Классификация задач и алгоритмов математического программирования

Классификация задач и алгоритмов математического программирования

. Задача условной оптимизации заключается в нахождении компонентов вектора X=(x 1, , xn) минимизирующих целевую функцию f(X) при выполнении ограничений gi(X) и X S: min f(X) gi(X) 0, i=1, , m X S (1)

. X= (x 1, x 2) min (x 12 + x 22) 2 x 1+x 2 ≤ -4 X R 2 x 12 + x 22 → min 2 x 1+x 2 ≤ -4 X R 2

. • По свойствам функций f, gi и определению множества S можно ввести классификацию задач оптимизации. М. Мину. Математическое программирование. Теория и алгоритмы. М. : Наука, 1990. • Если функции f, gi – линейные и S Zn , то задача (1) относится к классу задач целочисленного линейного программирования

«Сложные» задачи условной оптимизации – задачи для которых отсутствует априорная информация о функциях f, gi и множестве S, которая может быть использована для организации поиска оптимального решения, или сложность получения этой информации неприемлема: • Функций f, gi могут быть операторами, заданными правилами/алгоритмами их вычисления (имитационные модели, эмуляторы). • Множество S может быть компонентно разнородным: S = SR SZ SF SKS.

x 2 f(X)=-15 3 f(X)=-6 2 x* 1 1 2 3 f(x) = -3 x 1 – 3 x 2 → m i n x 1 + 2 x 2 ≤ 7 2 x 1 + x 2 ≤ 8 x 2 ≤ 3 x 1, x 2 ≥ 0 4 x 1 x* = (3, 2) f(x*) = -15

Симплекс метод

Задачи комбинаторной оптимизации • • • Множество S состоит из решений X, описывающих всевозможные: размещения, упорядочивания, разбиения на группы исходно заданных объектов. Математически множество S описывается набором ограничений, которые требуют согласованного изменения значений элементов X.

Классификация задач планирования вычислений Теория расписаний и вычислительные машины. Под ред. Э. Г. Коффмана. М. : Наука, 1984. 334 с. 1. Ресурсы. 2. Система заданий. 3. Ограничения при составлении расписаний. 4. Показатели эффективности расписания.

Конструктивные алгоритмы построения расписаний 3 2 1 4 6 2 2 5 3 1 t 7 2 1 4 6 3 5 7 4 t • Жадные алгоритмы • Метод ветвей и границ • Алгоритмы сочетающие жадные стратегии и стратегии ограниченного перебора t

Итерационные алгоритмы построения расписаний f(HP) HP 1 • • HP 2 HP 3 HP Алгоритмы случайного поиска Имитация отжига Алгоритмы локальной оптимизации Генетические и эволюционные алгоритмы

Алгоритмы, опирающиеся на метод проб и ошибок Идея о целесообразности случайного поведения, при наличии неопределенности, сформулирована У. Р. Эшби в работе [У. Росс Эшби. Конструкция мозга. - М. : , ИЛ, 1962. ]

Алгоритмы, опирающиеся на метод проб и ошибок • алгоритмы случайного поиска (ненаправленного, направленного с самообучением) [ Л. А. Растригин. Статистические методы поиска. - М. : Наука, 1968. ], • алгоритмы имитации отжига [Уоссермен Ф. Нейрокомпьютерная техника. Теория и практика. - М. : Мир, 1992. – 240 с. ],

Алгоритмы, опирающиеся на метод проб и ошибок • генетические и эволюционные алгоритмы [Holland J. N. Adaptation in Natural and Artificial Systems. Ann Arbor, Michigan: Univ. of Michigan Press, 1975. ] • муравьиные алгоритмы [Dorigo M. Optimization, Learning and Natural Algorithms. // Ph. D Thesis. Dipartimento di Elettronica, Politechnico Di Milano, Milano. 1992. ], [Штовба С. Д. Муравьиные алгоритмы: теория и применение// Программирование. 2005. № 4. ].

Алгоритмы случайного поиска • Основой методов случайного поиска служит итерационный процесс: k – величина шага, ( 1, , n) – некоторая реализация nмерного случайного вектора .

Алгоритмы имитации отжига (принцип работы)

Алгоритмы имитации отжига (общая схема) • Алгоритмы имитации отжига с некоторой вероятностью допускают переход в состояние с более высоким значением целевой функции: Поиск продолжается до тех пор, пока алгоритм не попадает в минимум, из которого он уже не может выйти за счет тепловых флуктуаций

Генетический алгоритм Холланда (SGA) • Holland J. N. Adaptation in Natural and Artificial Systems. Ann Arbor, Michigan: Univ. of Michigan Press, 1975.

Генетический алгоритм Холланда (SGA) • Основан на использовании механизмов естественной эволюции: 1. Изменчивость → операция мутации 2. Наследственность → операция скрещивания 3. Естесственный отбор → операция селекции

Муравьиные алгоритмы (биологическая модель) 1. Изначально вероятности выбора маршрутов равны 2. Муравьи, выбравшие кратчайший маршрут, возвращаются быстрее, количество феромона на коротких маршрутах больше 3. Вероятность выбора кратчайшего маршрута повышается

Муравьиные алгоритмы (МА для решения задачи коммивояжера) Общая схема итерации: • «Создание» муравьев • Построение маршрутов муравьями • Обновление феромонного следа на найденных маршрутах

• Классы P и NP (формальные определения, примеры). • Массовая задача, индивидуальная задача, частная задача (подзадача). • Определение полиномиальной сводимости. • Новикова Н. М. Основы оптимизации. Курс лекций. М. : МГУ, 1998. – 65 с. • Гэри М. , Джонсон В. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи. – М. : Мир, 1982. – 416 с.