КОМБИНАТОРИКА 9 класс Выполнила: Ручкина Анна Ивановна, учитель математики МБОУ «СОШ № 22» АГО
Комбинаторика - ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов. Комбинаторика - раздел математики, посвящённый решению задач выбора и расположения элементов в соответствии с данными условиями. Термин «комбинаторика» происходит от латинского слова «combina» , что в переводе на русский означает – «сочетать» , «соединять» . .
Таблица вариантов. ача Зад На завтрак можно выбрать булочку, кекс, пряники или печенье, запить можно чаем, соком или кефиром. Сколько вариантов завтрака существует? ка к со ир ф к пе к со ки ье н че пр ке р и еф ье н че со и ян кс ка оч л бу ки к к й ча й пр ке со пе ча и ян кс оч ул б кефир пр й ча й сок я ке ча ье ен ч к ни пе ир ир ло бу печенье и кс ф а чк пряники ке чай кекс ке булочка х/б изд. напитки к еф
Р МЕ И ПР Таблица вариантов Числа на выпавших сторонах 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Игральный кубик бросают дважды. Сколько элементарных исходов опыта благоприятствуют событиям А, Б, В? А={сумма очков равна 5} Ответ: 4 Б={сумма очков больше 7} Ответ: 15 В={сумма очков не более 3} Ответ: 3
Подсчет вариантов с помощью графов Задача Андрей, Борис, Виктор и Григорий играли в шахматы. Каждый сыграл с каждым по одной партии. Сколько партий было сыграно ? Андрей, Борис, Виктор и Григорий подарили на память другу свои фотографии. Причем каждый подарил каждому по одной фотографии. Сколько всего фотографий было подарено? А Р МЕ ПРИ Б А Б Г В Отрезки- обозначают сыгранные партии, каждой парой мальчиков. Из рисунка видно, что граф имеет 6 ребер, значит и партий было сыграно 6 Стрелкой обозначим процесс обмена фотографиями. Очевидно стрелок в два раза больше чем ребер графа, т. е. 2∙ 6=12 Было подарено 12 фотографий
Дерево вариантов 0 1 0 2 Итого 18 чисел 1 2 варианты Сколько различных трехзначных чисел можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, если цифры в числе могут повторяться 1 2 0 1 2 0 1 2 100 101 102 110 111 112 120 121 122 200 201 202 210 211 212 220 221 222
УП РА Ж НЕ НИ Е «Этот вечер свободный можно так провести…» (А. Кушнер): пойти прогуляться к реке, на площадь или в парк и потом пойти в гости к Вите или к Вике. А можно остаться дома, сначала посмотреть телевизор или почитать книжку, потом поиграть с братом или разобраться наконец у себя на столе. Нарисовать дерево возможных вариантов. Река Прогулка Площадь Парк Вечер ТВ Дом Книжка Витя Вика Брат Стол ИТОГО 10
Е НИ Ж НЕ УП РА В закрытом ящике три неразличимых на ощупь шара: два белых и один чёрный. При вытаскивании чёрного шара, его возвращают обратно, а вытащенный белый шар откладывают в сторону. Такую операцию производят 3 раза подряд. а) Нарисовать дерево возможных вариантов. б)В скольких случаях будут вытаскиваться шары одного цвета? в) В скольких случаях среди вытащенных шаров белых будет больше? ББЧ Ч ББЧ Б Б Ч БЧ БЧ БЧ Ч БЧ БЧ Б Ч Ч Ч
НИЕ УПРАЖНЕ В комнате 3 лампочки. Сколько имеется различных вариантов освещения комнаты, включая случай, когда все лампочки не горят. 1 способ: метод перебора исходов (вариантов) + +++ - 2 лампочка 3 лампочка + + 1 лампочка - ++- 2 лампочка + - - 3 лампочка + +-+ - - +-- -++ -+- --+ 2 способ: правило умножения. Испытание А- действие 1 лампочки, испытание В-действие 2 лампочки, испытание С-действие 3 лампочки. У каждого испытания 2 исхода: «горит» и «не горит» Всего исходов: 2 • 2=8 - ---
Антон, Борис и Василий купили 3 билета на футбольный матч на 1, 2, и 3 места первого ряда. Р Сколькими способами они могут занять имеющиеся три МЕ РИ П места? I МЕСТО А Способы Б В II МЕСТО III МЕСТО Упорядоче нные тройки друзей Б В АБВ В Б АВБ А В БАВ В А БВА А Б ВАБ Б А ВБА Итого : 6 способов
ФАКТОРИАЛ ЧИСЛА Факториал числа — это произведение всех натуральных чисел до этого числа включительно. n! = 1 · 2 · 3 · 4 · … · (n-2) · (n-1) · n 0! = 1 1! = 1 Свойство факториала: 2! = 1 · 2 = 2 (n + 1)! = (n + 1) · n! 3! = 1 · 2 · 3 = 6 4! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120 6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 720 ЕР ПРИМ 7! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 = 5040 (5 + 1)! = (5 + 1) · 5! 8! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 = 40320 Действительно 9! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 = 362880 6! = (1 · 2 · 3 · 4 · 5) · 6 = 720 10! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 10 = 3628800 А значение (1 · 2 · 3 · 4 · 5) = 5! = 120
рениям С повто и Размещения Без пов торени й рениям и С повто ий вторе н Перестановки Без по ми орени я С повт ий вторе н Без по Комбинаторные соединения Сочетания
Вид комбинации Перестановка Сочетание Размещение Формула Pn=n! Характерный пример Сколькими способами 9 учащихся могут встать в очередь в школьном буфете? Сколько существует способов выбрать троих ребят из 11 желающих дежурить по школе? Сколькими способами могут занять первое, второе и третье места 8 участниц финального забега на дистанции 100 м?
Условие задачи Решение задачи Сколькими способами 9 Р 9=9!=1 2 3 4 5 6 7 8 9=362880. учащихся могут встать в очередь Ответ: 362880 способов в школьном буфете? Сколько существует способов выбрать троих ребят из 11 желающих дежурить по школе? Количество сочетаний из 11 по 3 (порядок выбора не имеет значения). Ответ: 165 способов. Выбор из 8 по 3 с учётом порядка. Сколькими способами могут занять первое, второе и третье места 8 участниц финального забега на дистанции 100 м? Ответ: 336 способов.
Сочетания Размещения 1. Сколько рукопожатий получится, если здороваются 5 человек? 1. Сколькими способами пять человек могут обменяться фотографиями? {Вася, Петя} = {Петя, Вася} – одно и тоже Значит, порядок неважен, значит это подмножество по два элемента из 5, значит это сочетание из пяти по два {Вася, Петя} {Петя, Вася} – разные обмены Значит, порядок важен, значит это последовательность по два элемента из 5, значит это размещение из пяти по два
Сочетания Размещения Сколько аккордов можно сыграть с помощью трех клавиш из семи? Сколько мелодий (трезвучий, проигрышей) можно сыграть с помощью трех клавиш из семи? {до, ми, соль} = { до, соль, ми } – одно и тоже Значит, порядок неважен, значит это подмножество по три элемента из семи, значит это сочетание из семи по три {до, ми, соль} { до, соль, ми } – разные мелодии Значит, порядок важен, значит это последовательность по три элемента из семи, значит это размещение из семи по три
Скачать презентацию КОМБИНАТОРИКА 9 класс Выполнила: Ручкина Анна Ивановна, учитель
КОМБИНАТОРИКА.ppt