Кольцо главных идеалов Пусть К область целостности

Зарегистрируйтесь, чтобы просмотреть полный документ!

Кольцо главных идеалов Пусть К – область целостности с единицей. а К, (а) = {аt+аn / t K; n Z}. an=a(en). Так кольцо К содержит единицу, то (а) = {аt / t K}. (е) = {еt / t K} = К. Определение. Кольцо К называется кольцом главных идеалов, если: 1. К – область целостности 2. К – содержит е, е K; 3. любой идеал кольца К является главным, т. е. порождается каким-то его элементом.

Примеры: 1. <Z; +, >: 1) Z – область целостности; 2) 1 Z; 3) Пусть – идеал Z. Если состоит из одного нуля, то = (0) – главный идеал. Пусть (0). Тогда а Z, а 0, – а . а 0 (а 0) = . а) b (а 0), b = а 0 t, t Z, т. к. а 0 , то b = а 0 t (а 0) . б) Рассмотрим с . с= а 0 q+r, 0 r <а 0. r = с – а 0 q , но т. к. r <а 0 и а 0 – наименьшее целое положительное число, принадлежащее идеалу , то это возможно только при r=0 с= а 0 q (а 0) (а 0). а), б) = (а 0). Z – кольцо главных идеалов.

2. <P[x]; +, >: 1) P[x] – область целостности; 2) 1 P[x]; 3) Пусть – идеал P[x]. Тогда или = (0), или f(x) 0, f(x) . Пусть g(x) – многочлен наименьшей степени, принадлежащий . Покажем, что (g(x)) = . а) h(x) (g(x)) h(x) = g(x) (g(x)) . б) (x) = g(x)q(x)+r(x); N(r(x))<N(g(x)). r(x) = (x) – g(x)q(x) r(x) = 0 (x) = g(x)q(x) (g(x)) (g(x)). а), б) =(g(x)).

3. Р – поле: 1) Р – область целостности; 2) е P; 3) – идеал Р. Пусть а P, а ơ а-1 P. b b= b(а-1 а) = (bа-1)а (a). Таким образом, Р содержит только 2 идеала нулевой и само поле Р, причем поле Р будет главным идеалом, порожденным любым своим ненулевым элементом, т. е. в поле Р всего два идеала и оба главные.

4. К=<Z[x]; +, > 1) Z[x] – область целостности; 2) 1 Z[x]; 3) Рассмотрим идеал = (х, 3). Покажем, что этот идеал не является главным. (х, 3) = {f(x) x + g(x) 3} = . Z[x] Допустим, что – главный идеал, т. е. d(x) такой, что (d(x)) = . Тогда все элементы кратны d(x). 3 , т. к. 3 = 0 x + 1 3. Тогда 3 кратно d(x), т. е. 3 d(x)= 1 или d(x)= 3. Т. к. х = 1 x + 0 3 содержится в , то x d(x) 3 и d(x) = 1, а (1) = Z[x], но Z[x], следовательно, не является главным идеалом. Значит Z[x] не является кольцом главных идеалов.

Свойства колец главных идеалов Определение. Элемент кольца К называется делителем единицы е, если К такой, что = =е. Любой обратимый элемент является делителем единицы, т. к. а а-1=е. Т 1. В кольце с единицей идеал, порожденный делителем единицы, совпадает с самим кольцом. Доказательство. – делитель е, К. Покажем, что ( ) = К. 1) Т. к. К, то ( ) = { t / t К} К. 2) а К, а=а е = а ( ) = (а ) ( ) К ( ). 1), 2) ( ) = К.

Определение. Элемент а кольца К называется простым или неразложимым, если: 1) а – не делитель е; 2) а имеет только тривиальные делители, т. е. делители вида а , . Если а имеет делители, отличные от тривиальных, то а называется разложимым (составным) элементом кольца.

Примеры: 1. <Z; +, >: делителями е будут 1. а = 17 имеет делители 17 и 1, т. е. делители вида а и , т. е. 17 – неразложимый элемент. а = 21 = 3 7 – разложимый элемент. 2. <Z[x]; +, >: делители е 1. x 2+1 – неразложимый; x 2 -4=(x-2)(x+2) – разложимый. 3. <Q[x]; +, >: делители единицы все многочлены нулевой степени, т. е. все рациональные числа: и а x 2+5 x+6 = (x+2)(x+3) - разложим.

а=bc <Z; +, > 7 – простое. Z[ ] чисел вида а+b , где а и b – целые, составное: - необратимые. Z[i] – целых гауссовых чисел Определение. Элементы а и b области целостности К называются ассоциированными, если существует обратимый элемент К такой, что а = b. 5 и -5: 5 = -5 (-1), -1 – обратимый элемент Z. - обратимый эл-т.

а = p 1 p 2…pn и а = s 1 s 2 …sm Примеры. 1. В кольце Z[i] разложения 5 = (1+2 i)(1 -2 i) и 5 = (-2+i)(-2 -i) по существу одинаковы, т. к. -2+i = (1+2 i) i (i – обратимый элемент); -2 -i = (1 -2 i) (-i). 2. В кольце разложения и по существу одинаковы: – обратимые элементы.

3. В кольце 4 = 2 2 чисел вида Можно доказать, что числа 2, являются простыми в кольце ассоциированным с и 2 не является .

Задачи 1) Делится ли число а) в кольце на число 18=-7 х б) на число 23 = -23 y y = -1; x=5.

2) Доказать, что элементы кольца ассоциированы. 19 = -19 y y = -1; x=-2. – обратимый элемент:

Т 2. Если а – разложимый элемент кольца главных идеалов, то факторкольцо К/(а) содержит делители нуля. Доказательство: а – разложимый элемент кольца, а=bc, где b и c не являются тривиальными. Ка = (а) – нулевой элемент факторкольца К/(а): Ка = Кơ; (а) = Кơ. Ка = Кbc = Кb Кc = Кơ. Покажем, что Кb, Кc Кơ. Предположим, что Кb = Кơ = Ка = (а) b = аt = (bc)t = b(ct) ct = e, тогда с – делитель е, что невозможно Кb Кơ. Аналогично доказывается, что Кc Кơ.

Т 3. Если а – неразложимый элемент кольца главных идеалов, то факторкольцо К/(а) является полем. Доказательство. Поле – это ненулевое кольцо, в котором все ненулевые элементы имеют обратные. 1. Покажем, что К/(а) – ненулевое. Т. к. К – кольцо главных идеалов, то оно содержит е. Ке = (е) =К. Допустим, что Ке = (а), е (а) е = аt а – делитель единицы, это противоречит определению неразложимого элемента. Следовательно, Ке (а), т. е. Ке Кơ, т. е. в К/(а) есть ненулевые элементы.

Т 3. Если а – неразложимый элемент кольца главных идеалов, то факторкольцо К/(а) является полем. 2. Покажем, что ненулевые элементы факторкольца имеют обратные. Пусть Кc Кơ. Рассмотрим идеал = (с, а) = т. к. е К{cu+av / u, v K}. Т. к. К – кольцо главных идеалов, т. е. любой его идеал является главным, получаем, что d K, что = (d): (d) = (с, а). При u = 0, v = e и u = e, v = 0, получим, что с, а , т. е. с, а (d), тогда с, а кратны d, но а – неразложимый элемент и d может быть только тривиальным делителем, т. е. d = а или d = .

Т 3. Если а – неразложимый элемент кольца главных идеалов, то факторкольцо К/(а) является полем. а) Пусть d = а. Т. к. , c = ds = (a )s = a( s) (а). Кс = (а) = Кơ, что противоречит условию Кc Кơ, а значит случай d = а невозможен. б) Пусть d = . Тогда (d) = ( ) = К, т. к. (d) = d = {cu+av / u, v K}, т. о. получаем, d = cu +av. Тогда, с одной стороны, Кd = Ке. С другой стороны, Кd = Кcu +av = Кс Кu +Ка Кv = =Кс Кu + Кơ Кv = Кс Кu = Ке Кu - обратный к Кс. Т. о. , каждый ненулевой элемент факторкольца К/(а) имеет обратный, следовательно, К/(а) – поле.

Скачать презентацию Кольцо главных идеалов Пусть К область целостности

7_Кольцо главных идеалов.ppt

Количество слайдов: 17