Колебания линейных распределенных систем
Лекция 8. Тема. Собственные частоты и собственные формы упругих стержней и стержневых систем
8. Продольные колебания стержня описывают уравнением Решение уравнения (7. 12), удовлетворяющее на каждом конце одному из краевых условий, должно также удовлетворять начальным условиям
Основные типы краевых условий для продольных колебаний стержней 1. u=0
В технической теории продольные колебания стержня описывают уравнением при p = 0 Если стержень имеет постоянные по длине характеристики EF = const, р. F = const, то уравнение для исследования собственных колебаний будет следующим: - скорость распространения продольных волн в стержне Функция u(x, t) на концах стержня должна удовлетворять краевым условиям, соответствующим характеру закрепления концов стержня.
Общее решение. Для стержня, совершающего собственные продольные колебания, переменные разделяют введением временного множителя, гармонически изменяющегося со временем: - соответственно частота и фаза колебаний. При рассмотрении собственных колебаний фаза несущественна и может быть положена равной нулю. Подстановка (8. 3 а) в (8. 2 а) приводит к уравнению
Общее решение (8. 4) можно представить в виде Определение собственных частот и форм продольных колебаний. Подстановка (8. 6) в краевые условия дает систему линейных однородных уравнений для определения С 1. и С 2 Из условия существования ненулевого решения этой системы (равенство нулю ее определителя) следует уравнение частот. при Формы собственных колебаний определяются ненулевым решением Сj - одна из собственных частот.
Пример 1. Определить собственную частоту и форму продольных колебаний стержня EF L Начальные условия для определения собственных частот всегда нулевые Граничные условия при x =0 и x = l 1) u (0, t) = 0, u (L, t) = 0 (8. 7) Решение уравнения имеет вид Подстановка (8. 3 а) в (8. 2 а) приводит к уравнению
Общее решение (8. 4) можно представить в виде 2) Подставим (8. 6) в краевые условия (8. 7) 3) Для того, чтобы было не нулевое решение необходимо 4) Собственные частоты продольных колебаний 5) Собственные формы продольных колебаний
Скачать презентацию Колебания линейных распределенных систем Лекция 8 Тема
8Лекция_2015_Динамика_сооружений.ppt