Скачать презентацию КЛАССИФИКАЦИЯ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ Лекция 1 1 Пахомова Скачать презентацию КЛАССИФИКАЦИЯ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ Лекция 1 1 Пахомова

Л1.КЛАССИФИКАЦИЯ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ.ppt

  • Количество слайдов: 84

КЛАССИФИКАЦИЯ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ Лекция 1 1 КЛАССИФИКАЦИЯ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ ЗАДАЧ Лекция 1 1

Пахомова Наталия Алексеевна кафедра Информационные технологии и прикладной математики (ауд. 422) 2 Пахомова Наталия Алексеевна кафедра Информационные технологии и прикладной математики (ауд. 422) 2

Операции – целенаправленные управляемые процессы n военные действия, n производственные процессы, n коммерческие мероприятия, Операции – целенаправленные управляемые процессы n военные действия, n производственные процессы, n коммерческие мероприятия, n административные решения Действия несхожие по своей природе Одни и те же математические модели 3

Исследование операций - математическая дисциплина, занимающаяся разработкой и применением методов нахождения наилучших решений в Исследование операций - математическая дисциплина, занимающаяся разработкой и применением методов нахождения наилучших решений в различных областях человеческой деятельности. Исследование операций исходит из того, что в модели реальной проблемы имеются: - цель, которая должна быть достигнута; - ограничения, которые должны быть удовлетворены; - параметры, управляя которыми, можно достичь цель. 4

n Исследование операций как научная область сформировалась и развилась в середине двадцатого века. n n Исследование операций как научная область сформировалась и развилась в середине двадцатого века. n Целью этих разработок было получение математического аппарата для решения задач военных операций, отсюда и название этой области научных исследований. n Основоположниками этой науки являются Ричард Беллман, Г. Данциг, Клод Шенон (США), А. Кофман, Р. Фор (Франция), Н. П. Бусленко, Ю. Б. Гермейр, Б. В. Гнеденко, Л. В. Канторович (СССР). 5

История возникновения исследования операций 1885 г. Фредерик Тейлор – вывод о возможности применения научного История возникновения исследования операций 1885 г. Фредерик Тейлор – вывод о возможности применения научного анализа в сфере производства. 1916 г. Фредерик Ланчестр – «квадратичный закон» , который устанавливает связь между численным превосходством живой силы и эффективностью оружия. 20 -е гг. Формулы Эрланга были приняты в качестве стандартов для расчета эффективности 6 телефонных линий.

Определение исследование операций в экономике – область науки и хозяйственной деятельности, направленная на анализ Определение исследование операций в экономике – область науки и хозяйственной деятельности, направленная на анализ уровней и закономерностей развития экономических систем и процессов в любых масштабах – от фирмы до национальной экономики. Она включает в себя математические методы анализа экономической конъюнктуры, прогнозирования, моделирования экономических явлений, поиска оптимальных решений. 7

n Основная цель ИССОП – определение научно-обоснованных рекомендаций о путях, средствах и методах повышения n Основная цель ИССОП – определение научно-обоснованных рекомендаций о путях, средствах и методах повышения действенности и эффективности процессов управления. n Основной предмет теории ИССОП – исследование процессов принятия решений в условиях неопределенности. n Основной метод ИССОП – создание и анализ формальными, математическими методами моделей процессов принятия решений. 8

Исследование операций рассматривает следующие задачи: Задачи управления запасами Задачи распределения ресурсов Задачи ремонта и Исследование операций рассматривает следующие задачи: Задачи управления запасами Задачи распределения ресурсов Задачи ремонта и замены оборудования Задачи массового обслуживания Задача составления расписаний движения транспорта (грузового, пассажирского, смешанного). n Задачи сетевого планирования или управления n Задачи выбора оптимального маршрута n n n 9

Оптимальное математическое программирование ЦЕЛЬ (критерий, целевая функция) F(x 1; x 2; …; xn) → Оптимальное математическое программирование ЦЕЛЬ (критерий, целевая функция) F(x 1; x 2; …; xn) → экстремум ОГРАНИЧЕНИЯ (условия, требования) Gj(x 1; x 2; …; xn) [>; ≥; =; <; ≤] bj где j = 1, 2, …, m ТРЕБОВАНИЯ К ПЕРЕМЕННЫМ xi≥ 0 не отрицательность xi – целые, xi – выражены через параметры, xi – случайные и т. д. 10

Полное решение поставленной задачи не найдено до сих пор, но получены существенные результаты во Полное решение поставленной задачи не найдено до сих пор, но получены существенные результаты во множестве частных случаев 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Если функции F и Gj линейные, то в этом случае задача носит название задачи линейного программирования. Если F дробно-линейная, а Gj – линейные, то это задача дробно-линейного программирования. Если F квадратичная функция, а Gj линейные, то это задача квадратичного программирования. Если xi – целые, то это задача целочисленного программирования. Если xi – выражены через параметры, то это задача параметрического программирования. Если хотя бы одна из xi - случайная величина, то это задача стохастического программирования. Если результат многоэтапного решения зависит от оптимального выбора на каждом этапе, то это задача динамического программирования. 11

История линейного программирования КАНТОРОВИЧ Леонид Витальевич (1912 -86), российский математик и экономист, академик АН История линейного программирования КАНТОРОВИЧ Леонид Витальевич (1912 -86), российский математик и экономист, академик АН СССР. Положил начало линейному программированию. Один из создателей теории оптимального планирования и управления народным хозяйством, теории оптимального использования сырьевых ресурсов. 12

Задача линейного программирования имеет следующий вид 1) Целевая функция Z= 2) Ограничения → экстремум Задача линейного программирования имеет следующий вид 1) Целевая функция Z= 2) Ограничения → экстремум (оптимум) [>≥=<≤] bj , где j=1, 2, …, m 3) Требования к переменным xi≥ 0 (не отрицательность). 13

СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ n Графический n Жордановский n Средствами Excel 14 СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ n Графический n Жордановский n Средствами Excel 14

Пример: 15 Пример: 15

Найдем графическое решение первого неравенства C В D А E 16 Найдем графическое решение первого неравенства C В D А E 16

Найдем графическое решение второго неравенства C В D А E 17 Найдем графическое решение второго неравенства C В D А E 17

Найдем графическое решение третьего неравенства C В D А E 18 Найдем графическое решение третьего неравенства C В D А E 18

Найдем графическое решение четвертого неравенства C В D А E 19 Найдем графическое решение четвертого неравенства C В D А E 19

Найдем графическое решение пятого неравенства C В D А E 20 Найдем графическое решение пятого неравенства C В D А E 20

Графиком целевой функции является семейство параллельных прямых C В D А E 21 Графиком целевой функции является семейство параллельных прямых C В D А E 21

Графиком целевой функции является семейство параллельных прямых C В D А E 22 Графиком целевой функции является семейство параллельных прямых C В D А E 22

Графиком целевой функции является семейство параллельных прямых C В D А E 23 Графиком целевой функции является семейство параллельных прямых C В D А E 23

Графиком целевой функции является семейство параллельных прямых C В D А E 24 Графиком целевой функции является семейство параллельных прямых C В D А E 24

СПОСОБ ЖОРДАНОВЫХ ИСКЛЮЧЕНИЙ (СИМПЛЕКСНЫЙ) Симплексный метод требует реобразования имеющейся модели к каноническому виду. Суть СПОСОБ ЖОРДАНОВЫХ ИСКЛЮЧЕНИЙ (СИМПЛЕКСНЫЙ) Симплексный метод требует реобразования имеющейся модели к каноническому виду. Суть этой формы в том, что каждое неравенство из системы ограничений должно быть приведено к виду □≥ 0, а уравнение – к виду □=0. Кроме того, целевая функция должна стремиться к минимуму. 25

Основная форма представления задачи линейного программирования Исходная форма Z=x 1+x 2→min 3 x 1+x Основная форма представления задачи линейного программирования Исходная форма Z=x 1+x 2→min 3 x 1+x 2≥ 8 x 1 -4 x 2≤ 19 2 x 1+3 x 2≤ 28 x 1 -x 2≤ 4 x 1+3 x 2≥ 8 Каноническая форма Z=x 1+x 2→min y 1=3 x 1+x 2 -8 y 2=-x 1 - 4 x 2 -19 y 3=-2 x 1+3 x 2 -28 y 4=-x 1 - x 2 - 4 y 5= x 1+3 x 2 -8 26

Основная форма представления задачи линейного программирования Исходная форма Z=x 1+x 2→min 3 x 1+x Основная форма представления задачи линейного программирования Исходная форма Z=x 1+x 2→min 3 x 1+x 2≥ 8 x 1 -4 x 2≤ 19 2 x 1+3 x 2≤ 28 x 1 -x 2≤ 4 x 1+3 x 2≥ 8 Каноническая форма Z=x 1+x 2→min y 1=3 x 1+x 2 -8 y 2=-x 1 - 4 x 2 -19 y 3=-2 x 1+3 x 2 -28 y 4=-x 1 - x 2 - 4 y 5= x 1+3 x 2 -8 27

Основная форма представления задачи линейного программирования Исходная форма Z=x 1+x 2→min 3 x 1+x Основная форма представления задачи линейного программирования Исходная форма Z=x 1+x 2→min 3 x 1+x 2≥ 8 x 1 -4 x 2≤ 19 2 x 1+3 x 2≤ 28 x 1 -x 2≤ 4 x 1+3 x 2≥ 8 Каноническая форма Z=x 1+x 2→min y 1=3 x 1+x 2 -8 y 2=-x 1+4 x 2+19 y 3=-2 x 1 -3 x 2+28 y 4=-x 1+x 2+4 y 5= x 1+3 x 2 -8 28

Основная форма представления задачи линейного программирования Исходная форма Z=x 1+x 2→min 3 x 1+x Основная форма представления задачи линейного программирования Исходная форма Z=x 1+x 2→min 3 x 1+x 2≥ 8 x 1 -4 x 2≤ 19 2 x 1+3 x 2≤ 28 x 1 -x 2≤ 4 x 1+3 x 2≥ 8 Каноническая форма Z=x 1+x 2→min y 1=3 x 1+x 2 -8 y 2=-x 1+4 x 2+19 y 3=-2 x 1 -3 x 2+28 y 4=-x 1+x 2+4 y 5= x 1+3 x 2 -8 29

Все коэффициенты канонической формы заносят в Жорданову таблицу n В заголовках столбцов этой таблицы Все коэффициенты канонической формы заносят в Жорданову таблицу n В заголовках столбцов этой таблицы ставят имена определяемых переменных: х1 , х2, а также заголовок столбца свободных членов всех ограничений или, его еще называют столбцом единиц. n В заголовках строк таблицы записывают имена введенных, дополнительных переменных: y 1, y 2, y 3, нули для нуль-строк, а также имя целевой функции Z. n При заполнении таблицы обязательно X 1 X 2 1 Y 2 Y 3 Z учитывать знаки каждого коэффициента. 30

Для нашей задачи таблица будет выглядеть следующим образом X 1 Y 2 Y 3 Для нашей задачи таблица будет выглядеть следующим образом X 1 Y 2 Y 3 Y 4 Y 5 Z X 2 1 3 -1 -2 -1 1 4 -3 1 -8 19 28 4 -8 0 31

Для нашей задачи таблица будет выглядеть следующим образом X 1 Y 2 Y 3 Для нашей задачи таблица будет выглядеть следующим образом X 1 Y 2 Y 3 Y 4 Y 5 Z X 2 1 3 -1 -2 -1 1 4 -3 1 -8 19 28 4 -8 0 32

Для нашей задачи таблица будет выглядеть следующим образом X 1 Y 2 Y 3 Для нашей задачи таблица будет выглядеть следующим образом X 1 Y 2 Y 3 Y 4 Y 5 Z X 2 1 3 -1 -2 -1 1 4 -3 1 -8 19 28 4 -8 0 33

Для нашей задачи таблица будет выглядеть следующим образом X 1 Y 2 Y 3 Для нашей задачи таблица будет выглядеть следующим образом X 1 Y 2 Y 3 Y 4 Y 5 Z X 2 1 3 -1 -2 -1 1 4 -3 1 -8 19 28 4 -8 0 34

Для нашей задачи таблица будет выглядеть следующим образом X 1 Y 2 Y 3 Для нашей задачи таблица будет выглядеть следующим образом X 1 Y 2 Y 3 Y 4 Y 5 Z X 2 1 3 -1 -2 -1 1 4 -3 1 -8 19 28 4 -8 0 35

Для нашей задачи таблица будет выглядеть следующим образом X 1 Y 2 Y 3 Для нашей задачи таблица будет выглядеть следующим образом X 1 Y 2 Y 3 Y 4 Y 5 Z X 2 1 3 -1 -2 -1 1 4 -3 1 -8 19 28 4 -8 0 36

Для нашей задачи таблица будет выглядеть следующим образом X 1 Y 2 Y 3 Для нашей задачи таблица будет выглядеть следующим образом X 1 Y 2 Y 3 Y 4 Y 5 Z X 2 1 3 -1 -2 -1 1 4 -3 1 -8 19 28 4 -8 0 37

Для нашей задачи таблица будет выглядеть следующим образом X 1 Y 2 Y 3 Для нашей задачи таблица будет выглядеть следующим образом X 1 Y 2 Y 3 Y 4 Y 5 Z X 2 1 3 -1 -2 -1 1 4 -3 1 -8 19 28 4 -8 0 38

Последовательное преобразование Жордановой таблицы n Задача считается решенной, если коэффициенты при переменных в целевой Последовательное преобразование Жордановой таблицы n Задача считается решенной, если коэффициенты при переменных в целевой строке не отрицательны, и при этом все свободные члены дополнительных переменных также не отрицательны. n Все преобразования таблиц основаны на так называемых разрешающих элементах. X 1 X 2 1 Y 2 Y 3 81 19 2/8 Y 4 Y 5 Z 4 18 0 1/5 11 39

Правила выбора разрешающего элемента 1. Разрешающий элемент не может находиться в столбце свободных членов Правила выбора разрешающего элемента 1. Разрешающий элемент не может находиться в столбце свободных членов и в строке целевой функции. Он не может быть равным нулю. 2. Любой отрицательный элемент в столбце свободных членов определяет возможную разрешающую строку. Для выбора самого разрешающего элемента находят отношения соответствующего свободного элемента ко всем положительным элементам этой же строки. Наименьший результат таких отношений и определит разрешающий элемент. Следует учесть все такие строки, если их несколько. 3. Любой отрицательный элемент целевой строки определяет возможный разрешающий столбец. Наибольшее из всех возможных отношений соответствующих свободных членов к отрицательным элементам такого столбца и определит разрешающий элемент. 4. После выбора разрешающего элемента ячейки Жордановой таблицы пересчитывают также по определенным правилам и переходят к следующей таблице. 40

Предыдущая таблица Последующая таблица yj a b xi A=(a. R-bd)/R c B=b/R C=(c. R-be)/R Предыдущая таблица Последующая таблица yj a b xi A=(a. R-bd)/R c B=b/R C=(c. R-be)/R D=-d/R R’=1/R E=-e/R F=(f. R-dg)/R G= g/R H=(h. R-ge)/R … xi d … R … e yj … f g h … 41

Предыдущая таблица Последующая таблица yj a b xi A=(a. R-bd)/R c B=b/R C=(c. R-be)/R Предыдущая таблица Последующая таблица yj a b xi A=(a. R-bd)/R c B=b/R C=(c. R-be)/R D=-d/R R’=1/R E=-e/R F=(f. R-dg)/R G= g/R H=(h. R-ge)/R … xi d … R … e yj … f g h … На место разрешающего элемента пишем обратную величину 42

Предыдущая таблица Последующая таблица yj a b xi A=(a. R-bd)/R c B=b/R C=(c. R-be)/R Предыдущая таблица Последующая таблица yj a b xi A=(a. R-bd)/R c B=b/R C=(c. R-be)/R D=-d/R R’=1/R E=-e/R F=(f. R-dg)/R G=g/R H=(h. R-ge)/R … xi d … R … e yj … f g h … Разрешающий столбец делим на разрешающий элемент 43

Предыдущая таблица Последующая таблица yj a b xi A=(a. R-bd)/R c B=b/R C=(c. R-be)/R Предыдущая таблица Последующая таблица yj a b xi A=(a. R-bd)/R c B=b/R C=(c. R-be)/R D=-d/R R’=1/R E=-e/R F=(f. R-dg)/R G=g/R H=(h. R-ge)/R … xi d … R … e yj … f g h … Строку делим на величину, обратную разрешающему элементу 44

Предыдущая таблица Последующая таблица yj a xi b A=(a. R-bd)/R c B=b/R C=(c. R-be)/R Предыдущая таблица Последующая таблица yj a xi b A=(a. R-bd)/R c B=b/R C=(c. R-be)/R D=-d/R R’=1/R E=-e/R F=(f. R-dg)/R G= g/R H=(h. R-ge)/R … xi d … R … e yj … f g h … Остальные элементы находим по правилу прямоугольника 45

Правила заполнения новой таблицы n a, b, c, d - старые значения, R – Правила заполнения новой таблицы n a, b, c, d - старые значения, R – разрешающий элемент n R’=1/R – новое значение клетки разрешающего элемента; n B=b/R, … G=g/R – новые значения элементов разрешающего столбца; n D=-d/R, … E=-e/R - новые значения элементов разрешающей строки; n A=(a. R-bd)/R, C=(c. R-be)/R, F=(f. R-dg)/R, H=(h. R-ge)/R – новые значения элементов не лежащих в разрешающей строке или столбце. 46

Рассмотрим первую таблицу нашей задачи X 1 X 2 1 Y 1 3 1 Рассмотрим первую таблицу нашей задачи X 1 X 2 1 Y 1 3 1 -8 Y 2 -1 4 19 Y 3 -2 -3 28 Y 4 -1 1 4 Y 5 1 3 -8 Z 1 1 0 Находим разрешающий элемент: -8/3, -8/1, -8/3 47

Обратите внимание, произошла смена заголовков X 1 X 2 1 X 1 Y 1 Обратите внимание, произошла смена заголовков X 1 X 2 1 X 1 Y 1 3 1 -8 X 2 Y 2 -1 4 19 Y 2 Y 3 -2 -3 28 Y 3 -2*1 -3*(-3) Y 4 -1 1 4 Y 4 -1*1 -3*1 4/1 -1*(-8) Y 5 1 3 -8 Y 5 1*1 -3*3 -8*1 -3*(-8) Z 1 1 0 Z 1*1 -3*1 0*1 -1*(-8) -1*1 -3*4 Y 1 1 19*1 -4*(-8) 28*1 -(-3)*(-8) 48

Обратите внимание, произошла смена заголовков X 1 X 2 1 X 1 Y 1 Обратите внимание, произошла смена заголовков X 1 X 2 1 X 1 Y 1 3 1 -8 X 2 Y 2 -1 4 19 Y 2 -1*1 -3*4 19*1 -4*(-8) Y 3 -2 -3 28 Y 3 28*1 -(-3)*(-8) Y 4 -1 1 4 -2*1 -3*(3) Y 5 1 3 -8 Y 4 -1*1 -3*1 4/1 -1*(-8) Z 1 1 0 Y 5 1*1 -3*3 -8*1 -3*(-8) Z 1*1 -3*1 0*1 -1*(-8) 1/1 49

Обратите внимание, произошла смена заголовков X 1 X 2 1 X 1 Y 1 Обратите внимание, произошла смена заголовков X 1 X 2 1 X 1 Y 1 3 1 -8 X 2 Y 2 -1 4 19 Y 2 -1*1 -3*4 Y 3 -2 -3 28 Y 3 Y 4 -1 1 4 -2*1 -3*(- -3/1 28*1 -(-3)*(-8) 3) Y 5 1 3 -8 Y 4 -1*1 -3*1 1/1 4/1 -1*(-8) Z 1 1 0 Y 5 1*1 -3*3 3/1 -8*1 -3*(-8) Z 1*1 -3*1 1/1 0*1 -1*(-8) 1/1 4/1 19*1 -4*(-8) 50

Обратите внимание, произошла смена заголовков X 1 X 2 1 X 1 Y 1 Обратите внимание, произошла смена заголовков X 1 X 2 1 X 1 Y 1 3 1 -8 X 2 -3/1 1/1 -(-8)/1 Y 2 -1 4 19 Y 2 -1*1 -3*4 4/1 19*1 -4*(-8) Y 3 -2 -3 28 Y 3 -1 1 4 -2*1 -3*(- -3/1 28*1 -(-3)*(-8) 3) Y 4 Y 5 1 3 -8 Y 4 -1*1 -3*1 1/1 4/1 -1*(-8) Z 1 1 0 Y 5 1*1 -3*3 3/1 -8*1 -3*(-8) Z 1*1 -3*1 1/1 0*1 -1*(-8) 51

X 1 X 2 1 X 1 Y 1 3 1 -8 X 2 X 1 X 2 1 X 1 Y 1 3 1 -8 X 2 -3/1 1/1 -(-8)/1 Y 2 -1 4 19 Y 2 (-1*1 -3*4)/1 Y 3 -2 -3 28 Y 3 -2*1 -3*(-3) -3/1 28*1 -(-3)*(8) Y 4 -1 1 4 Y 4 -1*1 -3*1 1/1 4/1 -1*(-8) Y 5 1 3 -8 Y 5 1*1 -3*3 3/1 Z 1 1 0 -8*1 -3*(8) Z 1*1 -3*1 1/1 0*1 -1*(-8) 4/1 19*1 -4*(-8) 52

X 1 X 2 1 X 1 Y 1 3 1 -8 X 2 X 1 X 2 1 X 1 Y 1 3 1 -8 X 2 -3/1 1/1 -(-8)/1 Y 2 -1 4 19 Y 2 (-1*1 -3*4)/1 4/1 19*1 -4*(-8) Y 3 -2 -3 28 Y 3 -3/1 Y 4 -1 1 4 Y 4 1/1 (4*1 -1*(-8))/1 Y 5 1 3 -8 Y 5 1*1 -3*3 3/1 -8*1 -3*(-8) Z 1 1 0 Z 1*1 -3*1 1/1 0*1 -1*(-8) 53

X 1 Y 1 1 X 2 -3/1 1/1 -(-8)/1 Y 2 -1*1 -3*4 X 1 Y 1 1 X 2 -3/1 1/1 -(-8)/1 Y 2 -1*1 -3*4 4/1 19*1 -4*(8) Y 3 -2*1 -3*(-3) -3/1 28*1 -(3)*(-8) -8 Y 4 -1*1 -3*1 1/1 4/1 -1*(-8) 0 Y 5 1*1 -3*3 3/1 -8*1 -3*(8) Z 1*1 -3*1 1/1 0*1 -1*(-8) X 1 X 2 1 Y 1 3 1 -8 Y 2 -1 4 19 Y 3 -2 -3 28 Y 4 -1 1 4 Y 5 1 3 Z 1 1 54

X 1 X 2 1 Y 1 3 1 -8 Y 2 -1 4 X 1 X 2 1 Y 1 3 1 -8 Y 2 -1 4 19 Y 3 -2 -3 28 Y 4 -1 1 4 Y 5 1 3 Z 1 1 X 1 Y 1 1 X 2 -3/1 1/1 -(-8)/1 Y 2 -1*1 -3*4 4/1 19*1 -4*(8) Y 3 -2*1 -3*(-3) -8 Y 4 -1*1 -3*1 1/1 4/1 -1*(-8) 0 Y 5 1*1 -3*3 3/1 -8*1 -3*(-8) Z 1*1 -3*1 1/1 0*1 -1*(-8) -3/1 28*1 -(-3)*( -8) 55

X 1 X 2 1 Y 1 3 1 -8 Y 2 -1 4 X 1 X 2 1 Y 1 3 1 -8 Y 2 -1 4 19 Y 3 -2 -3 28 Y 4 -1 1 4 Y 5 1 3 Z 1 1 X 1 Y 1 1 X 2 -3/1 1/1 -(-8)/1 Y 2 -1*1 -3*4 4/1 19*1 -4*(8) Y 3 -2*1 -3*(-3) -8 Y 4 -1*1 -3*1 1/1 4/1 -1*(-8) 0 Y 5 1*1 -3*3 3/1 -8*1 -3*(-8) Z 1*1 -3*1 1/1 0*1 -1*(-8) -3/1 28*1 -(-3)*( -8) 56

X 1 X 2 1 Y 1 3 1 -8 Y 2 -1 4 X 1 X 2 1 Y 1 3 1 -8 Y 2 -1 4 19 Y 3 -2 -3 28 Y 4 -1 1 4 Y 5 1 3 Z 1 1 X 1 Y 1 1 X 2 -3/1 1/1 -(-8)/1 Y 2 -1*1 -3*4 4/1 19*1 -4*(8) Y 3 -2*1 -3*(-3) -8 Y 4 -1*1 -3*1 1/1 4/1 -1*(-8) 0 Y 5 1*1 -3*3 3/1 -8*1 -3*(-8) Z 1*1 -3*1 1/1 0*1 -1*(-8) -3/1 28*1 -(-3)*( -8) 57

X 1 X 2 1 X 1 Y 1 3 1 -8 X 2 X 1 X 2 1 X 1 Y 1 3 1 -8 X 2 -3/1 1/1 -(-8)/1 Y 2 -1 4 19 Y 2 -1*1 -3*4 4/1 19*1 -4*(-8) Y 3 -2 -3 28 Y 3 Y 4 -1 1 4 Y 5 1 3 -8 Z 1 1 0 -2*1 -3*(-3) -3/1 28*1 -(-3)*( -8) Y 4 -1*1 -3*1 1/1 4/1 -1*(-8) Y 5 1*1 -3*3 3/1 -8*1 -3*(-8) Z 1*1 -3*1 1/1 0*1 -1*(-8) 58

X 1 X 2 1 Y 1 3 1 -8 Y 2 -1 4 X 1 X 2 1 Y 1 3 1 -8 Y 2 -1 4 Y 3 -2 Y 4 X 1 Y 1 1 X 2 -3/1 1/1 -(-8)/1 19 Y 2 -1*1 -3*4 4/1 19*1 -4*(-8) -3 28 Y 3 -2*1 -3*(-3) -1 1 4 Y 4 -1*1 -3*1 1/1 4/1 -1*(-8) Y 5 1 3 -8 Y 5 1*1 -3*3 3/1 -8*1 -3*(-8) Z 1 1 0 Z 1*1 -3*1 1/1 0*1 -1*(-8) -3/1 28*1 -(-3)*(-8) 59

X 1 X 2 1 Y 1 3 1 -8 Y 2 -1 4 X 1 X 2 1 Y 1 3 1 -8 Y 2 -1 4 Y 3 -2 Y 4 X 1 Y 1 1 X 2 -3/1 1/1 -(-8)/1 19 Y 2 -1*1 -3*4 4/1 19*1 -4*(-8) -3 28 Y 3 -2*1 -3*(-3) -1 1 4 Y 4 -1*1 -3*1 1/1 4/1 -1*(-8) Y 5 1 3 -8 Y 5 1*1 -3*3 3/1 -8*1 -3*(-8) Z 1 1 0 Z 1*1 -3*1 1/1 0*1 -1*(-8) -3/1 28*1 -(-3)*(-8) 60

X 1 Y 1 1 X 2 -3/1 1/1 -(-8)/1 19 Y 2 -1*1 X 1 Y 1 1 X 2 -3/1 1/1 -(-8)/1 19 Y 2 -1*1 -3*4 4/1 19*1 -4*(-8) -3 28 Y 3 -2*1 -3*(-3) -1 1 4 Y 4 -1*1 -3*1 1/1 4/1 -1*(-8) Y 5 1 3 -8 Y 5 1*1 -3*3 3/1 -8*1 -3*(-8) Z 1 1 0 Z 1*1 -3*1 1/1 0*1 -1*(-8) X 1 X 2 1 Y 1 3 1 -8 Y 2 -1 4 Y 3 -2 Y 4 -3/1 28*1 -(-3)*(-8) 61

Вторая таблица: X 2 Y 3 Y 4 Y 5 Z X 1 -3 Вторая таблица: X 2 Y 3 Y 4 Y 5 Z X 1 -3 -13 7 -4 -8 -2 Y 1 1 4 -3 1 1 8 51 4 12 16 8 62

Вторая таблица: X 2 Y 3 X 1 -3 -13 7 Y 1 1 Вторая таблица: X 2 Y 3 X 1 -3 -13 7 Y 1 1 4 -3 1 8 51 4 Y 5 Z -4 -8 -2 1 3 1 12 16 8 -8/3 63

Вторая таблица: X 2 Y 3 X 1 -3 -13 7 Y 1 1 Вторая таблица: X 2 Y 3 X 1 -3 -13 7 Y 1 1 4 -3 1 8 51 4 Y 5 Z -4 -8 -2 1 3 1 12 16 8 -51/13, -8/3 64

Вторая таблица: X 2 Y 3 X 1 -3 -13 7 Y 1 1 Вторая таблица: X 2 Y 3 X 1 -3 -13 7 Y 1 1 4 -3 1 8 51 4 Y 5 Z -4 -8 -2 1 3 1 12 16 8 -12/4, -51/13, -8/3 65

Вторая таблица: X 2 Y 3 X 1 -3 -13 7 Y 1 1 Вторая таблица: X 2 Y 3 X 1 -3 -13 7 Y 1 1 4 -3 1 8 51 4 Y 5 Z -4 -8 -2 1 3 1 12 16 8 -16/8, -12/4, -51/13, -8/3; наибольшее число -16/8=-2 66

Вторая таблица: X 2 Y 3 X 1 -3 -13 7 Y 1 1 Вторая таблица: X 2 Y 3 X 1 -3 -13 7 Y 1 1 4 -3 1 8 51 4 Y 5 Z -4 -8 -2 1 3 1 12 16 8 67

Третья таблица: Y 5 Y 1 1 X 2 2 Y 2 25 Y Третья таблица: Y 5 Y 1 1 X 2 2 Y 2 25 Y 3 18 Y 4 4 X 1 -1/8 3/8 2 Z 2/8 4 68

Третья таблица: Y 5 Y 1 1 X 2 2 Y 2 25 Y Третья таблица: Y 5 Y 1 1 X 2 2 Y 2 25 Y 3 18 Y 4 4 X 1 -1/8 3/8 2 Z 2/8 4 В последней таблице в столбце свободных членов нет отрицательных элементов, поэтому она демонстрирует так называемое «допустимое» решение. Кроме того, в последней таблице в строке целевой функции также нет отрицательных элементов, значит, имеющееся решение есть не только допустимое, но и оптимальное. Заметив этот факт, мы не стали заполнять все остальные клетки таблицы, т. к. ответ уже получен. 69

Третья таблица: Y 5 Y 1 1 X 2 2 Y 2 25 Y Третья таблица: Y 5 Y 1 1 X 2 2 Y 2 25 Y 3 18 Y 4 4 X 1 -1/8 3/8 2 Z 2/8 4 В последней таблице в столбце свободных членов нет отрицательных элементов, поэтому она демонстрирует так называемое «допустимое» решение. Кроме того, в последней таблице в строке целевой функции также нет отрицательных элементов, значит, имеющееся решение есть не только допустимое, но и оптимальное. Заметив этот факт, мы не стали заполнять все остальные клетки таблицы, т. к. ответ уже получен. -2 / (-8) = 2/8 столбец делим на противоположный разрешающему элементу 70

Третья таблица: Y 5 Y 1 1 Y 3 18 Y 4 4 -3 Третья таблица: Y 5 Y 1 1 Y 3 18 Y 4 4 -3 1 8 Y 2 -13 4 51 Y 3 7 -3 4 Y 4 -4 1 12 Y 5 25 1 -8 3 16 Z -2 1 8 2 Y 1 X 2 X 1 -1/8 3/8 2 Z 2/8 4 ( 1* (-8) - 3* (-2))/(-8) = (-8+6)/(-8)= - 2/( - 8) = 2/8 71

Третья таблица: Y 5 Y 1 X 1 Y 1 1 X 2 -3 Третья таблица: Y 5 Y 1 X 1 Y 1 1 X 2 -3 1 8 1 X 2 2 Y 2 25 Y 2 -13 4 51 Y 3 18 Y 3 7 -3 4 Y 4 -4 1 12 Y 5 -8 3 16 Z -2 1 8 Y 4 4 X 1 -1/8 3/8 2 Z 2/8 4 72

Третья таблица: Y 5 Y 1 1 X 2 2 Y 2 25 Y Третья таблица: Y 5 Y 1 1 X 2 2 Y 2 25 Y 3 18 Y 4 4 X 1 -1/8 3/8 2 Z 2/8 4 В последней таблице в столбце свободных членов нет отрицательных элементов, поэтому она демонстрирует так называемое «допустимое» решение. Кроме того, в последней таблице в строке целевой функции также нет отрицательных элементов, значит, имеющееся решение есть не только допустимое, но и оптимальное. 73

Оформление результата решения Результат решения определяют из последней таблицы следующим образом: любая переменная, стоящая Оформление результата решения Результат решения определяют из последней таблицы следующим образом: любая переменная, стоящая в заголовке строки равна свободному члену этой строки, а переменная в заголовке столбца принимается равной нулю. Таким образом, по нашей задаче решением будет следующий результат: X 1=2, X 2=2, Y 1=0, Y 2=25, Y 3=18, Y 4=4, Y 5=0, Zmin=4. 74

Проверка: n 3*2+2=8, 8=8, различия левой и правой частей нет, значит Y 1=0, но Проверка: n 3*2+2=8, 8=8, различия левой и правой частей нет, значит Y 1=0, но n n n точно такой же результат дает и последняя таблица, т. к. Y 1 в ней стоит в заголовке столбца. 2 -4*2=-6<19, что, конечно же, справедливо и различие составляет число 25, следовательно, Y 2=25, но то же самое и по последней таблице. 2*2+3*2=10<28 на 18, следовательно, Y 3=18, так же и в таблице. 2 -2=0<4 на 4, Y 4=4, что подтверждается таблицей. 2+3*2=8, 8=8, Y 5=0. Наконец, z=2+2=4, но и по таблице тот же результат. Таким образом, полученное решение удовлетворяет всем ограничениям задачи и обеспечивает минимум целевой функции равный 4. 75

Решение задач линейного программирования в Excel n В настоящее время наиболее мощным средством решения Решение задач линейного программирования в Excel n В настоящее время наиболее мощным средством решения таких задач на компьютере является пакет Excel с его надстройкой «Поиск решения» . n Для решения задачи в Excel необходимо правильно поместить математическую модель по ячейкам электронной таблицы при этом целесообразно придерживаться примерно следующей схемы заполнения ячеек 76

Установка Поиска решения 77 Установка Поиска решения 77

Установка Поиска решения 78 Установка Поиска решения 78

Установка Поиска решения 79 Установка Поиска решения 79

80 80

Продемонстрируем использование «Поиска решения» на примере, решенном симплексным методом. В таблице Excel условие задачи Продемонстрируем использование «Поиска решения» на примере, решенном симплексным методом. В таблице Excel условие задачи можно представить так Задача X 1 X 2 значения 0 0 Z коэф. -ты 1 1 0 переменные Ограничения Формулы Знак Объем 1 -ое 3 1 0 >= 8 2 -ое 1 -4 0 <= 19 3 -е 2 3 0 <= 28 4 -ое 1 -1 0 <= 4 5 -ое 1 3 0 >= 8 81

Окно Поиска решения будет выглядеть так 82 Окно Поиска решения будет выглядеть так 82

По этому окну будет получен следующий результат n В ячейке D 4 имеем минимальное По этому окну будет получен следующий результат n В ячейке D 4 имеем минимальное значение целевой функции равное 4. Оптимальные значения переменных в ячейках B 3 и C 3 равны по 2. n Все ограничения выполняются. В частности, 2 -ое ограничение: по его формуле результат равен – 6, а его объем равен 19, следовательно, левая часть меньше правой на 25, но именно такой же результат был получен и предыдущим способом. 83

Решение в MATHCAD 84 Решение в MATHCAD 84