Скачать презентацию КЛАССИФИКАЦИЯ ДВИЖЕНИЙ ПРОСТРАНСТВА Рассмотрены следующие частные виды Скачать презентацию КЛАССИФИКАЦИЯ ДВИЖЕНИЙ ПРОСТРАНСТВА Рассмотрены следующие частные виды

преобразование пространства.pptx

  • Количество слайдов: 18

КЛАССИФИКАЦИЯ ДВИЖЕНИЙ ПРОСТРАНСТВА КЛАССИФИКАЦИЯ ДВИЖЕНИЙ ПРОСТРАНСТВА

Рассмотрены следующие частные виды движений первого рода: перенос, поворот около оси (в частности, осевая Рассмотрены следующие частные виды движений первого рода: перенос, поворот около оси (в частности, осевая симметрия), винтовое движение и частные виды движений второго рода: зеркальная симметрия, переносная симметрия, поворотная симметрия (ее частный случай — центральная симметрия). Естественный вопрос: существуют ли какие-либо другие виды движений пространства? Ответ отрицателен. Чтобы доказать это, разделим множество движений первого рода и множество движений второго рода каждое на два подмножества: движения, имеющие хотя бы одну неподвижную точку, и движения без неподвижных точек.

Любое движение второго рода, имеющее хотя бы одну неподвижную точку, является зеркальной симметрией или Любое движение второго рода, имеющее хотя бы одну неподвижную точку, является зеркальной симметрией или же поворотной симметрией.

Если данное движение f — зеркальная симметрия, то доказывается так. Если f — композиция Если данное движение f — зеркальная симметрия, то доказывается так. Если f — композиция трех зеркальных Симметрий и f(O) = O, то рассмотрим движение первого рода с неподвижной точкой O. По теореме Даламбера оно является поворотом около прямой, содержащей точку Равенство эквивалентно А это — поворотная симметрия

Теорема 2. Любое движение второго рода, не имеющее неподвижных точек, есть переносная симметрия. Теорема 2. Любое движение второго рода, не имеющее неподвижных точек, есть переносная симметрия.

Дано движение f без неподвижных точек. Пусть f(A) =A 1 и a — плоскость Дано движение f без неподвижных точек. Пусть f(A) =A 1 и a — плоскость симметрии точек A и A 1. Тогда движение первого рода имеет неподвижную точку A 1. По теореме Даламбера и поэтому откуда причем L II a, так как иначе движение f имело бы неподвижную точку l a, что исключено условием теоремы. Представим U — осевая симметрия с осью u=a b U Следовательно, f — переносная симметрия

Движения первого рода. Как уже не раз отмечалось, движение первого рода, имеющее неподвижные точки, Движения первого рода. Как уже не раз отмечалось, движение первого рода, имеющее неподвижные точки, есть поворот!!!!!

Д о к а з а т е л ь с т в о. Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем опять пару A-->A 1 соответственных точек при данном движении f и плоскость w их симметрии. Тогда движение является движением второго рода с неподвижной точкой A. По теореме 1 движение g будет либо зеркальной симметрией, либо поворотной симметрией. Рассмотрим эти два случая.

Следствие. Всякое движение первого рода, отличное от осевой симметрии, представимо композицией двух осевых симметрий, Следствие. Всякое движение первого рода, отличное от осевой симметрии, представимо композицией двух осевых симметрий, причем одна из их осей может содержать наперед заданную точку.

Любое движение I рода, имеющее хотя бы одну неподвижную точку, является поворотом вокруг оси. Любое движение I рода, имеющее хотя бы одну неподвижную точку, является поворотом вокруг оси.

Утверждение – п ростое следствие теоремы (теоремы Далам бера), согласно к оторой f можно Утверждение – п ростое следствие теоремы (теоремы Далам бера), согласно к оторой f можно представ ить композицие й двух зеркальных сим метрий. Если пло скости симметрии пара ллельны, то f – параллельный п еренос, что нево зможно, т. к. у параллельн ого переноса нет неподвижных то чек. Значит, плос кости симметрии пере секаются по неко торой прямой ℓ. Тогда , как легко показ ать, f – поворот вокруг о си ℓ на удвоенны й ориентированны й угол между плоскостями сим метрии.

Любое движение II рода, имеющее хотя бы одну неподвижную точку, является зеркальной симметрией или Любое движение II рода, имеющее хотя бы одну неподвижную точку, является зеркальной симметрией или поворотной симметрией.

Возможны два случая: f – зеркальная симметрия или f – композиция трёх зеркальных симметрий Возможны два случая: f – зеркальная симметрия или f – композиция трёх зеркальных симметрий (теорема 6. 4). В первом случае и доказывать нечего. Во втором случае рассмотрим неподвижную точку О нашего преобразования f. Теперь рассмотрим движение. У движения g точка О неподвижная. С другой стороны, g – движение I рода (т. к. меняет ориентацию). Отсюда (теорема 7. 1. а) g – поворот вокруг оси, содержащей точку О. Но , т. е. f – поворотная симметрия.

Лю бое им ею движ ще точ е н ение ек, пер ест епод Лю бое им ею движ ще точ е н ение ек, пер ест епод I ро дви енос ь пар виж да, н же или алл ных е ние вин ель тов ный ое

Опять возьмём произвольную точку А, её образ А´ при движении f и плоскость ω Опять возьмём произвольную точку А, её образ А´ при движении f и плоскость ω симметрии точек А и А´. Тогда движение второго рода имеет неподвижную точку А. По теореме 7. 2. а движение g – зеркальная симметрия или поворотная симметрия. Если g – зеркальная симметрия, то f является композицией двух зеркальных симметрий. Кроме того f не имеет неподвижных точек, т. е. f – параллельный перенос. Пусть теперь (l _I_ A) – поворотная симметрия. Представим причём выберем Тогда Т. к. и – осевые симметрии. Итак, – композиция двух осевых симметрий. Если a и b пересекаются, то у f есть неподвижная точка, что невозможно. Если a и b параллельны, то f, как легко убедиться, – параллельный перенос. Если а и b скрещиваются, то рассмотрим их общий перпендикуляр h и прямую p такую, что p проходит через точку пересечения h и a и p||b. Тогда, как легко убедиться,

поворот вокруг прямой h на некоторый угол, а – параллельный перенос на некоторый вектор поворот вокруг прямой h на некоторый угол, а – параллельный перенос на некоторый вектор Поэтому винтовое движение.

Результат полученной классификации движений пространства иллюстрируется такой схемой. Результат полученной классификации движений пространства иллюстрируется такой схемой.