Комбінації геометричних тіл
Можливі типи комбінацій геометричних тіл 1. Многогранник і многогранник (призма вписана в піраміду, або піраміда вписана в призму, та інші) 2. Многогранник і тіло обертання (піраміда вписана в конус або циліндр або кулю; циліндр, вписаний в піраміду або призму; куля вписана або описана навколо піраміди та інші. ) 3. Тіло обертання і тіло обертання (конус вписаний в циліндр, куля описана навколо циліндра, та інші. )
Описані навколо многогранників (призм) кулі 1. Кулю називають описаною навколо многогранника, якщо всі вершини многогранника лежать на поверхні кулі(сфери). В цьому випадку многогранник називають вписаним в кулю. В 1 С 1 О 2. Центр кулі, описаної навколо многогранника, рівновіддалений від всіх його вершин. АО=ВО=ОВ 1=…. =Rкулі. 3. Центр кулі, описаної навколо прямої призми, лежить на середині висоти, яка з`єднує центри кіл, описаних навколо основ призми. H= О 1 О 2 -висота призми, R- радіус кулі, r- радіус кола описаного навколо основи призми: 2 О А 1 R кулі С В r О 1 А
Описані навколо многогранників (призм) кулі (продовження) 1. Кулю можна описати навколо призми, тільки якщо вона пряма і її основа многокутник навколо якого можна описати коло. B 1 Кулю можна описати навколо призми якщо в основі лежить прямокутник, квадрат. 2. Центр кулі, описаної навколо прямокутного паралелепіпеда, лежить в точці перетину діагоналей паралелепіпеда, а кожна його діагональ є діаметром описаної кулі. АС 1=dкулі=2 R C 1 D A 1 1 О C B A D
Вписані в многогранники (призми) кулі 1. Кулю можна вписати в пряму призму, якщо її основи є многокутниками, описаними навколо кола, а висота В 1 призми дорівнює діаметру кулі і діаметру цього кола. 2. Центр кулі, вписаної в пряму призму, лежить на середині відрізка, який з’єднує центри кіл, вписаних в основи призми. 3. Радіус кулі дорівнює радіусу кола, вписаного в основу призми, а діаметр кулі дорівнює висоті призми. С 1 О 2 А 1 О В 4. R-радіус кулі, r- радіус кола, вписаного в основу призми, H = О 1 О 2 - висота призми і діаметр кулі. R С О 1 r А
Описані навколо пірамід кулі 1. Кулю називають описаною навколо піраміди, якщо всі вершини піраміди лежать на поверхні кулі. 2. О 1 - центр кулі; АО 1=Rкулі ; О центр кола описаного навколо основи. 3. Центр кулі, описаної навколо довільної піраміди лежить на прямій, перпендикулярній площині основи, яка проходить через центр кола, описаного навколо основи, в точці перетину цієї прямої з площиною, яка перпендикулярна до бічного ребра і проходить через його середину. ОО 1 ┴ (АВС); М - середина SA; α ┴ SA(М α ); α перетинає ОО 1 в точці О 1. 4. Центр кулі може знаходитись: • в середині піраміди; • в площині основи; • поза пірамідою. S М О 1 B Rкулі О A C
Описані навколо пірамід кулі (продовження) 1. Якщо вершина піраміди проектується в центр кола описаного навколо основи, то центр описаної кулі лежить на прямій, яка містить висоту піраміди в точці перетину цієї прямої з серединним перпендикуляром до бічного ребра. SO - висота піраміди; О-центр кола описаного навколо основи піраміди; АО = r - радіус кола описаного навколо основи піраміди; М-середина ребра SА, МО 1∩SА=О 1 -центр описаної кулі 2. Якщо центр описаної кулі лежить на висоті піраміди або на її продовженні, то при розв`язанні деяких задач можна продовжити висоту піраміди до перетину з кулею в точці S 1 і з`єднати S 1 з А. Тоді SS 1 діаметр кулі SAS 1 - прямий, як вписаний кут, який спирається на діаметр. S R M О 1 C B О A ┐ r D S 1
S Вписана в піраміду куля 1. Куля називається вписаною в піраміду, якщо всі грані піраміди дотикаються до кулі. К О 1 - центр кулі, К - точка дотику з гранню (SАС); О 1 К=r (радіус кулі), О 1 К ┴(SАС). О 1 А SО - висота піраміди, О - центр кола, вписаного в основу піраміди, О 1 О=r. ┐ О ┐ 2. Якщо вершина піраміди проектується в центр кола, вписаного в основу, то центр вписаної кулі лежить на висоті піраміди, в точці перетину висоти з бісектрисою лінійного кута двогранного кута при основі піраміди. В M SM ВС і ОМ ВС, тому SМО - ┴ ┴ С лінійний кут двогранного кута при основі. ОМ - радіус кола, вписаного в основу піраміди. МО 1 - бісектриса SМО.
Циліндр, вписаний у кулю 1. Куля називається описаною навколо циліндра, якщо основи циліндра є паралельними перерізами кулі. 2. Основи циліндра рівновіддалені від центра кулі. 3. Ця комбінація тіл симетрична відносно будь-якої площини, що D проходить через центр кулі паралельно О 1 твірним циліндра. А 4. Переріз тіла такою площиною є прямокутник АВСD і описане навколо нього коло. 5. Прямокутник АВСD є осьовим О перерізом циліндра, а описане коло – велике коло даної кулі. B А 6. Діагональ АС є діаметром С О 2 описаної кулі. О В AD= R-радіус кулі R DE=r-радіус циліндра H-висота циліндра r E С D 7. Центр описаної кулі лежить на середині висоти циліндра, яка проходить через вісь циліндра: R 2=(0, 5 H)2 + r 2
Циліндр, описаний навколо кулі 1. Куля називається вписаною в циліндр, якщо основи і всі твірні, які утворюють циліндр дотикаються кулі. Кулю можна вписати тільки в A рівносторонній циліндр. Rкулі=rциліндра. 2. Точки дотику кулі і основ циліндра є центрами основ циліндра. О 1 rц B 3. Площина проведена через центр кулі паралельно твірним циліндра, є площиною симетрії тіла. 4. Осьовий переріз даного циліндра є квадрат. B C H О A Rк О R D 5. Висота циліндра є діаметром кулі: Н циліндра = О 1 О 2= dкулі D О 2 C
Конус, вписаний в кулю 1. Вершина конуса S лежить на сфері. 2. Комбінація є симетричною відносно площини, що містить вісь конуса. У такому перерізі маємо трикутник, вписаний у коло. 3. Трикутник АОS-рівнобедрений S Кут АСО-прямий АС=СS, R-радіус кулі, r-радіус конуса, C H H-висота конуса, О R R 2=(H-R)2+r 2 r В O 1 А 4. Трикутник ASB рівнобедрений. Бічні сторони твірні конуса, коло – велике коло описаної кулі. 5. Радіус кулі дорівнює радіусу кола , описаного навколо осьового перерізу конуса. S O 1
Куля , вписана в конус 1. Кулю можна вписати в будь-який конус. Куля дотикається основи конуса в його центрі і бічної поверхні конуса по колу, що лежить в площині, паралельній основі конуса. S 2. Площина, яка містить вісь конуса, є площиною симетрії. 3. Осьовий переріз комбінації є рівнобедрений трикутник, у який вписане коло. S R-радіус кулі, r-радіус конуса, H-висота конуса H R O 1 A O r B 4. Трикутник – це осьовий переріз конуса, SA=SB твірні конуса, АВ - діаметр основи конуса, коло велике коло вписаної кулі. Радіус кулі дорівнює радіусу кола вписаного в трикутник ASB. O
Циліндр описаний навколо призми 1. Циліндр називається описаним навколо призми, якщо його основи - круги, описані навколо основ призми, а твірні збігаються з ребрами призми. R Hц R R 2. Вісь циліндра співпадає з висотою призми. R 3. Радіус циліндра дорівнює радіусу кола описаного навколо основи призми.
Циліндр вписаний в призму 1. Дотичною площиною до циліндра називається площина, яка проходить через твірну циліндра й перпендикулярна до площини осьового перерізу, що містить цю твірну. α ┴ β. 2. Циліндром, вписаним в призму, називається циліндр, основи якого круги, вписані в основи призми, а бічна поверхня циліндра дотикається бічних граней призми. Hц О 2 α 3. Вісь циліндра співпадає з висотою призми. 4. Радіус циліндра дорівнює радіусу кола вписаного в основу призми. β О 1 r
Піраміда вписана в конус 1. Конус називається описаним навколо піраміди, якщо його основа - круг, описаний навколо основи піраміди, вершина співпадає з вершиною піраміди, а твірні збігаються з ребрами піраміди. S 2. Висоти конуса і піраміди збігаються на основі єдиності прямої, перпендикулярної до площини і проведеної через точку, яка не лежить у даній площині. R - радіус конуса, який дорівнює радіусу описаного навколо основи піраміди кола. Н О R А
Конус вписаний в піраміду S 1. Конусом, вписаним в піраміду, називається конус, основа якого – круг, вписаний у многокутник основи піраміди, вершина співпадає з вершиною піраміди, бічна поверхня конуса дотикається бічних граней піраміди. Дотичною площиною до конуса називається площина, яка проходить через твірну конуса і перпендикулярна до площини осьового перерізу, проведеного через цю твірну. О ┐ 2. Радіус вписаного в основу піраміди кола (круга) перпендикулярний стороні многокутника, який лежить в основі піраміди, і є проекцією твірної конуса на площину основи. Н r
Конус вписаний у циліндр 1. Основа конуса збігається з нижньою основою циліндра, вершина конуса – центр верхньої основи циліндра. О 1 2. Осі, висоти, радіуси циліндра і конуса збігаються. А R О
Скачать презентацию Комбінації геометричних тіл Можливі типи комбінацій геометричних
математика.ppt