КИНЕМАТИКА ЛЕКЦИЯ 4 ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

КИНЕМАТИКА ЛЕКЦИЯ 4: ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Движение ТТ называется плоским, если все точки тела перемещаются в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости. материальная линия перемещается поступательно (углы между материальными линиями в ТТ неизменны) Траектории, скорости, ускорения всех точек на AB одинаковы Для определения движения тела необходимо знать движение лишь одной точки на каждой прямой, проведенной перпендикулярно плоскости ху. ? Плоское движение твердого тела определяется движением плоской фигуры, полученной от пересечения тела любой плоскостью Q, параллельной Oxy

2. ЗАДАНИЕ ДВИЖЕНИЯ Задание движения твердого тела сводится к заданию движения одного его сечения. В дальнейшем будем изображать только плоскую фигуру - сечение тела и изучать движение точек этого сечения в его плоскости неподвижная система координат, жестко связанная с телом система координат, перемещается поступательно Задать движение тела – задать положение СК Axy относительно СК Уравнения движения плоской фигуры Положение твердого тела в плоском движении определяется тремя независимыми параметрами. (3 степени свободы)

3. СКОРОСТИ ПРИ ПЛОСКОМ ДВИЖЕНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА Скорость материальной точки B в СК Движение тела относительно системы координат представляет собой вращение тела вокруг оси , направленной перпендикулярно плоскости чертежа. Таким образом есть скорость точки В при вращении тела вокруг оси. угловая скорость вращения тела вокруг полюса A скорость какой-либо точки В плоской фигуры равна геометрической сумме скорости полюса А и скорости точки В при вращении фигуры вокруг полюса А

4. СКОРОСТИ ПРИ ПЛОСКОМ ДВИЖЕНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА Угловая скорость вращения тела не зависит от выбора полюса + 1) 2) Как зная и 3) найти

5. ТЕОРЕМА О ПРОЕКЦИЯХ При плоском движении проекции скоростей двух точек тела на ось, проходящую через эти точки, равны между собой.

6. ПРИМЕР Определить скорость ползуна В кривошипно-шатунного механизма, если АС = СВ = l и известна угловая скорость кривошипа АС в момент времени, когда

7. МГНОВЕННЫЙ ЦЕНТР СКОРОСТЕЙ Мгновенным центром скоростей называется точка плоской фигуры, у которой в данный момент времени скорость равна нулю. ТЕОРЕМА: Если угловая скорость плоской фигуры в данный момент времени отлична от нуля, то в этот момент времени существует единственная точка С фигуры, скорость которой равна нулю. Скорости остальных точек таковы, какими они были бы при мгновенном вращении фигуры вокруг точки С.

8. ЗАЧЕМ НУЖЕН МГНОВЕННЫЙ ЦЕНТР СКОРОСТЕЙ Скорости точек тела при его плоском движении распределяются точно так же, как и при вращательном движении. Роль неподвижной оси играет мгновенная ось, проходящая через мгновенный центр скоростей перпендикулярно плоскости движения. Скорости всех точек фигуры перпендикулярны отрезкам, соединяющим эти точки с мгновенным центром скоростей а модули скоростей пропорциональны расстояниям до мгновенного центра скоростей. Зная положение мгновенного центра скоростей и угловую скорость, можно найти скорости всех точек плоской фигуры

9. ПОИСК МГНОВЕННОГО ЦЕНТРА СКОРОСТЕЙ 1. По заданной скорости полюса и угловой скорости Смотря с конца вектора повернуть на против часовой стрелки и отложить отрезок 2. По заданной скорости полюса и направлению скорости другой точки С – пересечение прямых, проведенных через точки A и B перпендикулярно направлениям соответствующих скоростей. Угловая скорость находится как

10. ПОИСК МГНОВЕННОГО ЦЕНТРА СКОРОСТЕЙ: ОСОБЫЙ СЛУЧАЙ НАПРАВЛЕНИЯ СКОРОСТЕЙ В ДВУХ ТОЧКАХ СОВПАДАЮТ 1. Мгновенный центр отсутствует. Движение поступательно 2. Невозможно по теореме о проекциях Теорема о проекциях 3. пользуемся свойством пропорциональности модулей скоростей расстояниям точек до мгновенного центра скоростей.

11. ПРИМЕР В двухползунковом кривошипном механизме кривошип ОА длиной r=15 см вращается вокруг оси О с постоянной угловой скоростью = 2 сек-1. Длины шатунов равны между собой (AB = CD = l= 60 см), АС =l/3. При горизонтальном (правом) положении кривошипа ОА определить: 1) угловые скорости шатунов АВ и CD; 2) скорость ползуна D. 1. МЦС AB – точка B 2. сек-1 3. см/сек 4. Направления и совпадают AB движется поступательно см/сек

12. ЦЕНТРОИДЫ При движении тела мгновенный центр скоростей перемещается и в теле, и в абсолютном пространстве. Геометрическое место его положений на неподвижной плоскости называется неподвижной центроидой, а геометрическое место положений мгновенного центра скоростей в самой движущейся плоской фигуре называется подвижной центроидой. Колесо катится без проскальзывания С-мгновенный центр скоростей Неподвижная центроида - прямая Подвижная центроида - окружность В каждый момент времени подвижная и неподвижная центроиды имеют общую точку касания—мгновенный центр скоростей С, т. е. точку, скорость которой равна нулю. Поэтому плоское движение можно представить, как качение без скольжения подвижной центроиды по неподвижной.

13. ПРИМЕР Концы стержня AB длины l скользят по осям Ox 1 и Oy 1 неподвижной системы координат. Найти мгновенный центр вращения, подвижную и неподвижную центроиды 1. Мгновенный центр вращения – точка С Неподвижная центроида – окружность с центром в точке О радиуса l 2. Неподвижная центроида 3. Прямой угол ВСА опирается на одну и ту же гипотенузу длиной l. Точка С движется в плоскости Oxy по окружности радиуса l/2 c центром в центре стержня Подвижная центроида

14. УСКОРЕНИЯ ПРИ ПЛОСКОМ ДВИЖЕНИИ ускорение B во вращательном движении относительно СК вращательное ускорение центростремительное ускорение Ускорение любой точки В плоской фигуры складывается из ускорения полюса и центростремительного и вращательного ускорений во вращении фигуры относительно полюса

15. МГНОВЕННЫЙ ЦЕНТР УСКОРЕНИЙ Мгновенным центром ускорений называется точка плоской фигуры, ускорение которой в данный момент времени равно нулю. ТЕОРЕМА. Если в некоторый момент времени хотя бы одна из величин или отлична от нуля, то в этот момент времени в плоской фигуре существует единственный центр ускорений. уравнение для нахождения + Формула для нахождения при заданных

16. ПОСТРОЕНИЕ МГНОВЕННОГО ЦЕНТРА УСКОРЕНИЙ 1) Определить угол равенством Этот угол не зависит от выбора полюса и одинаков для всех точек тела. 2) Повернуть на угол против часовой стрелки если ив противоположном направлении, если. 3) От полюса А в направлении, которое занял повернутый вектор , отложить отрезок, длина которого вычисляется по формуле

17. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ЦЕНТРА УСКОРЕНИЙ Если мгновенный центр ускорений С принять за полюс, то ускорение любой точки В в данный момент времени может быть определено так же, как и при вращении вокруг неподвижной оси, проходящей через С: ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ: Центры скоростей и ускорений – разные точки! Пример: Колесо катится без проскальзывания с постоянной скоростью. С-мгновенный центр скоростей О-мгновенный центр ускорений

18. КОНЕЧНОЕ ДВИЖЕНИЕ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ Теорема 1: Всякое конечное перемещение плоской фигуры может быть составлено из поступательного перемещения и поворота относительно произвольного центра (полюса) Теорема 2: Всякое непоступательное движение плоской фигуры является поворотом вокруг некоторого центра (полюса конечного вращения) ч. т. д.