Комбинаторика 1. Правило суммы 2. Правило произведения

Комбинаторика 1. Правило суммы 2. Правило произведения 3. Комбинаторные соединения 4. Перестановки 5. Размещения 6. Сочетания

Комбинаторика - один из разделов дискретной математики, который приобрел важное значение в связи с использованием его в информационных технологиях, кибернетике и многих других науках.

ПРАВИЛО СУММЫ Комбинаторные задачи бывают самых разных видов. Однако, большинство задач решается с помощью двух основных правил — правила суммы и правила произведения. Если некоторый объект A можно выбрать m способами, а другой объект В можно выбрать n способами, то выбор «либо А, либо В» можно осуществить (m+n) способами. При использовании правила суммы надо следить, чтобы ни один из способов выбора объекта А не совпадал с каким-либо способом выбора объекта В. Если такие совпадения есть, правило суммы утрачивает силу, и мы получаем лишь (m + n - k) способов выбора, где k—число совпадений.

ПРАВИЛО СУММЫ Пример 1 На одной тарелке 3 груши, на другой – 2 яблока. Сколько есть способов выбрать один фрукт? Пример 2 На полке стоит 2 книги по алгебре, 3 по геометрии, 1 по комбинаторике и 4 по литературе. Сколько есть способов выбрать книгу по математике?

ПРАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЯ Если объект А можно выбрать m способами и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то выбор пары (А, В) в указанном порядке можно осуществить mn способами. При этом число способов выбора второго элемента не зависит от того, как именно выбран первый элемент.

ПРАВИЛО ПРОИЗВЕДЕНИЯ Пример 3 Имеется 5 видов конвертов без марок и 3 вида марок. Сколькими способами можно получить конверт с маркой? Пример 4 Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную из слова «буран» ? Пример 5 Сколько существует пятизначных чисел, делящихся без остатка на 10?

Комбинаторные соединения — это комбинации из каких-либо элементов. Типы соединений: • Перестановки • Размещения • Сочетания Существуют две схемы выбора элементов: • Без повторений • С повторениями

Комбинаторные соединения В комбинаторных соединениях может играть существенную роль или порядок элементов или их состав, или и порядок и состав. В зависимости от этого комбинаторные соединения имеют определённое название.

Перестановки без повторений — комбинаторные соединения, которые могут отличаться друг от друга лишь порядком входящих в них элементов. Pn= n!

Факториал числа — это произведение всех натуральных чисел до этого числа включительно. Обозначается с восклицательным знаком в конце. n! = 1 · 2 · 3 · 4 · … · (n-2) · (n-1) · n Случай 0! определен и имеет значение 0!=1, соответствующее комбинаторной интерпретации комбинации нуля объектов, другими словами, есть единственная комбинация нуля элементов, а именно: пустое множество.

Факториал числа Свойство факториала: (n + 1)! = (n + 1) · n! Пример 6! = (5+1)!=(5+1)*5!=6*(1*2*3*4*5)=720

Перестановки с повторениями — комбинаторные соединения, в которых среди образующих элементов имеются одинаковые.

Примеры Пример 6. На полку нужно поставить 3 разные книги. Сколько есть способов это сделать? P 3=3!=6 Пример 7. Сколько различных «слов» можно составить из слова «март» ?

Примеры Пример 8. Сколькими способами можно переставить буквы слова «ананас» ? Букв «а» – 3, букв «н» – 2, букв «с» – 1.

Размещения без повторений — комбинаторные соединения, составленные из n элементов по m. При этом два соединения считаются различными, если они либо отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, либо состоят из одних и тех же элементов, но расположенных в разном порядке.

Размещения без повторений Пример 9. В правление Банка избрано 9 человек. Сколькими способами можно выбрать из них Председателя, Заместителя Председателя и Секретаря?

Размещения без повторений Пример 10. Сколько словарей нужно издать для непосредственного перевода с русского, английского, немецкого и французского языков на любой из этих языков?

Размещения с повторениями — комбинаторные соединения, составленные из n элементов по m. При этом каждый из n элементов может содержаться сколько угодно раз или вообще отсутствовать.

Размещения с повторениями Пример 11. Сколько трехпозиционных комбинаций можно образовать из двоичных цифр? Пример 12. Есть кодовый замок с четырьмя дисками, на каждом из которых цифры от 0 до 9. Сколько существует вариантов кода?

Сочетания без повторений — комбинаторные соединения из n элементов по m, составленные из этих элементов и отличающиеся друг от друга только составом.

Сочетания без повторений Пример 13. В магазине есть краски 5 различных цветов. Вы хотите для оформления комнаты использовать 3 цвета. Сколько есть способов это сделать?

Сочетания с повторениями — комбинаторные соединения из n элементов по m, составленные из этих элементов без учета порядка с возможностью многократного повторения элементов.

Сочетания с повторениями Пример 14. В киоске продается 3 вида открыток сколькими способами можно купить 5 открыток?