Количественные методы в финансах Модель ценообразования

Количественные методы в финансах Модель ценообразования на рынке основного капитала – CAPM Маслова Л. А. Москва-2008

Модель ценообразования на рынке основного капитала – CAPM ØМодель CAPM (Capital Asset Pricing Model) была разработана Уильямом Шарпом и впервые опубликована в статье «Оценка финансовых активов: теория рыночного равновесия в условиях риска» . В 1990 У. Шарп получил Нобелевскую премию по экономике за исследования в области ценообразования финансовых активов. Исходные допущения модели У. Шарпа были сформулированы М. С. Дженсеном. ØКак изменится эффективная граница, если в портфель включить безрисковые ценные бумаги – государственные облигации со сроками (горизонтом) инвестирования равным горизонту инвестирования портфеля? ØНаличие на рынке казначейских обязательств (государственных бумаг) с различными сроками погашения дает инвестору возможность брать и давать деньги под безрисковую процентную ставку. ØВ качестве безриской ставки может быть использованы, как процентная ставка краткосрочных , так и долгосрочных облигаций. В последнее время используют долгосрочные процентные ставки, поскольку между доходом по долгосрочным ГКО и доходами на акцию существует тесная связь.

Эффективная линия рынка капитала – CML. Добавление безрискового актива позволяет получить наилучшее соотношение риск/доходность в пространстве риск-доходность. Причем соотношение между доходностью и риском линейно. Увеличение доходности вызывает линейное увеличение риска. CML M АА премия за риск - СML -"линии рынка капитала” Capital Market Line

Эффективная линия рынка капитала – CML. ØДобавление безрискового актива ведет к изменению границы множества, которое проходит через точку, соответствующую рыночному портфелю. ØЛюбая точка на CML является комбинацией только безрискового актива и рыночного М. В САРМ инвесторы будут инвестировать в один и тот же касательный портфель, но с различными долями безрискового заимствования, которые определяются предпочтениями инвестора.

Теорема об инвестировании в два фонда Теорема. Если инвесторы интересуются только ожидаемой доходностью, и стандартным отклонением, то они будут держать портфель, состоящий только из рыночного М и безрискового актива. Пусть инвестор инвестирует часть капитала Х в рыночный актив, а часть в безрисковый актив, тогда доходность портфеля равна Доля капитала инвестированного в рыночный актив равна отношению Ø Заемный портфель. Если Х>1, то инвестор вкладывает весь свой капитал и заемный капитал, взятый под безрисковую процентную ставку в рыночный портфель. Ø Кредитный портфель. Если Х<1, то часть капитала инвестируется в рыночный портфель, а часть в безрисковый актив, то это кредитный портфель Ø Если инвесторы интересуются только ожидаемой доходностью, и стандартным отклонением, то они будут держать портфель, состоящий только из рыночного М и безрискового актива

Теорема об инвестировании в два фонда А X>1 Заемные портфели X<1 Кредитные портфели

Линия рынка ценной бумаги - SML. Случай двух активов Рассмотрим случай двух активов. Составим портфель состоящий из рыночного портфеля М и бумаги i. Доходность портфеля равна Риск портфеля равен В точке соответствующей рыночному портфелю М наш портфель касается линии рынка СМL (линии рынка капиталов). Угол наклона касательной к эффективному множеству в этой точке равен углу наклона СML. При этом точке соответствующей рыночному портфелю доля бумаги i равна нулю, т. е. Х=0. Рассчитаем тангенс угла наклона CML в точке M равен Приравнивая получим SML линию рынка ценной бумаги

Коэффициент бета Линию рынка ценной бумаги SML Обычно записывают в виде где коэффициент бета равен премия за риск Полученное выражение для доходности актива (ценной бумаги) является ожидаемой доходностью, выведенной в условии равновесия.

Модель СAPM Основной вывод модели CAPM состоит в том, что ожидаемая доходность акции должна удовлетворять уравнению Избыточная доходность акции пропорциональна избыточной доходности рыночного портфеля. Это уравнение используется для определения процентной ставки с учетом риска. Предположение о наличии безрискового актива является основным в теории САРМ Безрисковый актив- это такой актив, доходность которого для некоторого инвестиционного горизонта известна. На самом деле инвестор берет в долг и дает в долг по разным процентным ставкам. В долг он берет по большей процентной ставке.

SML Уравнение SML в плоскости доходность бета =1 Основной вывод модели CAPM состоит в том, что ожидаемая доходность акции должна удовлетворять уравнению Избыточная доходность акции пропорциональна избыточной доходности рыночного портфеля

Методы расчета коэффициента бета Бета определяет чувствительность доходности актива к изменениям доходности рыночного портфеля. Бета, определяемая по формуле называется теоретической «бета» . Статистическая бета находится на основе статистических данных доходности активов или портфелей за определенный период времени. Статистическая «бета» находится на основе «рыночной» модели. Для оценки беты обычно применяется линейная регрессионная модель, (метод МНК (в англояз. литер. OLS)) известная еще как одноиндексная модель Шарпа. . Уравнение регрессии имеет вид

Методы расчета коэффициента бета Если коэффициенты в уравнении линейной регрессии являются статистически значимыми, то рассчитанные значения по двум выше приведенным формулам совпадают. Ниже приведены результаты расчета бета двумя способами для акций Лукойла. Если эта регрессионная модель является моделью САРМ, то и полный риск равен

Расчет бета Пример 8. На основе статистических данных месячных лог доходностей акций Лукойл и индекса РТС рассчитать коэффициент бета. Решение. Для расчета коэффициента бета используем так же как и в примере 2 месячные лог доходности акций Лукойла и индекса РТС за период с марта 2005 года по январь 2008 года всего 35 данных. Согласно тесту Колмогорова – Смирнова лог доходности подчиняются нормальному распределению. Уравнение регрессии имеет вид Проверяются гипотезы для коэффициента бета Для константы

Расчет бета

Проблемы оценивания беты Неустойчивость беты. Статистические ошибки. Расчет беты можно провести по месячным данным за 5 лет или по недельным данным за те же пять лет. Какое же количество наблюдений надо использовать для более точной оценки беты теория не дает. Чувствительность беты на информацию. Активы компаний с большой капитализацией более чувствительны к новой информации на рынке, чем малых компаний. Хотя портфель, составленный из этих бумаг является менее чувствительным, более стабильным. Это требует учета интервала на котором рассчитывается бета. Например, при изменении цен на нефть одни активы являются более чувствительными (акции нефтяных компаний), другие не реагируют на эти изменения. Поэтому применение беты для оценки систематического риска требует постоянного пересчета беты.

Бета портфеля представляет собой взвешенное среднее коэффициентов бета Для расчета матрицы VCV с использованием коэффициентов бета акций следует использовать формулу: для недиагональных элементов для диагональных элементов использовать формулу - является специфическим риском, рассчитанным по регрессионной модели. Полный риск актива –это стандартное отклонение.

Выводы CAPM САРМ модель применяться для прогнозирования доходности используется в оценке стоимости капитала и применяется к корпоративным финансам. САРМ является однопериодной моделью. Это означает, что уравнения не зависят от времени. При эконометрическом анализе модели необходимо добавить требование, чтобы доходности являлись независимыми нормально распределенными величинами (IID) (Independently and Identically Distributed) или совместно нормально распределенными величинами.

CAPM Применение САРМ требует знания трех величин: Ø Коэффициента бета для каждой акции Ø Рыночного риска – на практике это рыночный индекс. Ø Безрискового процента. Линейное эффективное множество в модели СAPM называется рыночной линией- CML. Эта прямая отражает равновесную зависимость между ожидаемыми доходностями с стандартными отклонениями портфелей. Линейное соотношение ковариации и ожидаемой доходности известно как рыночная линия ценной бумаги SML. Величины коэффициенты бета в модели CAPM и рыночной модели сходны по смыслу. Однако в отличии от СAPM рыночная модель не является моделью равновесия финансового рынка. Рыночная модель использует рыночный индекс , который в общем случае не охватывает рыночный портфель, используемый в CAPM. Согласно CAPM совокупный риск ценной бумаги складывается из рыночного риска и нерыночного рисков. По рыночной модели нерыночный риск связан только с ценной бумагой и поэтому называется собственным.

Условия применимости модели CAPM. Ø Условия применимости модели Марковица: эффективные фондовые рынки; инвесторы не склонны к риску; доходности активов являются нормально распределенными случайными величинами; налоги и транзакционные издержки отсутствуют. Ø Портфели рискованных активов у всех инвесторов одинаковы. Этот портфель называется рыночным портфелем. Ø Рыночный портфель включает в себя все ценные бумаги, причем доля каждой ценной бумаги равна отношению ее рыночной стоимости всех ценных бумаг. Ø Инвесторы отличаются лишь размерами безрискового заимствования. Ø Подходящей мерой риска является ценной бумаги является ее ковариация с рыночным портфелем.

Основные выводы CAPM САРМ является однопериодной моделью. в том смысле, что в течении этого одного периода времени не должно происходить изменения внешних факторов: безрисковая процентная ставка , доходность рыночного портфеля и коэффициент бета должны быть постоянными для этого периода. Эффективное множество при добавлении в портфель безрискового актива является линейным и называется эффективной линией рынка капитала СМL (Capital Market Line) Эта прямая отражает равновесную зависимость между ожидаемыми доходностями и стандартными отклонениями портфелей. Линия рынка ценной бумаги SML (Security Market Line) или уравнение Шарпа – Линтнера имеет вид и показывает, что избыточная доходность акции пропорциональна избыточной доходности рыночного портфеля. Согласно CAPM совокупный риск ценной бумаги складывается из рыночного (cсистематического) риска и нерыночного рисков. Каждая акция имеет часть рыночного риска равного. При эконометрическом анализе параметров модели необходимо, чтобы доходности являлись независимыми нормально распределенными величинами (IID) (Independently and Identically Distributed) или совместно нормально распределенными величинами. Несмотря на то, что это требование является достаточно сильным тем не менее CАРМ дает хорошее приближение для месячного временного интервала.

Методы оценки доходности портфеля Метод долларового дохода Разность между рыночной стоимостью портфеля в конце периода и рыночной стоимостью в начале периода. При этом дивиденды не выплачиваются инвесторам, а реинвестируются Распределение дохода за период происходит в конце периода Дополнительные средства в портфель не инвестируются

Оценка эффективности работы менеджера Однофакторные оценки. Ø Рыночные индексы. Ø Эталонный портфель. Ø Индексы инвестиционного стиля. Ø Нормальные портфели. Ø Индекс Шарпа. Ø Индекс Трейнора. Ø Индекс Дженесена. (Коэффициент альфа )

Однофакторные оценки. Индекс Шарпа. Мерой риска является стандартное отклонение. Индекс измеряет отношение избыточной доходности к риску (стандартному отклонению) портфеля. При малом числе наблюдений оценка может быть смещенной. Индекс Трейнора. Индекс является мерой полученной избыточной доходности на единицу риска. Мерой риска является систематический риск, входящий в бета. Если портфели хорошо диверсифицированы, то индексы Шарпа и Трейнора совпадают. Для слабо диверсифицированного портфеля индексы различаются. Индекс Дженсена Индекс построен на основе САРМ модели. Величина альфа Дженсена характеризует, полученную менеджером избыточную доходность. Построив регрессию по временным рядам доходности портфеля и рыночного индекса, можно оценить статистическую значимость альфа. Если статистически, полученное значение альфа не значимо, то действия менеджера соответствуют доходности рынка и привели к получению избыточной доходности. Если значение альфа статистически значимо, то менеджер получил избыточную доходность, т. е. работал лучше рынка.

Графическое представление индексов Трейнора, Дженсена и Шарпа

Пример

Однофакторные оценки

Другие модели доходности финансовых активов. Наиболее популярные модели. Ø Модели в условии равновесия. (Модель Маковица, САРМ, арбитражная модель. ) Ø Многофакторные модели. (Многофакторная ССАРМ, арбитражная модель, ВАRRA и др). Факторные модели подразделяются на статистические факторные модели, макроэкономические факторные модели и фундаментальные факторные модели. Ø Моделирование на основе временных рядов. (линейные временные ряды, авторегрессионные модели, модели скользящего среднего, авторегрессионные модели СС). Ø Модели случайного блуждания. (Модель Васичека и др. ). Приведенное разделение достаточно условно, поскольку, например применение условной САРМ использует модели временных рядов. А модель Risk. Metrics стоится на основе модели случайного блуждания. Ниже приведены модели, которые близки к рассмотренной выше САРМ.

Одноиндексная модель Основное предположение Шарпа в модели с одним индексом состоит в том, что все ковариации доходностей бумаг можно объяснить одним фактором - одним индексом. Одна из весий модели называется рыночной моделью, поскольку в ней используется индекс S@P 500. Доходность акции в одноиндексной модели определяется из уравнения Доходность описывается одним индексом плюс специфика фирмы. Индивидуальная чувствительность к индексу заложена в коэффициенте

Расширения САРМ. Условная САРМ СCAPM Первоначальный вариант САРМ, предложенный Шарпом и Линтнером в современной финансовой математике называется безусловной САРМ UCAPM (Unconditional CAPM) и несмотря на недостатки используется в прогнозировании ожидаемой доходности. Расширенная САРМ, получившая название условная САРМ CCAPM (Conditional CAPM) как раз предполагает, что ожидаемые доходности и беты финансовых активов меняются во времени. Условная САРМ ориентирована на практическое применение и является предметов современных эконометрических исследований. Уравнение CCAPM имеет вид Параметры и в CCAPM называют условными, поскольку они изменяются во времени. В ССАРМ ожидаемая доходность финансового актива зависит от доходности актива и рыночной доходности за предыдущий период

Модель арбитражного ценообразования. Теория арбитражного ценнообразования АТР (Arbitrage Pricing Theory) является альтернативной однофакторной модели САРМ. Согласно АТР ожидаемая доходность актива зависит от множества факторов, а не от одного обобщенного рыночного фактора, как в классической модели рынка САРМ. Арбитражная модель предполагает наличие линейно связи между доходностью актива (портфеля) и N факторов. При условии наличия на рынке достаточно большого числа активов, позволяющих диверсифицировать несистематический риск, ожидаемая доходность равна Условием применения модели ATP является наличие полного и совершенного рынка. Цены определяются спросом и предложением, транзакционные издержки отсутствуют. Как и в модели CAPM инвесторы требуют компенсации за риск по отношению к безрисковой доходности. Компенсация за риск равна сумме произведений бета (систематического риска) каждого актива для данного фактора на премии по этому фактору. Премия за несистематический риск не предусматривается.