Комбинаторика Что такое комбинаторика Комбинаторика раздел

Комбинаторика

Что такое комбинаторика? Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова «combinare» , что в переводе на русский означает – «сочетать» , «соединять» . Термин "комбинаторика" был введён знаменитым Готфридом Вильгельмом Лейбницем, всемирно известным немецким учёным.

Задача Эйлера Одной из наиболее известных комбинаторных задач является задача Леонарда Эйлера о мостах города Кенигсберг. Определить, можно ли обойти все эти семь мостов, проходя через каждый только однажды, или нельзя.

Основные вопросы комбинаторики 1. Существует ли комбинация, отвечающая заданным условиям. 2. Если такая комбинация существует, то подсчитать сколько их.

Основные правила комбинаторики • Правило суммы: Есть два множества: множество A содержит n элементов, множество B содержит m элементов. Выбрать какой-либо элемент из множества A или из множества B можно (m+n) способами. • Правило произведения: Есть два множества: множество A содержит n элементов, множество B содержит m элементов. Выбрать пару элементов, по одному из каждого множества можно m*n способами.

Решение задач В пенале лежат 3 ручки: красная, синяя, зеленая и 2 карандаша: простой и цветной. Сколькими способами можно взять 1 предмет из пенала? Решение: Перечислим все возможные варианты: 3+2=5

Решение задач В пенале лежат 3 ручки: красная, синяя, зеленая и 2 карандаша: простой и цветной. Сколькими способами можно взять 2 предмета: ручку и карандаш из пенала? Решение: Перечислим все возможные варианты (комбинации): 3*2=6

Решение задач Сколько может быть различных комбинаций выпавших граней при бросании двух игральных костей? Решение: На первой кости может быть: 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков, т. е. 6 вариантов. На второй – 6 вариантов. Всего: 6*6=36 вариантов. Правила суммы и произведения верны для любого количества объектов.

Выберите правило № 1. Из города А в город В ведут 5 дорог, а из города В в город С – 3 дороги. Сколькими способами можно проехать из города А в город С? № 2. На книжной полке стоят 3 книги по алгебре, 4 по геометрии и 5 по литературе. Сколькими способами можно взять с полки одну книгу по математике? № 3. В меню имеется 4 первых блюда, 3 – вторых, 2 – десерта. Сколько различных обедов можно из них составить?

Основные типы комбинаций • Перестановки - это такие комбинации, которые различаются между собой лишь порядком следования элементов. • Размещения – это такие комбинации, которые различаются между собой либо порядком следования элементов, либо их составом. • Сочетания – это такие комбинации, которые различаются между собой лишь составом элементов.

«Квартет» «Проказница-Мартышка, Осел, Козел Сколькими различными Да косолапый Мишка способами могут сесть Затеяли сыграть Квартет. музыканты? Достали нот, баса, альта, две скрипки И сели на лужок под липки, Любой из четырех зверей Пленять своим искусством свет. Ударили в смычки, дерут, а толку нет. Любой из трех других зверей "Стой, братцы, стой! - кричит Мартышка. Погодите! Любой - из двух оставшихся Как музыке идти? Ведь вы не так сидите. *** *** *** Единственный чинно в ряд; Послушались Осла: уселись оставшийся А все-таки Квартет зверь на лад. нейдет Вот пуще прежнего пошли у них разборы И споры, Кому и как сидеть…» 4 * 3 * 2 * 1 = 4! = 24 И. А. Крылов «Квартет»

«Квартет» Перестановки – это такие комбинации, которые различаются между собой лишь порядком следования элементов. Число перестановок (без повторяющихся элементов) определяется по формуле:

Перестановки Пример 1. Известно, что четырехзначный банковский код содержит 4 различные четные цифры: 2, 4, 6, 8, но порядок набора забыли. Какое максимальное количество вариантов придется перебрать, чтобы угадать код? Решение: Составим несколько комбинаций и определим их свойства: 2468, 8642, 2486… - отличаются порядком Вывод: перестановки (без повторяющихся элементов). 4 * 3 * 2 * 1

Перестановки Пример 2. Известно, что четырехзначный банковский код содержит 4 цифры: 2, 2, 8, 8, но порядок набора забыли. Какое максимальное количество вариантов придется перебрать, чтобы угадать код? Решение: Составим несколько комбинаций и определим их свойства: 2288, 8822, 2828 … 1) Используются все элементы (цифры); 2) От порядка расстановки цифр меняется код.

Перестановки Перечислим одинаковые комбинации: Число перестановок (с повторениями) будет меньше общего числа перестановок в число перестановок из повторяющихся элементов.

Размещения Пример 3. Известно, что четырехзначный банковский код содержит 4 различные цифры, но порядок набора забыли. Какое максимальное количество вариантов придется перебрать, чтобы угадать код? Решение: Составим несколько комбинаций и определим их свойства: 2468, 8642 – отличаются порядком, 2486, 2345 – отличаются составом. Вывод: размещения (без повторяющихся элементов).

Размещения Требуется выбрать 4 цифры из 10 имеющихся и расположить их в соответствующем порядке. 10 * 9 * 8 * 7

Размещения Пример 4. Известно, что четырехзначный банковский код содержит 4 цифры, но порядок набора забыли. Какое максимальное количество вариантов придется перебрать, чтобы угадать код? Решение: Составим несколько комбинаций и определим их свойства: 2468, 8642 – отличаются порядком, 2486, 2345 – отличаются составом. Вывод: размещения. 2222 – допустимы повторяющиеся элементы.

Размещения Требуется выбрать 4 цифры из 10 имеющихся и расположить их в соответствующем порядке. 10 * 10 Первая, вторая, третья и четвертая цифра может быть любой из имеющихся 10 цифр.

Сочетания Пример 5. Известно, что кодовый замок открывается числовой комбинацией из 4 цифр. Какое максимальное количество вариантов придется перебрать, чтобы угадать код? Решение: Составим несколько комбинаций и определим их свойства: 2468 = 8642 – это одна и та же комбинация, т. к. кнопки нужно нажимать одновременно, 2486, 2345 – отличаются составом. Дважды на одну и ту же кнопку нельзя нажать, значит, повторения не допустимы. Вывод: сочетания (без повторений).

Сочетания Требуется выбрать 4 цифры из 10 имеющихся и расположить их в соответствующем порядке. Выбранные кнопки можно нажимать в любом порядке.

Сочетания Пример 6. Имеются 5 различных видов тетрадей: птицы, цветы, автомобили, кошки, мультипликационные герои. Сколькими способами можно составить покупку из 3 тетрадей? Решение. Порядок составления набора не важен; Набор может состоять из различных тетрадей, т. е. состав меняется; Набор может содержать тетради с одинаковым типом обложек. Вывод: сочетания с повторениями

Сочетания Пример 6. Имеются 5 различных видов тетрадей: птицы, цветы, автомобили, кошки, мультипликационные герои. Сколькими способами можно составить покупку из 3 тетрадей? Составим последовательности из 0 и 1. Введем обозначения: 0 – разделитель между обложками тетрадей; 1 – выбранная тетрадь Составим покупку, состоящую из 1 тетради с птицами, 1 – с кошками, 1 – с цветами: Составим покупку, состоящую из 3 тетрадей Winx:

Сочетания Пример 6. Имеются 5 различных видов тетрадей: птицы, цветы, автомобили, кошки, мультипликационные герои. Сколькими способами можно составить покупку из 3 тетрадей? Все составленные комбинации содержат 4 нуля и 3 единицы, которые можно переставлять. Число сочетаний с повторениями равно числу перестановок из нулей и единиц:

Сводная таблица Комбинации Перестановки Размещения Сочетания Порядок Состав Повторения Формула