Классические кооперативные игры Лектор доцент каф АОИ Салмина

Скачать презентацию Классические кооперативные игры Лектор доцент каф АОИ Салмина

2c706c149223b3e3982ce71958333797.ppt

Количество слайдов: 30

Классические кооперативные игры Лектор: доцент каф. АОИ Салмина Нина Юрьевна

Коалиции игры N – количество игроков S – коалиция: любое подмножество N множество всех возможных коалиций 2 N Множество коалиций игры трех лиц: Ø, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}

Характеристическая функция (х. ф. ) игры Х. ф. коалиции v(S) показывает максимальную величину выигрыша, которую коалиция может себе гарантировать независимо от действий всех остальных игроков. v(Ø)=0 v(SUR)≥v(S)+v(R), для любых S∩R= Ø Х. ф. игры v – функция, определенная на множестве всех коалиций Х. ф. игры трех лиц: v({1}), v({2}), v({3}), v({1, 2}), v({1, 3}), v({2, 3}), v({1, 2, 3})

Понятие дележа Исходные данные: Дана кооперативная игра в форме х. ф. Задача: разделить общий выигрыш V(N) между игроками Вектор x=(x 1 , x 2 , … xn ) называется дележом игры, если его компоненты удовлетворяют следующим условиям: 1)xi ≥ v({i}) для всех i 2)∑ xi = v(N) xi – доля игрока i при разделе выигрыша v(N)

Примеры дележей Игра 3 -х лиц задана в форме характеристической функции: v 1=1, v 2=2, v 3=3, v 12=4, v 13=5, v 23=8, v. N=10 Примеры дележей: (3, 3, 4) (2, 4, 4) (4, 2. 5, 3. 5) Вектора, не являющиеся дележами: (3, 3, 3) (4, 4, 2) (5, 6, 0)

Доминирование дележей Дележ Х доминирует дележ Y по коалиции S, если: 1) xi > yi для всех i из коалиции S : все члены коалиции S строго предпочитают дележ X 2) ∑ xi ≤ v(S) (суммирование по игрокам из коалиции S) : коалиция может предпочитать только тот дележ, соответствующие компоненты которого она в силах гарантировать своим членам.

Примеры доминирования дележей Игра 3 -х лиц задана в форме характеристической функции: v 1=1, v 2=2, v 3=3, v 12=4, v 13=5, v 23=8, v. N=10 Возьмем следующие дележи: Первая проверка доминирования: X=(3, 3, 4) x 2>y 2, x 3>y 3 Y=(4, 2. 5, 3. 5) Z=(3. 5, 3) z 1>x 1, z 2>x 2

Примеры доминирования дележей Игра 3 -х лиц задана в форме характеристической функции: v 1=1, v 2=2, v 3=3, v 12=4, v 13=5, v 23=8, v. N=10 Возьмем следующие дележи: Вторая проверка доминирования: X=(3, 3, 4) x 2>y 2, x 3>y 3 3+4< v 23=8 Y=(4, 2. 5, 3. 5) Z=(3. 5, 3) z 1>x 1, z 2>x 2 3. 5+3. 5> v 12=4

С-ядро игры – это множество недоминируемых дележей. С-ядро любой игры многогранником. является замкнутым выпуклым Принадлежность дележа С-ядру игры: для того, чтобы дележ принадлежал с-ядру, необходимо чтобы для любой коалиции выполнялось одно из двух эквивалентных условий: : принцип отделения : принцип отсутствия субсидий

Примеры проверки принадлежности дележей С-ядру игры Игра 3 -х лиц задана в форме характеристической функции: v 1=1, v 2=2, v 3=3, v 12=4, v 13=5, v 23=8, v. N=10 Возьмем следующие дележи: X=(3, 3, 4) : Y=(2, 4, 4) : Z=(1, 6, 3) : x 1+x 2=3+3 > v 12=4 Проверка принадлежности: x 2+x 3 =3+4 < v 23=8

Примеры проверки принадлежности дележей С-ядру игры Игра 3 -х лиц задана в форме характеристической функции: v 1=1, v 2=2, v 3=3, v 12=4, v 13=5, v 23=8, v. N=10 Возьмем следующие дележи: Проверка принадлежности: X=(3, 3, 4) : x 1+x 2=3+3 > v 12=4 x 2+x 3 =3+4 < v 23=8 Y=(2, 4, 4) : y 1+y 2=2+4 > v 12=4 y 1+y 3=2+4 > v 13=5 y 2+y 3 =4+4 = v 23=8 Z=(1, 6, 3) : z 1+z 2=1+6 > v 12=4 z 1+z 3=1+3 < v 13=5 z 2+z 3 =6+3 > v 23=8

С-ядро игры для примера Игра 3 -х лиц задана в форме характеристической функции: v 1=1, v 2=2, v 3=3, v 12=4, v 13=5, v 23=8, v. N=10 С-ядро игры выпуклый четырехугольник с вершинами: (2, 2, 6) (2, 5, 3) Центр С-ядра: (1, 5, 4) (1. 5, 3. 75, 4. 75) (1, 3, 6)

Недостатки С-ядра С-ядро не всегда существует! Для практических задач: С-ядро – это бесконечное множество дележей (не ясно, какой дележ выбрать в качестве окончательного решения)

Точечные решения кооперативных игр Вектор Шепли – основан на понятии маргинальных вкладов N-ядро – основано на понятии вектора эксцессов и лексиминного порядка

Маргинальные вклады Маргинальный вклад i-го игрока в коалицию S Вероятность того, что i-й игрок придет следом за игроками из коалиции S s – количество игроков в коалиции S n – количество игроков

Вектор Шепли Пример использования формулы для нахождения выигрыша 2 -го игрока в кооперативной игре трех лиц (N=3) σ2 = 1/3 (v 2 – v(ø)) + + 1/6 ((v 12 – v 1) + (v 23 – v 3)) + + 1/3 (v 123 – v 13)

Вектор Шепли для примера v 1=1, v 2=2, v 3=3, v 12=4, v 13=5, v 23=8, v. N=10 σ1 = 1/3 (v 1 – v(ø)) + 1/6 ((v 12 – v 2) + (v 13 – v 3)) + 1/3 (v 123 – v 23)= =1/3(1 -0)+1/6(4 -2+5 -3)+1/3(10 -8)=1/3(1+2)+1/6(2+2)=5/3 σ2 = 1/3 (v 2 – v(ø)) + 1/6 ((v 12 – v 1) + (v 23 – v 3)) + 1/3 (v 123 – v 13)= =1/3(2 -0)+1/6(4 -1+8 -3)+1/3(10 -5)=11/3 σ3 = 1/3 (v 3 – v(ø)) + 1/6 ((v 13 – v 1) + (v 23 – v 2)) + 1/3 (v 123 – v 12)= =1/3(3 -0)+1/6(5 -1+8 -2)+1/3(10 -4)=14/3 Вектор Шепли: σ =(5/3 11/3 14/3) или (1. 67 3. 67 4. 67)

Недостатки вектора Шепли Вектор Шепли может НЕ принадлежать С-ядру Пример: v 1=0, v 2=5, v 3=10, v 12=40, v 13=42, v 23=26, v. N=60 σ1 =1/3(0 -0)+1/6(40 -5+42 -10)+1/3(60 -26)=22. 5 σ2 =1/3(5 -0)+1/6(40 -0+26 -10)+1/3(60 -42)=17 σ2 =1/3(10 -0)+1/6(42 -0+26 -5)+1/3(60 -40)=20. 5 Вектор Шепли: σ =(22. 5 17 20. 5) Для коалиции {1, 2}: 22. 5+17=39. 5 < 40

N-ядро Максимизирует сверхдоход беднейшей коалиции Всегда является центром Сядра (если оно существует)

Лексиминный порядок Дележ Х доминирует дележ Y в смысле лексиминного порядка, если найдется целое , для которого выполняется: где х*, y* - дележи, упорядоченные по возрастанию. Пример: Х=(3, 6, 1, 2, 3, 7, 12) X*=(1, 2, 3, 3, 6, 7, 12) Y=(4, 8, 1, 10, 6, 2, 3) Y*=(1, 2, 3, 4, 6, 8, 10)

Вектор эксцессов Собственная коалиция: любая, кроме максимальной ({N}) Вектор эксцессов дележа е(Х) определяется на множестве собственных коалиций: Пример: Х. ф. игры v 1=1, v 2=2, v 3=3, v 12=4, v 13=5, v 23=8, v. N=10 1 w=(1. 5, 3. 75, 4. 75) σ=(1. 67 3. 67 4. 67) 2 3 12 13 23 e(w)=(0. 5 1. 75 1. 25 0. 5) e(σ)=(0. 67 1. 33 0. 33)

N-ядро игры – дележ, вектор эксцессов которого является наилучшим в смысле лексиминного порядка. Принцип нахождения:

Пример нахождения N-ядра 1 вариант. В игру играют 4 человека: у двоих из них по одной левой перчатке, у двоих – по одной правой. Одна перчатка не стоит ничего. Пара перчаток стоит 10$. Х. ф. игры: v 1=v 2=v 3=v 4=0, v 12=v 34=0, v 13=v 14=v 23=v 24=10, v 123=v 124=v 134=v 234=10 v. N=20

Пример нахождения N-ядра 2 вариант. В игру играют 4 человека: у двоих из них по одной левой перчатке, у двоих – по две правых. Одна перчатка не стоит ничего. Пара перчаток стоит 10$. Х. ф. игры: v 1=v 2=v 3=v 4=0, v 12=v 34=0, v 13=v 14=v 23=v 24=10, v 123=v 124=20, v 134=v 234=10 v. N=20

Вектор эксцессов Х. ф. игры: v 1=v 2=v 3=v 4=0, v 12=v 34=0, v 13=v 14=v 23=v 24=10, v 123=v 124=20, v 134=v 234=10, v. N=20 Любой дележ: x=(a, a, b, b) e(x)=(a, a, b, b, 2 a, 2 b, a+b-10, 2 a+b-20, a+2 b-10)

Максиминный критерий нахождения N-ядра Х. ф. игры: v 1=v 2=v 3=v 4=0, v 12=v 34=0, v 13=v 14=v 23=v 24=10, v 123=v 124=20, v 134=v 234=10, v. N=20 дележ: x=(a, a, b, b) 2 a+2 b=20, 0≤a≤ 10 e(x)=(a, a, b, b, 2 a, 2 b, a+b-10, 2 a+b-20, a+2 b-10) max min {a, b, 2 a, a+b-10, 2 a+b-20, a+2 b-10} 0≤a≤ 10

Максиминный критерий нахождения N-ядра Х. ф. игры: v 1=v 2=v 3=v 4=0, v 12=v 34=0, v 13=v 14=v 23=v 24=10, v 123=v 124=20, v 134=v 234=10, v. N=20 дележ: x=(a, a, b, b) 2 a+2 b=20, 0≤a≤ 10, b=10 -a e(x)=(a, a, b, b, 2 a, 2 b, a+b-10, 2 a+b-20, a+2 b-10) max min {a, b, 2 a, a+b-10, 2 a+b-20, a+2 b-10} 0≤a≤ 10 max min {a, 10 -a, 0, a-10} 0≤a≤ 10

Нахождение N-ядра Х. ф. игры: v 1=v 2=v 3=v 4=0, v 12=v 34=0, v 13=v 14=v 23=v 24=10, v 123=v 124=20, v 134=v 234=10, v. N=20 дележ: x=(a, a, b, b) 2 a+2 b=20, 0≤a≤ 10, b=10 -a max min {a, 10 -a, 0, a-10} 0≤a≤ 10 N-ядро: w=(10, 0, 0) Вектор Шепли: σ=(6. 67, 3. 33, 3. 33) 10 10 -a a 0 10 a-10 а=10 a