Кинематика поступательного движения Тема 1 Краснов Павел

Кинематика поступательного движения Тема № 1 Краснов Павел Олегович, доцент кафедры физики Сиб. ГТУ

Основные вопросы Ø Ø Основные понятия кинематики поступательного движения (система отсчёта, координаты, траектория, радиус-вектор, перемещение, скорость, ускорение и другие). Основная задача кинематики на примере равноускоренного и равномерного движений. Основная задача кинематики на примере баллистического движения.

Поступательное движение это такое движение тела, при котором любая прямая, связанная с телом, остаётся параллельной самой себе. Если тело представить в виде набора точек, то все они при поступательном движении будут двигаться по идентичным траекториям, которые могут быть совмещены параллельным переносом. Это означает, что для описания поступательного движения твёрдого тела достаточно знать, как движется одна из точек.

Материальная точка – тело, размерами и формой которого можно пренебречь по сравнению с расстояниями до других тел (или с расстоянием от точки наблюдения). Например, Землю можно считать материальной точкой, если рассматривать её движения вокруг Солнца, потому что расстояние между ними примерно в 12000 раз больше диаметра планеты. Далее иногда будем называть материальную точку просто частицей.

Система отсчёта – совокупность тела отсчёта, системы координат и системы отсчёта времени, связанных с этим телом, по отношению к которому изучается движение (или равновесие) каких-либо других материальных точек или тел. Тело отсчёта принимается за начало отсчёта, с которым связана система координат. В механике часто используются декартова (картезианская) и сферическая системы координат.

Описание положения материальной точки в декартовой системе координат

Радиус-вектор – вектор, задающий положение тела в пространстве системы координат относительно их начала отсчёта: Здесь ex, ey, ez – орты или единичные векторы трёх соответствующих направлений координат; x, y, z – длины радиус-вектора вдоль данных трёх направлений, либо его проекции на соответствующие оси.

Траектория и путь движения Траектория – линия, которую описывает материальная точка при своём движении. Путь ( ΔS или S ) – длина траектории или расстояние, пройденное частицей. Путь всегда выражается положительным числом, потому что пути, пройденные за разные промежутки времени складываются арифметически. Так, если частица прошла по одной траектории расстояние S, а потом вернулось обратно по той же траектории, то общий пройденный путь – 2 S.

Перемещение при движении Перемещение ( Δr ) – отрезок прямой, проведённый из начального положения частицы в конечное. Перемещение – векторная величина, имеющая числовое значение и направление. Поэтому перемещения, совершённые частицей за разные промежутки времени, складываются по правилу сложения векторов:

Средняя скорость движения Скорость ( v ) – физическая величина, определяющая быстроту движения и численно равная пути, проходимому частицей за промежуток времени Δt: Поскольку на разных участках пути скорость может быть различной, то данное выражение определяет среднюю скорость.

Истинная скорость движения Если промежуток времени Δt бесконечно уменьшить, то определяемая скорость будет называться истинной (или мгновенной), то есть скоростью в конкретный момент времени: Если Δt → 0, то ΔS → |Δr |. Тогда

Скорость движения в механике В механике под скоростью понимается векторная величина, равная отношению приращения радиус -вектора к приращению времени: То есть скорость характеризует не только быстроту движения, но и его направление. Например, в декартовой системе координат:

Определение пройденного пути Учитывая полученное ранее выражение: отметим, что пройденный путь от момента времени t 1 до момента времени t 2 можно определить, как где v(t) – скорость, как функция времени.

Графическое представление зависимости скорости от времени Площадь под графиком зависимости скорости от времени равна пройденному телом расстоянию:

Ускорение Характеристикой быстроты изменения величины и направления скорости служит ускорение: Как и любой другой вектор, ускорение можно выразить через его компоненты:

Изменение скорости во времени по направлению и величине Представим скорость в виде где ev – орт вектора скорости, v – модуль вектора скорости. Тогда производная данного выражения по времени будет выглядеть, как

Полное ускорение Таким образом, полное ускорение можно представить в виде суммы двух слагаемых: где aτ – тангенциальное ускорение, определяющее быстроту изменения величины вектора скорости; an – нормальное ускорение, определяющее быстроту изменения направления вектора скорости.

Связь и направления тангенциального, нормального и полного ускорений Векторы aτ и an перпендикулярны другу: Поэтому где R – радиус кривизны траектории.

Основная задача кинематики заключается в том, чтобы, зная местоположение и скорость тела в некоторой момент времени, установить их в любой другой момент времени. Здесь предполагается вывод математических зависимостей кинематических величин таких, как, например, радиус-вектор, скорость, от времени с целью получения возможности последующего расчёта их значений.

Виды движения 1. Равноускоренное движение это движение с постоянным ускорением, когда за одинаковые промежутки времени скорость изменяется на одно и то же значение. 2. Равномерное движение это движение с постоянной скоростью, когда за одинаковые промежутки времени тело проходит одинаковые расстояния.

Равноускоренное движение Зависимость пройденного пути S от времени t при равноускоренном движении описывается выражением где v 0 – начальная скорость, a – ускорение. Тогда зависимость скорости от времени можно определить, как

Равномерное движение Поскольку при равномерном движении a=0, то зависимость пройденного пути S от времени t описывается выражением При этом скорость в любой момент времени равна начальной скорости:

Свободное падение тел При свободном падении различных тел на поверхность Земли их ускорения одинаковы и равны ускорению свободного падения. Тогда зависимость пройденного при падении пути от времени описывается выражением где g=9, 81 м/с2 – ускорение свободного падения; v 0 – начальная скорость, с которой тело брошено вниз (если она имела место).

Баллистическое движение Тела, брошенные под углом α к горизонту с начальной скоростью v 0, двигаются до момента падения по параболической траектории:

Две составляющие баллистического движения Баллистическое движение можно рассматривать в двумерной системе координат. Тогда движение вдоль вертикальной оси будет при подъёме равнозамедленным до достижения максимальной высоты hmax и равноускоренным при обратном падении на поверхность Земли. Начальная скорость движения равна v 0 y=v 0 sinα. Движение вдоль горизонтальной оси будет равномерным с постоянной начальной скоростью v 0 x=v 0 cosα.

Время максимального подъёма тела при баллистическом движении Тело поднимается вверх со скоростью vy, которую можно определить, как Высота hmax достигается за время t, которое можно определить из условия, что в данной точке vy=0: откуда

Максимальная высота подъёма тела при баллистическом движении Высота подъёма тела в некоторый момент времени описывается выражением Тогда максимальную высоту hmax подъёма тела можно определить, подставив выражение для времени подъёма:

Максимальная дальность полёта тела при баллистическом движении Дальность l полёта тела определяется выражением Учитывая, что время всего полёта равно удвоенному времени подъёма до максимальной высоты, определим максимальную дальность lmax полёта, как

Угол, при котором дальность полёта будет максимальной Из математики известно, что производная функции в точке экстремума равна нулю. Тогда найдём значения угла α, при котором производная функции lmax=f(α) по α равна 0: откуда cos 2α=0. Данное условие выполнимо, если α=45º. Таким образом, тело улетит максимально далеко, если будет брошено под углом 45º к горизонту.