит 6 исторических романов и 4 приключенческих. Сколькими способами можно взять с полки 2 книги разных жанров?

Решение • По правилу умножения существует 6 • 4 способов взять с полки 2 книги разных жанров. Ответ: 24.

Правило умножения в общем виде. • Пусть имеем n элементов, из которых требуется выбрать один за другим некоторые k элементов. Если первый элемент можно выбрать n 1 способами, после чего второй элемент можно выбрать n 2 способами, затем третий элемент — n 3 способами и т. д. , то число способов, которыми могут быть выбраны все k элементов, равно произведению n 1 • n 2 • n 3 • . . . • nk.

Пример 9 • Собрание из 30 человек должно выбрать председателя и секретаря. Сколькими способами это можно сделать?

Решение • Председателем собрания можно выбрать 30 способами, после чего секретаря — 29 способами (из 29 оставшихся членов собрания). По правилу умножения существует 30 • 29 способов выбора председателя и секретаря. 30 • 29 = 870. Ответ: 870.

Пример 10 • Сколькими способами можно рассадить 5 гостей за праздничным столом, если приготовлено 8 мест?

Решение • Для первого гостя имеется 8 возможностей выбрать место. После выбора места первым, для второго гостя остаётся 7 возможностей, аналогично для третьего гостя — 6 возможностей (из 6 свободных мест), для четвёртого — 5 вариантов, для пятого — 4. По правилу умножения получаем 8 • 7 • 6 • 5 • 4 = 6720 способов рассадить гостей. Ответ: 6720.

Пример 11 • Из 10 членов шахматного кружка требуется составить команду из 3 человек для участия в соревнованиях. Сколькими способами это можно сделать?

Решение • Первого члена команды (на первую доску) можно выбрать 10 способами, после чего второго (на вторую доску) — 9 способами, а третьего (на третью доску) — 8 способами. Всего получаем 10 • 9 • 8= 720 вариантов выбора трёх шахматистов из десяти. Ответ: 720.

Перестановки • Перестановкой называется конечное множество, в котором установлен порядок его элементов. Число перестановок из n элементов обозначают символом Рn (от французского слова permutation — «перестановка» ).

Формула для вычисления перестановок • Число перестановок из n элементов равно произведению всех натуральных чисел от 1 до n; • Рn = n!.

Пример 12 • Сколькими способами семья из 5 человек может занять пять спальных мест в пятиместном гостиничном номере?

Решение • Р 5=1 • 2 • 3 • 4 • 5 = 120. • Ответ: 120.

Пример 13 • Каким числом способов 8 человек могут находиться в очереди?

Решение • Р 8=1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 8 = 40 320. Ответ: 40 320.

Пример 14 • Сколько различных четырёхзначных чисел можно составить из цифр 9, 7, 5, 0, если в каждом числе все цифры должны быть разными?

Решение • Если бы среди данных цифр не было нуля, то количество составленных из них четырёхзначных чисел (без повтора цифр в каждом числе) было бы равно количеству перестановок из 4 элементов: • Р 4 = 1 • 2 • 3 • 4 = 24. • Целое число не может начинаться цифрой 0. Среди найденных 24 чисел с цифры 0 будет начинаться столько чисел, сколько существует перестановок из 3 элементов (цифр 9, 7, 5): Р 3 = 1 • 2 • 3 = 6. • Значит, четырёхзначных чисел, составленных из данных цифр, будет Р 4 - Р 3 = 24 - 6 = 18. Ответ: 18.

Пример 15 • 9 мальчиков купили 9 билетов в театр. Сколькими способами они могут занять 9 кресел в театральном ряду, если Миша, Петя и Ваня обязательно хотят сидеть рядом (в любом порядке).

Решение • Будем считать трёх неразлучных друзей (Мишу, Петю и Ваню) как один элемент общей компании, а три занятых ими кресла — как одно место. Тогда можем считать, что размещаем 7 человек в 7 креслах. Это можно сделать столькими способами, каково число перестановок из 7 элементов: Р 7 =1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 = 5040. • В то же время трое друзей (Миша, Петя и Ваня) в своих трёх креслах могут распределиться Р 3 способами • Р 3 = 1 • 2 • 3 = 6. • Таким образом, каждой перестановке из 7 элементов соответствует любая перестановка из трёх элементов. Всего перестановок по правилу умножения будет • Р 7 • Р 3 = 5040 • 6 = 30 240. • Ответ: 30 240.

Размещения

Обозначение

Формула для вычисления размещений

Пример 16 • Учащиеся класса изучают 11 различных предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нём было 5 различных предметов?

Пример 17 • Сколько четырёхзначных чисел можно составить из нечётных цифр, если все цифры в числе различны?

Пример 18 • Сколькими способами 10 человек могут занять четыре кресла, имеющиеся в комнате?

Пример 19 • В одиннадцатом классе 25 учащихся. На выпускном вечере ребята обменялись друг с другом фотокарточками. Сколько всего было роздано фотокарточек?

Сочетания • Сочетанием из n элементов по k называется любое множество, составленное из k элементов, выбранных из данных п элементов. В отличие от размещений, сочетания различаются только элементами, и не имеет значения, в каком порядке заданы элементы. • Например, {а, Ь, с} и {Ь, с, а} — одно и то же сочетание.

Формула для вычисления сочетаний

Пример 20 • В вазе стоят 10 красных и 5 белых роз. • а) Сколькими способами можно составить букет из 3 роз? • б) Сколькими способами можно составить букет из 1 красной и 2 белых роз?

Пример 21 • Из 9 мальчиков и 11 девочек спортивного класса для участия в соревнованиях надо составить команду, в которую должны входить 3 мальчика и 3 девочки. Сколькими способами это можно сделать?

Решение

Пример 22 На витрине магазина выставлено 6 сортов сыра и 5 видов йогурта. Покупателю требуется 2 куска сыра разных сортов и 3 йогурта разного вида. Сколькими способами покупатель может составить свою покупку?

Решение

Решите задачи • 1. Для проезда из города М в город N можно воспользоваться 5 автобусными маршрутами или 3 железнодорожными. Сколькими способами можно проехать из города М в город N? • 2. Из города А в город С можно проехать лишь с пересадкой в городе Б. Из А в Б существуют 3 автобусных маршрута и 2 железнодорожных. Из Б в С можно проехать 4 поездами или 2 автобусами. Сколько существует вариантов проезда из города А в город С? • 3. Из 5 первокурсников, 7 второкурсников и 10 третьекурсников надо выбрать трёх студентов на конференцию. Сколькими способами это можно сделать, если студенты должны быть разных курсов?

Решение задач • 1. По формуле сложения количество способов равно сумме 5 + 3 = 8. Ответ: 8. • 2. Из А в Б можно проехать 3 + 2 = 5 способами, а из Б в С — 6 способами (4 + 2 = 6). По формуле умножения из А в С можно проехать 5 • 6 = 30 способами. Ответ: 30. • 3. По теореме умножения получаем 5 • 7 • 10 = 350 способов. Ответ: 350.

Решите задачи • 4. Сколькими способами можно расставить на полке 10 различных книг? • 5. На полке стоит 8 разных книг по математике и 2 разные книги по физике. Сколькими способами можно расставить эти книги, если книги по физике должны стоять рядом? • 6. Сколькими способами можно расставить на полке 7 различных книг так, чтобы определённые три книги стояли рядом? • 7. Сколькими способами можно расставить на полке 7 различных книг, чтобы определённые 3 книги не стояли рядом?

Решение задач 4, 5 • 4. Количество способов равно числу перестановок из 10 элементов. Р 10 = 10! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 8 • 9 • 10 = 3 628 800. Ответ: 3 628 800. • 5. Будем рассматривать 2 книги по физике как одну книгу. Тогда 9 книг можно расставить Р 9 способами. Далее 2 книги по физике можно в каждом случае поставить двумя разными способами. По правилу умножения общее количество вариантов равно 2 • Р 9 = 2 • 9! = 2 • 1 • 2 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 8 9 = 725 760. Ответ: 725 760.

Решение задачи 6 • Если 3 указанные книги рассматривать как одну книгу, то 5 книг (7 -3 + 1 = 5) можно расставить Р 5 способами. Затем для каждого полученного способа имеем Р 3 способов расстановки 3 книг. По правилу умножения всего будет Р 5 • Р 3 вариантов расстановки книг согласно условию задачи. Р 5 • Р 3 = 5! • 3! = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 1 • 2 • 3 = 720. Ответ: 720.

Решение задачи 7 • 7 книг можно расставить на полке Р 7 способами; Р 7 = 1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 = 5040. В 720 случаях указанные книги будут стоять рядом (см. задачу 6). Значит, в остальных случаях будут выполняться условия данной задачи. 5040 - 720 = 4320. Ответ: 4320.

Решите задачи • 8. Сколькими способами можно рассадить 4 учащихся на 20 местах? • 9. Требуется распределить 4 путевки на 4 различные турбазы среди 9 работников. Каким количеством способов можно это сделать? • 10. Сколько трёхзначных чисел можно составить из цифр 9, 8, 7, 6, 2, если цифры в числе не повторяются? • 11. Ученики 6 класса изучают 11 различных учебных предметов. Сколькими способами можно составить расписание из 5 различных предметов на понедельник, если математика должна быть вторым уроком? • 12. Сколькими способами можно рассадить 6 пассажиров в разные вагоны (по одному в вагон), если в составе поезда 11 вагонов?

Задача 8 Задача 9 Задача 10

Задача 11 3 адача 12

Задача 13 • Сколько существует пятизначных чисел с неповторяющимися цифрами, которые делятся на 10?

Способы решения задачи 13

Задача 14 • Сколько существует двузначных чисел с неповторяющимися цифрами, у которых обе цифры чётные?

Задача 15 • Из 16 рабочих надо выделить 5 для выполнения некоторой работы. Сколькими способами это можно сделать?

Задача 16 • На плоскости даны 9 точек, никакие 3 из них не лежат на одной прямой. Сколько прямых можно провести, соединяя точки попарно?

Задача 17 • Сколькими способами можно составить букет из 5 цветков, если имеем 8 ромашек и 7 васильков?

Задача 18 • Сколькими способами можно разделить группу из 15 человек на 2 группы так, чтобы в одной было 10 человек, а в другой — 5?

Задача 19 • Сколькими способами читатель библиотеки может выбрать 3 книги из 5 предложенных библиотекарем?

Задача 20 • В турнире принимали участие 15 шахматистов, и каждые 2 шахматиста встретились один раз. Сколько партий было сыграно в турнире?

Задача 21 • Сколько можно составить из простых делителей числа 2730 составных чисел, которые содержат только три простых делителя?

Задача 22 • В коробке лежит 12 синих и 8 красных карандашей. Сколькими способами можно выбрать 3 синих и 2 красных карандаша?

Задача 23 • Сколькими способами можно отправить 15 школьников в 3 спортивных лагеря, если в один из них могут принять 8 школьников, во второй — 3, а в третий — 4 школьника?

Решение задачи 23

Задача 24 • Сколькими способами можно разделить 10 билетов в кино, 4 билета в театр и 3 билета в цирк среди 17 человек?

Решите задачи • 25. Сколько четырехзначных чисел, кратных 10, можно составить из цифр 0, 5, 7, 8, и 9? • 26. Сколькими различными способами можно назначить двух ребят на дежурство в столовой, если в классе 24 учащихся? • 27. Сколькими различными способами могут распределиться призовые места ( первое, второе, третье ) между пятью велогонщиками?

Решите задачи • 28. Сколько различных четырехзначных чисел можно составить с использованием нечетных цифр, если цифры в числе не повторяются? • 29. Сколько различных трехзначных чисел, кратных пяти, можно составить из нечетных цифр, если цифры в числе не могут повторятся?

Решите задачи • 30. Секретный замок состоит из трех барабанов, на каждом из которых набирается одна из цифр от 0 до 9. Сколько существует способов выбрать код этого замка, если владелец использует только нечетные цифры, которые могут повторятся? • 31. Сколько существует трехзначных чисел, в записи которых нет цифры 3?

Ответы • • 25. 100 26. 276 27. 60 28. 120 29. 12 30. 125 31. 648