Колебания кристаллической решетки Гармоническое приближение Адиабатическое приближение

Колебания кристаллической решетки. Гармоническое приближение

Адиабатическое приближение; me<<M => можно считать, что электронная подсистема успевает подстраиваться под мгновенное положение ядер (атомных остовов)=>движение ядер можно рассматривать в эффективном среднем поле, создаваемом электронами (рассчитывается в предположении неподвижных ядер) 1) Амплитуда смещения атомов << расстояния между ними => потенциальную энергию кристаллической решетки можно разложить в ряд Тейлора в окрестности равновесных положений атомов - Константа для данного кристалла (берем за начало отсчета энергии) проекция на ось силы, действующей в положении равновесия на i-ый атом со стороны всех остальных

Оставляем только первый неисчезающий член – квадратичный (гармоническое приближение) - система взаимодействующих ЛГО Переходим к нормальным координатам (обязательно при этом учитывая периодичность расположения положений равновесия атомов) - ЛГО с единичной массой и частотой, равной частоте нормального колебания

- число заполнения осциллятора (число квантов, которые вобрал в себя ЛГО) Для того, чтобы задать стационарное состояние всей системы осцилляторов нужно указать число заполнения каждого осциллятора. Каждому осциллятору (собственному колебанию) поставим в соответствие квазичастицу с энергией, равной кванту этого осциллятора. Такие квазичастицы называются фононами. Поставим нашей системе осцилляторов газ таких фононов так, чтобы число фононов данного типа в газе равнялось числу заполнения соответствующего осциллятора. Если система осцилляторов переходит из одного состояния в другое, т. е. меняются числа заполнения осцилляторов, то соответствующее число фононов рождается и исчезает.

Вместо того, чтобы рассматривать колебания решетки можем рассматривать газ из фононов. Работаем с газом частиц => удобно перейти в представление вторичного квантования. Введем операторы уничтожения и рождения фононов

Число фононов не фиксировано (могут неограниченно рождаться)=>хим. потенциал фононного газа μ=0. В этом можно формально убедиться, вычислив стат. сумму системы осцилляторов.

- среднее число фононов f - Равновесная теплоемкость кристаллической решетки

Как определить собственные колебания? силовые коэффициенты (характеризуют действующие на атомы силы, которые возникают при их отклонении от положения равновесия Колебательное движение может иметь место только в том случае, когда потенциальная энергия имеет вид потенциальной ямы. Положение равновесия системы есть минимум ее потенциальной энергии.

Нигде точках не происходит скачка силы (нет физических причин => U и ее первые производные – непрерывные => вторые производные U не зависят от порядка дифференцирования В основном объеме все элементарные ячейки - физически эквивалентны. => Энергия взаимодействия между атомами может зависеть только от положения их в ячейке и от относительного положения ячеек, в которых они находятся, но не от положений ячеек по отдельности. Кристалл – периодическая структура => при параллельном переносе или при повороте решетки как целого не возникает действующих на атомы дополнительных сил

Находим уравнения движения

-система dg. N однородных ОДУ 2 -го порядка с постоянными коэффициентами => общее решение – линейная комбинация гармонических решений (плоских волн). Число плоских волн (фундаментальных решений) = число уравнений = dg. N. Произвольное колебание кристаллической решетки - Собственное колебание - квазиволновой вектор (определяет направление распространения волны) -номер ветви (нумерует собственные колебания с одинаковым q).

Находим частоты и амплитуды собственных колебаний

Уравнение спектра собственных колебаний Алгебраическое уравнение порядка dg => каждому значению q соответствует dg собственных колебаний. Груперуем собственные колебания по порядку возростания частоты Совокупность всех собственных колебаний с данным s – s-я ветвь собственных колебаний. Всего ветвей dg

Проверим матрицу на эрмитовость

Силовая матрица С(q) – эрмитовая. Собсвтвенные значения эрмитовой матрицы - вещественные (можно показать, что сами частоты неорицательны) Из линейно независимых собственных векторов эрмитовой матрицы можно сформировать полную ортонормированную систему => амплитуды собственных колебаний с данным волновым вектором образуют ПОНС - условие ортогональности - условие полноты

- физически эквивалентны Волновой вектор имеет смысл рассматривать только в одной зоне Бриллюэна - Непрерывная функция в первой зоне Бриллюэна => ограниченная

Проблема: Кристалл имеет конечные рамеры => нужны граничные условия. У нас граничные условия призваны отражать физическую картину на границе кристалла, как правило очень сложную. Решение: Силы быстро убывают с расстоянием => в глубине кристалла граница не ощущается => в объемных кристаллах можно срезать приграничную область, и рассматривать только внутренний объем, в котором влиянием границы можно пренебречь. Внутренний объем разбиваем на одинаковые макроскопические параллелепипеды, построенные на векторах элементарных трансляций. Кристалл – периодическая структура => Все параллелепипеды – физически эквивалентны => разумно потребовать, чтобы Физическая эквивалентность параллелепипеда (в среднем все одинаково) => достаточно рассмотреть только один параллелепипед с граничными условиями

Физически различные значения квазиволнового вектора лежат в пределах зоны Бриллюэна. Сколько физически различных значений квазиволнового вектора? Выбор зоны Бриллюэна – вопрос удобства. Возьмем в качестве зоны Бриллюэна параллелепипед, построенный на векторах элементарных трансляций обратной решетки Число физически различных значений квазиволнового вектора=число элементарных ячеек. Число различных собственных колебаний – утроенное число атомов

Спектр - квазидискретный

Анализ поведения ветвей при длинных волнах (в окрестности центра зоны Бриллюэна qa<<1)

Ветви с ω(0)=0

Всегда существует d ветвей с звуковым характером закона дисперсии (акустические ветви) - скорость звука в колебаниях акустических ветвей при длинных волнах все атомы в элементарной ячейке смещаются практически одинаково, т. е. элементарная ячейка колеблется как целое. Длинные волны – накрывают много ячеек => замыватся дискретность среды => получаются эффективно волны в сплошной среде - звук

Если число атомов в элементарной ячейке g>1, то существует d(g-1) оптических ветвей c в колебаниях оптических ветвей при длинных волнах положение центра тяжести элементарной ячейки практически не меняется, т. е. ячейка деформируется

- обобщенные координаты (указав их, задаю мгновенное положение решетки). Меняются по гармоническому закону => нормальные координаты

Перейдем к вещественным нормальным координатам

Низкие температуры – основной вклад дают звуковые колебания акустических ветвей (звуковые акустические фононы) В знаменателе подынтегрального выражения стоит экспонента => основной вклад в ET дают колебания с частотой При каких температурах этому условию удовлетворяют только звуковые колебания акустических ветвей? - При этих температурах можно учитывать только вклад звуковых колебаний акустических ветвей - усредняем скорость звука

Под знаком интеграла стоит экспонена=> в подынтегральной функции можно брать закон дисперсии акустических ветвей и распространять интегрирование на все q-пространство (основной вклад дают звуковые колебания => ошибка мала) Обезразмеривающая замена переменной

Высокие температуры – возбуждены все собственные колебания - Малый параметр. Нужно проводить разложение в ряд Тейлора

- Полное число собственных колебаний - энергия нулевых колебаний - Закон Дюлонга-Пти

Нужно перейти от суммирования по квантовым числам к интегрир. по энергии -число собственных колебаний с частотой в интервале ω0 - ω 0+Δ ω - плотность собственных колебаний - Число собственных колебаний с частотой в физ. беск. малом интерв

Через плотность собственных колебаний можно выразить любую макроскопическую характеристику. Наличие особенностей в плотности колебаний отражается на измеряемых величинах

Оператор смещения атомов