Коллективное принятие решений Лектор доцент каф АОИ Салмина

Коллективное принятие решений Лектор: доцент каф. АОИ Салмина Нина Юрьевна

Модель производства общественного продукта. Постановка задачи. y – объем производства общественного продукта c(y) – производственная функция: показывает денежные затраты на производство Имеется n агентов (игроков). Запас агента i : Затраты на производство wi денег (до производства) xi денег (может быть <0 или > wi) Функция предпочтения агента i Общие затраты на производство ui (wi - xi , y)

Модель производства общественного продукта. Постановка задачи. До производства Запас агента i Затраты агента i Предпочтения агента i wi денег xi = 0 ui (wi , 0) Общие затраты на производство После производства wi - xi денег xi (м. б. <0 или > wi) ui (wi - xi , y)

Представление задачи в виде кооперативной игры ВСЕ агенты владеют технологией производства: любая коалиция может производить продукт. Х. ф. коалиции: Пусть тогда

С-Ядро игры Распределение (x 1, …, xn; y) принадлежит с-ядру, если для любого i : 1) 2) xi > 0 : принцип отсутствия субсидий ui (wi - xi , y) > ui (wi , 0) : принцип отделения

Пример 1 Технология производства имеет вид: c(y)=2 y N=2 Функции предпочтения: ui=bi(y)-x (начальный запас денег равен 0) где b 1(y)=y или b 2(y)=2√y или

Пример 1. Нахождение х. ф. игры

Пример 1. Нахождение х. ф. игры

Пример 1. Нахождение с-ядра игры по прибыли С-ядро: u 1≥ 0 u 2≥ 0. 5 (по прибыли u) ( 0 1 ) ( 0. 5 ) N-ядро: (0. 25 0. 75)

Пример 1. Нахождение с-ядра игры по затратам С-ядро: u 1≥ 0 u 2≥ 0. 5 (по прибыли u) ( 0 1 ) ( 0. 5 ) (по затратам x) ( 1 1 ) ( 0. 5 1. 5 ) N-ядро: (0. 25 0. 75) (0. 75 1. 25)

Модель распределения затрат. Постановка задачи. Задача: ассигнование на производство (эксплуатацию, использование) неделимого общественного продукта (объекта). С – стоимость коллективного объекта ( с > 0 ) bi – доход i-го агента от использования объекта (bi ≥ 0) Сооружение (эксплуатация) объекта эффективно: Как распределить затраты?

Представление задачи в виде кооперативной игры Каждая коалиция может построить (эксплуатировать) объект с учетом покрытия затрат. Х. ф. коалиции: Общие затраты: Общая прибыль:

Пропорциональный дележ Затраты агента: Прибыль агента:

Пример. Пропорциональный дележ Имеется пять агентов с доходами Общий доход равен Затраты на строительство коллективного объекта составляют: Необходимо определить, каким образом распределить затраты между агентами. Здесь: или х=(1. 33 4 6. 67 8 10) y=(2. 67 8 13. 33 16 20)

Эгалитарное распределение Эгалитаризм: РАВНОЕ отношение ко всем агентам (всем поровну) Два варианта: 1) Равное распределение затрат: 2) Равное распределение прибыли: (или где )

Проблемы эгалитарного распределения может быть: 1. Равное распределение затрат (не согласится агент) 2. Равное распределение прибыли (не согласятся другие агенты)

Подушный и уровневый налоги Эгалитарное распределение при условии ограничений приводит к следующим решениям: 1) Подушный налог – равное распределение затрат 2) Уровневый налог – равное распределение прибыли

Пример. Подушный налог Имеется : Общий доход равен Затраты составляют: Определение затрат: x 1=4

Пример. Подушный налог Имеется : Общий доход равен Затраты составляют: Определение затрат: x 1=4 xi=6. 5 или х=(4 6. 5) y=(0 5. 5 13. 5 17. 5 23. 5)

Пример. Уровневый налог Имеется : Общий доход равен Затраты составляют: Определение прибыли: (прибыль e=90 -30=60) y 1=4

Пример. Уровневый налог Имеется : Общий доход равен Затраты составляют: Определение прибыли: (прибыль e=90 -30=60) y 1=4 y 2=12

Пример. Уровневый налог Имеется : Общий доход равен Затраты составляют: Определение прибыли: (прибыль e=90 -30=60) y 1=4 y 2=12 yi=14. 67 или y=(4 12 14. 67) x=(0 0 5. 33 9. 33 15. 33)

N-ядро игры соответствует следующим долям затрат: если – равное распределение затрат (аналогично подушному налогу) если – равное распределение прибыли (аналогично уровневому налогу) при ограничениях

Пример. N-ядро игры Имеется : Общий доход равен Затраты составляют: Уравниваем затраты: (c<1/2*90=45) х1=2 х2=6 хi=7. 33 или х=(2 6 7. 33) y=(2 6 12. 67 16. 67 22. 67)

Пример. Все решения игры Имеется : Общий доход равен Затраты составляют: вектор затрат вектор прибыли Пропорц. налог (1. 33 4 6. 67 8 10) (2. 67 8 13. 33 16 20) Подушный налог (4 6. 5) (0 5. 5 13. 5 17. 5 23. 5) Уровневый налог (0 0 5. 33 9. 33 15. 33) (4 12 14. 67 14. ) N-ядро (2 6 7. 33) (2 6 12. 67 16. 67 22. 67) Вектор Шепли (1. 4 4. 07 6. 73 8. 07 9. 73) (2. 6 7. 93 13. 27 15. 93 20. 27)

Пример. Освещение улиц Три игрока (объекты) расположены в вершинах треугольника, стороны которого представляют существующие улицы. Решается задача коллективного уличного освещения. Освещение любой улицы стоит 20. Полезность игрока (ui ) от использования освещения равна: 0 - если соседние улицы неосвещены, 30 – если освещена одна соседняя улица 40 – если освещены обе соседние улицы. Необходимо определить сколько улиц освещать, каковы будут затраты и прибыль каждого игрока. А C B

Пример. Определение х. ф. для одиночных коалиций Освещение любой улицы стоит 20. Полезность игрока (ui ) от использования освещения равна: 0 - если соседние улицы неосвещены, 30 – если освещена одна соседняя улица 40 – если освещены обе соседние улицы. 1) Освещена одна соседняя улица ui=30 -20=10 max 2) Освещены две соседние улицы ui=40 -20 -20=0 v 1= v 2= v 3=10 А 1) C А B 2) C B

Пример. Определение х. ф. для двойных коалиций Освещение любой улицы стоит 20. Полезность игрока (ui ) от использования освещения равна: 0 - если соседние улицы неосвещены, 30 – если освещена одна соседняя улица 40 – если освещены обе соседние улицы. 1) Освещена одна улица u. АС =30+30 -20=40 max 2) Освещены две улицы u. АС =40+30 -20 -20=30 2) Освещены три улицы u. АС =40+40 -20 -20 -20=10 v 12= v 23= v 13=40 А 1) C 2) C 3) C А А B B B

Пример. Определение х. ф. для тройной коалиции Освещение любой улицы стоит 20. Полезность игрока (ui ) от использования освещения равна: 0 - если соседние улицы неосвещены, 30 – если освещена одна соседняя улица 40 – если освещены обе соседние улицы. 1) Освещена одна улица u. АВС =30+30 -20=40 2) Освещены две улицы u. АВС =40+30+30 -20 -20=60 2) Освещены три улицы u. АВС =40+40+40 -20 -20 -20=60 v 123=60 А 1) C 2) max C 3) C А А B B B

Пример. Нахождение решения игры (по прибыли) Х. ф. игры: v 1= v 2= v 3=10 v 12= v 23= v 13=40 v 123=60 N-ядро = Вектор Шепли (20 20 20) А 1) B C А 2) C B

Пример. Нахождение решения игры (по затратам) Х. ф. игры: v 1= v 2= v 3=10 v 12= v 23= v 13=40 v 123=60 N-ядро = Вектор Шепли (по прибыли): (20 20 20) 1) Освещены две улицы. Решение по затратам: (20 10 10) 2) Освещены все три улицы. Решение по затратам: (20 20 20) А 1) B C А 2) C B