Комбинаторика Егорова Наталья Павловна МПК, г. Мурманск
Соединения Термином «соединения» будем называть три вида комбинаций, составляемых из некоторого числа различных элементов, принадлежащих одному и тому же множеству (например: буквы алфавита, книги в библиотеке, машины на стоянке и т. д. )
Соединения Перестановки Размещения Сочетания
Перестановки Возьмем n различных элементов a₁, a₂, a₃…aռ Будем переставлять их всеми возможными способами, сохраняя их количество и меняя лишь порядок их расположения. Каждая из полученных таким образом комбинаций называется перестановкой. Общее количество перестановок из n элементов обозначается Pռ. Это число равно произведению всех целых чисел от 1 до n.
Перестановки Символ n! (называется факториал) – это сокращенная запись произведения заметим, что
Перестановки Пример Проказница Мартышка Осел, Козел, Да косолапый Мишка Затеяли играть квартет … Стой, братцы стой! – Кричит Мартышка, - погодите! Как музыке идти? Ведь вы не так сидите… И так, и этак пересаживались музыканты из басни Крылова – опять музыка на лад не идет. Вероятно они так и не перепробовали всех возможных мест. Однако способов не так уж и много. Сколько? Здесь идет перестановка из четырех, значит, возможно P 4=4!=24 варианта перестановок.
Размещения Будем составлять группы из m различных элементов, взятых из множества, состоящего из n элементов, располагая эти m взятых элементов в различном порядке. Полученные комбинации называются размещениями из n элементов по m Их общее количество обозначается и может быть вычислено по формуле
Размещения Пример Сколькими способами 4 юноши могут пригласить четырех из шести девушек на танец? Решение: два юноши не могут одновременно пригласить одну и ту же девушку. И варианты, при которых одни и те же девушки танцуют с разными юношами считаются, разными, поэтому: Возможно 360 вариантов
Сочетания Будем составлять группы из m различных элементов, взятых из множества, состоящего из n элементов, не принимая во внимание порядок расположения этих m элементов. Тогда мы получим сочетания из n элементов по m. Их общее количество обозначается и может быть вычислено по формуле
Правило суммы для непересекающихся множеств Если объект А может быть выбран n способами, а объект В – k способами, то выбор или А или В может быть осуществлен n + k способами, при условии, что множества способов n и k не пересекаются Пример Ученик должен выполнить практическую работу по математике. Ему предложили на выбор 17 тем по алгебре и 13 тем по геометрии. Сколькими способами он может выбрать одну тему для практической работы? Решение: А=17, В=13 По правилу суммы А U В=17+13=30 тем.
Правило произведения Если объект А может быть выбран n способами, а объект В – k способами, то выбор А и В может быть осуществлен nk способами Пример Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый и коричневые переплеты. Сколькими способами он может это сделать? Решение: Имеется 12 книг и 3 цвета, значит по правилу произведения возможно 12*3=36 вариантов переплета.
Задачи 1. Сколько различных шестизначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, если цифры в числе не повторяются? Ответ 600 2. Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр каждый, так чтобы все цифры были различны? Ответ 151 200 3. Для участия в подготовке мероприятия требуется 5 студентов. Группа состоит из 16 студентов. Сколькими способами можно выбрать этих 5 студентов. Ответ 4368 4. В палитре имеется 5 оттенков красного цвета, 6 оттенков зеленого и 10 оттенков синего цвета. Сколькими способами можно выбрать один оттенок красного цвета и один оттенок зеленого. Ответ 16 5. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево? Ответ 900
Сочетания Пример Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр. Решение: Так кнопки нажимаются одновременно, то выбор этих трех кнопок – сочетание Возможно 120 вариантов
Правило суммы для пересекающихся множеств Если объект А может быть выбран n способами, а объект В – k способами, то выбор или А или В может быть осуществлен n + k - nk способами, при условии, что множества способов n и k пересекаются Пример 20 человек знают английский и 10 - немецкий, из них 5 знают и английский, и немецкий. Сколько Человек всего? Ответ: 10+20 -5=25 человек.
Домашнее задание 1. Сколько существует способов рассадить 10 студентов за 10 компьютеров. 2. У одного человека 7 книг по математике, а у второго – 9. Сколькими способами они могут обменять друг у друга две книги на две книги. 3. Сколько перестановок можно сделать из букв слова «Москва» . 4. Сколько может быть случая выбора 2 карандашей и 3 ручек из пяти различных карандашей и шести различных ручек? 5. На ферме есть 20 овец и 24 свиньи. Сколькими способами можно выбрать одну овцу и одну свинью? Если такой выбор уже сделан, сколькими способами можно сделать его еще раз? 6. Сколько существует пятизначных чисел, у которых все цифры различны? 7. При игре в домино 4 игрока делят поровну 28 костей. Сколькими способами они могут это сделать?
Скачать презентацию Комбинаторика Егорова Наталья Павловна МПК г Мурманск
Комбинаторика.pptx