Кинематика Основные понятия и формулы Основные понятия

Кинематика Основные понятия и формулы

Основные понятия В кинематике изучается механическое движение материальных точек и твердых тел без учета причин, вызывающих эти движения. Кинематику часто называют геометрией движения. Механическое движение происходит в пространстве и во времени. Пространство, в котором происходит движение тел, рассматривается как трехмерное, все свойства его подчиняются системе аксиом и теорем эвклидовой геометрии. Время полагают ни с чем не связанным и протекающим равномерно. Современное развитие физики привело к иным представлениям о пространстве и времени. Теория относительности, созданная величайшим ученым современности Эйнштейном, показала, что при скоростях, близких к скорости света (300 000 км/с), пространство и время зависят от скорости движения. При обычных скоростях указанная зависимость практически не обнаруживается и представления о пространстве и времени, установленные в классической механике, сохраняют силу. В общем случае различные точки твердого тела совершают разные движения. Поэтому и возникает необходимость изучить в первую очередь движение отдельных точек тела. Чтобы определить положение точки в пространстве, нужно иметь какоето неподвижное тело или связанную с ним систему координатных осей, которую называют системой отсчета. Движение заданного тела или точки обнаруживается только путем сравнения с системой отсчета. В природе не существует неподвижных тел и, следовательно, не может быть абсолютно неподвижных систем отсчета. Обычно условно неподвижной системой отсчета считают систему координатных осей, связанную с Землей. Рассмотрим для примера движение точки в какой-то условно неподвижной системе координат xyz.

Уравнение движения точки Уравнения, определяющие положение движущейся точки в зависимости от времени, называются уравнениями движения. Наиболее удобный способ задания движения точки — естественный способ. При этом задается траектория точки (графически или аналитически) и закон движения точки по траектории. Пусть произвольная точка А перемещается по заданной траектории (рис. а). Принимая точку 0 за начало отсчета, уравнение движения можно представить в виде: s = f (t), где s — расстояние точки А от начала отсчета; t — время. Положение движущейся в плоскости точки (рис. б) можно определить, если известны ее координаты х и у относительно системы двух взаимно перпендикулярных координатных осей Ох и Оу. При движении точки ее координаты изменяются с течением времени, следовательно, x и у являются некоторыми функциями времени и определяют движение точки: Такой способ задания движения точки называется координатным. С помощью уравнений движения можно найти траекторию точки. Для этого из них нужно исключить параметр — время t — и найти зависимость между координатами точки у = f (х).

Скорость точки Скорость равномерного движения v измеряется отношением пути s, пройденного точкой за некоторый промежуток времени, к величине этого промежутка времени v = s/t. Скорость измеряется в единицах длины, деленных на единицу времени: м/с, см/с, км/ч и т. д. ; 1 км/ч = 0, 278 м/с, 1 м/с = = 3, 6 км/ч. Если точка за равные промежутки времени проходит неравные пути, то ее движение называется неравномерным. Скорость неравномерного движения есть величина переменная и является функцией времени v = f (t). Рассмотрим точку М, которая перемещается по заданной траектории по некоторому закону s = f (t) (рис. а). За промежуток времени t точка М переместится в положение М 1 по дуге ММ 1. Если промежуток времени t мал, то дугу можно заменить ее хордой и найти в первом приближении среднюю скорость движения точки Средняя скорость направлена по хорде от точки М к точке M 1. Истинную скорость найдем путем перехода к пределу при t—» О При t—» О направление хорды в пределе совпадает с направлением касательной к траектории в точке М, т. е. значение скорости точки определяется как производная пути по времени, а направление ее совпадает с касательной к траектории в данной точке. Если известны проекции скорости на оси координат, можно определить ее значение и направление (рис. б):

Ускорение точки При движении по криволинейной траектории скорость точки может изменяться и по направлению, и по величине. Изменение скорости в единицу времени определяется ускорением. Пусть точка М (рис. а) движется по какой-то криволинейной траектории и за время t переходит из положения М в положение M 1. Расстояние, пройденное точкой, представляет собой дугу ММ 1; ее длину обозначим s. В положении М точка имела скорость v, в положении M 1 — скорость v 1. Геометрическую разность скоростей найдем, построив из точки М вектор v 1. Скорость точки при перемещении ее из положения М в положение M 1 изменилась и по величине, и по направлению. Среднее значение ускорения, характеризующего отмеченное изменение скорости можно найти, разделив вектор приращения скорости v на соответствующее время движения: Переходя к пределу при t—» О получим истинное ускорение точки как векторную производную от скорости: Найденное ускорение характеризует изменение численного значения скорости и ее направления. Для удобства ускорение раскладывают на взаимно перпендикулярные составляющие по касательной и нормали к траектории движения (рис. б) Касательная составляющая совпадает по направлению со скоростью или противоположна ей. Она характеризует изменение модуля скорости и соответственно определяется как производная от функции скорости: Нормальная составляющая перпендикулярна к направлению скорости точки. Она определяет изменение направления вектора скорости. Численное значение нормального ускорения определяется по формуле: где r — радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке. Составляющие и взаимно перпендикулярны, и поэтому значение полного ускоренияопределяется по формуле:

Виды движения точки в зависимости от ускорения Равномерное прямолинейное движение характеризуется тем, что скорость движения точки М постоянна (v = const), а радиус кривизны траектории ее движения равен бесконечности (рис. а). В этом случае касательное ускорение равно нулю, так как модуль скорости не изменяется (у = const), Нормальное ускорение также равно нулю Значит, и полное ускорение движения точки равно нулю а=0 Равномерное криволинейное движение характеризуется тем, что численное значение скорости постоянно (v = const), скорость меняется лишь по направлению. В этом случае касательное ускорение равно нулю, так как v = const (рис. б), а нормальное ускорение не равно нулю, так как r — конечная величина. Полное ускорение при равномерном криволинейном движении равно нормальному ускорению. Неравномерное прямолинейное движение характеризуется тем, что численное значение скорости движения точки (рис. в) изменяется, а радиус кривизны траектории движения точки r равен бесконечности. Поэтому касательное ускорение здесь не равно нулю: а нормальное ускорение равно нулю: . Следовательно, полное ускорение точки при неравномерном прямолинейном движении равно касательному ускорению. Неравномерное криволинейное движение (рис. г) характеризуется тем, что численное значение скорости движения точки М изменяется, а радиус кривизны траектории ее движения — конечная величина. В этом случае касательное ускорение не равно нулю: и нормальное ускорение также не равно нулю: Следовательно, полное ускорение при неравномерном криволинейном движении складывается геометрически из касательного и нормального ускорений, т. е. Когда значение касательного ускорения постоянно, движение точки называется равнопеременным. Равнопеременное движение может быть равномерно-ускоренным и равномерно-замедленным, в зависимости от того, увеличивается или уменьшается численное значение скорости. Ускорения можно определить через значения скорости в начале и в конце произвольного промежутка времени: откуда При равномерно-ускоренном движении ускорение считается положительным, а при равномерно-замедленном — отрицательным. Перемещение точки при равнопеременном движении определяется по уравнению: Примером равномерно-ускоренного движения может служить свободное падение тела. Ускорение свободного падения обозначается буквой g. Опытом установлено, что это ускорение составляет вблизи поверхности Земли в среднем 9, 81 м/с^2.

Поступательное движение твердого тела Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором всякая прямая, проведенная в этом теле, остается параллельной своему начальному положению. Проведенная в теле прямая ВМ во время движения перемещается параллельно своему начальному положению. Рассмотрим перемещение тела за бесконечно малый промежуток времени dt. При этом можно считать, что точки М и Вперемещаются по прямолинейным и параллельным траекториям. За время dt они пройдут одинаковые пути ds. Следовательно, значения скорости этих точек будут одинаковы: и направлены в одну сторону, т. е. Аналогично доказывается равенство ускорений точек тела при поступательном движении: Следовательно, при поступательном движении тела все его точки описывают одинаковые траектории и в любой момент времени имеют равные по модулю и параллельно направленные скорости и ускорения. Поступательное движение тела вполне характеризуется движением одной его точки, которое может быть задано координатным или естественным способом. Однако поступательное движение может совершать только твердое тело, а не отдельная точка. Примерами поступательного движения служат движение поршня двигателя, движение вагона на прямом участке пути и т. п. Поступательное движение может быть прямолинейным и криволинейным.

Вращение тела вокруг неподвижной оси При вращательном движении тела вокруг неподвижной оси все его точки, лежащие на оси вращения, остаются неподвижными. Остальные точки вращающегося тела описывают окружности вокруг неподвижной оси в плоскостях, перпендикулярных к оси, с центром на этой оси. Рассмотрим тело, которое вращается вокруг оси Oz. Плоскость вращающегося тела, проходящая через ось 0 z и совпадающая в начальный момент времени с плоскостью чертежа I, займет через промежуток времени t положение II и оба отмеченных положения плоскости составят угол. Угол называется углом поворота тела. Угол поворота измеряется в радианах и соответствует определенному положению тела. Для определения положения вращающегося тела в каждый данный момент служит уравнение, выражающее угол поворота как функцию от времени: Изменение угла поворота определяется угловой скоростью. Средней угловой скоростью вращающегося тела называется отношение приращения угла поворота ко времени t, в течение которого это приращение произошло: Истинная угловая скорость вращательного движения тела равна производной углового перемещения по времени: Угловая скорость измеряется в радианах в секунду, т. е. рад/с. Скорость при вращательном движении тела определяется частотой вращения n, об/мин. Связь между угловой скоростью и частотой вращения можно установить следующим образом. За один оборот вращающегося тела угол поворота составит 2 П рад. За n оборотов в 1 мин угол поворота составит 2 Пn. Соответственно угловая скорость определится путем деления угла поворота за n оборотов на 60 с Например, частота вращения вала электродвигателя n = 1400 об/мин, тогда угловая скорость: Когда угловая скорость тела постоянна, вращение — равномерно. Угол поворота в этом случае определяется: Когда угловая скорость переменна, тело вращается неравномерно. Изменение угловой скорости в единицу времени определяется угловым ускорением, равным производной угловой скорости по времени: Угловое ускорение измеряется в радианах, деленных на секунду в квадрате, т. е. рад/с^2. При вращении тела вокруг оси с постоянным угловым ускорением происходит равнопеременное вращение. Уравнения равнопеременного вращения аналогичны уравнениям равнопеременного прямолинейного движения точки, только вместо линейных величин в них входят угловые величины. Выводятся эти уравнения тем же путем: где — начальная угловая скорость (при t = 0). Угловое ускорение — величина алгебраическая: при равнопеременном ускоренном вращении его считают положительным, поэтому абсолютное значение угловой скорости будет все время возрастать. При равномернозамедленном движении угловое ускорение считают отрицательным, поэтому абсолютное значение угловой скорости уменьшается

Скорости и ускорения точек вращающегося тела Если тело вращается вокруг оси, то его точки перемещаются по окружностям (рис. а), радиусы которых r равны расстояниям точек от оси вращения. Рассмотрим точку М, которая за время dt прошла путь ds = ММ 1. В данном случае путь ds можно определить как произведение угла поворота на радиус окружности, т. е. Линейная скорость определится как производная пути по времени: Подставив вместо ds его значение по , получим: Подставив в формулу для линейной скорости точек тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, значение частоты вращения в оборотах в минуту (об/мин), получим: Касательное ускорение точки вращающегося тела определяется из выражения: Нормальное ускорение точки равно отношению квадрата скорости к радиусу окружности: Подставив в выражение нормального ускорения значение скорости v = ? r, получим: Значение полного ускорения вычисляется как диагональ прямоугольника, построенного на составляющих ускорениях (рис. б). Подставив значения касательного и нормального ускорений, получим: Направление вектора полного ускорения точки вращающегося тела можно определить по углу ? , образованному этим вектором с радиусом: