Кильдишов В Д Оценка прогноза с помощью дерева

Кильдишов В. Д. Оценка прогноза с помощью дерева решений 1. Методика построения дерева решений. 2. Оценка прогноза с помощью дерева решений. ©к 1

1. Методика построения дерева решений Дерево решений (событий) - модель, применяемая для принятия решения в различных областях, в условиях неопределенности или риска. Деревья решений предназначены для решения в определенном смысле обратной задачи. С их помощью пытаются воссоздать возможные последствия того или иного начального решения, действия, события. Дерево состоит из узлов (момент наступления события), из которых выходят ветки (возможные варианты развития события), каждая со своей вероятностью. 2

Процесс принятия решений с помощью дерева решений предполагает выполнение следующих этапов: 1. Формулирование задачи. 2. Построение дерева решений. 3. Оценка вероятностей состояний среды. 4. Установление выигрышей или проигрышей. 5. Решение задачи. 3

Формулирование задачи Прежде всего необходимо отбросить не относящиеся к проблеме факторы, а среди множества оставшихся выделить существенные и несущественные. Это позволит привести описание задачи к поддающейся анализу форме. Должны быть выполнены следующие основные процедуры: определение возможностей сбора информаций для экспериментирования и реальных действии; составление перечня событии, которые с определенной вероятностью могут произойти; установление временного порядка расположения событий, в исходах которых содержится полезная и доступная информация, и тех последовательных действий, которые можно предпринять. 4

Построение дерева решений Схема дерево решений очень похожа на схему дерево вероятностей. Ее используют, когда нужно принять несколько решений в условиях неопределенности, когда каждое решение зависит от исхода предыдущего или исходов испытаний. 5

Составляя дерево решений, нужно нарисовать ветви и узлы, отображающие структуру проблемы. Ветви дерева отображают различные события: возможные альтернативные решения, которые могут быть приняты; возможные исходы, возникающие в результате этих решений. На схеме используются два вида изображений ветвей: первый - пунктирные линии, соединяющие квадраты возможных решений, второй - сплошные линии, соединяющие кружки возможных исходов. 6

Существуют три типа узлов: Узлы решения - обычно представлены квадратами; Вероятностные узлы ( узлы исходов)- представляются в виде круга; Замыкающие узлы - представляются в виде треугольника. Так как принимающий решение не может влиять на появление исходов, ему остается лишь вычислять вероятность их появления. Располагаются деревья слева направо, а расчеты справа налево. 7

Дерево вероятностей Дерево решений 8

Дерево решения о строительстве завода. Возможны три варианта действий. 9

Дерево решений об установки новой производственной линии, использующую новейшую технологию. 10

Оценка вероятностей состояний среды Определяют вероятность возникновения каждого конкретного события. Следует отметить, что указанные вероятности определяются либо на основании имеющейся статистики, либо экспертным путем. Сумма вероятностей веток в каждом узле события равняется 1. Конечную вероятность каждого варианта прогноза определяется путем перемножения всех вероятностей веток одной цепочки. 11

Установление выигрышей или проигрышей Для каждой возможной комбинации альтернатив (действий) и состояний среды вычисляется выигрыш. При этом проигрыш есть выигрыш со знаком минус. Так как принимающий решение не может влиять на появление исходов, ему остается лишь вычислять вероятность их появления. Когда все решения и их исходы указаны на дереве, просчитывается каждый из вариантов, и в конце проставляется выигрыш (денежный доход и т. п. ). Все расходы, вызванные решением, проставляются на соответствующей "ветви". 12

Определять результат прогноза на том или ином уровне дерева можно с помощью математического ожидания: n Е (общего_результата) = ∑ рidi, i где Е (общего_результата) - математическое ожидание общего (промежуточного) результата; Pi - вероятность наступления события i; di - результат (частный), получаемый при наступлении события i; n- количество событий, влияющих на общий (промежуточный) peзультат. 13

Выбор варианта прогноза Составляется условие, которое используется для выбора прогноза. При этом можно путем изменения параметров дерева выбрать оптимальные варианты прогноза. 14

В анализе решений дерево решений используются как визуальный и аналитический инструмент поддержки принятия решений, где рассчитываются ожидаемые значения (или ожидаемая полезность) конкурирующих альтернатив. Надстройка MS Excel «Дерево решений» (Decision Tre e 4) предоставляет набор инструментов для построения дерева решений в ситуации статистической неопределенности. 15

2. Оценка прогноза с помощью дерева решений Деревья решения Деревья решений используются в условиях риска. Часто условия, определяющие варианты решения, находятся в отношениях соподчиненности. Это означает, что процесс принятия решения носит многоступенчатый характер: принятия одного решения на более низком уровне управления, позволяет перейти к другому, более высокому уровню. Условия носят качественный характер и определяются вероятными величинами, что требует применения метода, учитывающего риск. 16

Задача. Анализ объема рынка Надо оценить в городе с населением в 100000 жителей объем рынка для нового товара, который не является предметом первой необходимости. Пусть это будет бальзам по уходу за окрашенными волосами. Для оценки использует дерево решений (вероятностей). 17

При построении дерева оценим приблизительно значение вероятности на каждой ветке. Для оценки емкости рынка воспользуемся следующими данными: • из всех жителей города женщин 50%; • из всех женщин только 30% красят волосы; • из них только 10% пользуются бальзамами для окрашенных волос; • из них только 10% могут набраться смелости попробовать новый товар; • из них 70% обычно покупает все не у нас, а у наших конкурентов. 18

По закону перемножения вероятностей, определяем вероятность интересующего нас события А={житель города покупает у нас этот новый бальзам}=0, 00045. Умножим это значение вероятности на число жителей города. В результате имеем всего 45 потенциальных покупательниц, а если учесть, что одного пузырька этого средства хватает на несколько месяцев, не слишком оживленная получается торговля. 19

Задача. Анализ покупательной способности За день продовольственный рынок посещает в среднем 10000 человек. Вероятность того, что посетитель рынка заходит в павильон молочных продуктов, равна 1/2. Известно, что в этом павильоне в среднем продается в день 500 кг различных продуктов. Можно ли утверждать, что средняя покупка в павильоне весит всего 100 г? 20

Допустим, наши наблюдения показали, что только пятая часть посетителей павильона что-то покупает. Из 10000 человек, пришедших на рынок, 5000 зайдут в павильон молочных продуктов, покупок будет только 1000. Таким образом, средний вес покупки равен 500 грамм. 21

Задача. Анализ повышения рентабельности за счет разнообразия выпуска продукции Допустим, лицу, принимающему решение, известно два варианта повышения уровня рентабельности (прибыль/себестоимость*100%) на 5%. 1. Произвести продукцию А в количестве 100 ед. и продать ее по цене 10 ед. за штуку. Себестоимость единицы продукции составляет 8 ед. 2. Произвести продукцию В количестве 50 ед. и продать ее по цене 20 ед. за штуку. Себестоимость единицы продукции составляет 18 ед. 22

Конъюнктура рынка неизвестна, поэтому будем считать, что рынок одинаково благоприятен для обоих видов продукции. Для упрощения задачи будем считать, что в случае неблагоприятного рынки для какой-либо продукции предприятие терпит убытки по ее себестоимости. В случае благоприятного рынка получим доход d: от продукции А: d 1=100*10=1000 ед. от продукции В: d 2= 50*20= 1000 ед. При неблагоприятном рынке получим убыток: от продукции A: d 1=-100*8= -800 ед. от продукции В: d 2= -50*18= -900 ед. Построим дерево решений, на котором отразим последовательность событий от корня к листьям, а затем выполним расчет доходов (убытков) в обратном 23 направлении.

Так как отсутствует информация о рынке, будем считать, что он одинаково благоприятен или неблагоприятен для обоих видов продукции и вероятность такого состояния рынка равна 0, 5. Определим средний ожидаемый доход для каждого из вариантов. На дереве решений представлены альтернативные варианты, при которых предприятие ожидает доходы или убытки. Е 1(доходу от А) = 0, 5*1000 - 0, 5*800 = 100 ед. Е 2 (доходу от_ В) = 0, 5*1000 - 0, 5*900 = 50 ед. Вывод: Целесообразным будет вариант производства продукции А. 24

25

Можно пойти на некоторые затраты с целью получения информации о конъюнктуре рынка. В результате такого обследования получены следующие вероятности: ситуация будет благоприятна для продукта А с вероятностью 0, 6; ситуация будет благоприятна для продукта В с вероятностью 0, 7. Сделаем это с помощью MS Excel. Получим: Е 1(доход от А)=0, 6* 1000 - 0, 4* 800 = 280 ед. Е 2(доход от В) = 0, 7*1000 - 0, 3*900=430 ед. Вывод: В данном случае выгоднее выбрать производство продукции В. 26

27

Задача. Анализ возможностей по финансированию проекта. Для финансирования проекта бизнесмену нужно занять сроком на один год 15000 ф. ст. Банк может одолжить ему эти деньги под 15% годовых или вложить в дело со 100%-ным возвратом суммы, но под 9% годовых. Из прошлого опыта банкиру известно, что 4% таких клиентов ссуду не возвращают. Что делать? Давать ему заем или нет? Перед вами пример задачи с одним решением, поэтому можно воспользоваться как таблицей доходов, так и деревом решений. 28

Решение 1 (по таблице доходов). Максимизируем ожидаемый в конце года чистый доход, который представляет собой разность суммы, полученной в конце года, и инвестированной в его начале. Если заем был выдан и возвращен, то чистый доход составит: Чистый доход = ((15000 + 15% от 15000) - 15000) = 2250 ф. ст. Если заем не был выдан, а банк произвел инвестирование, то чистый доход составит: Чистый доход = ((15000 + 9% от 15000) - 15000) = 1350 ф. ст. Если банк решает выдать заем, то максимальный ожидаемый чистый доход =(15000+2250)*0, 96=1560 ф. ст. 29

Таблица доходов Решение Давать кредит Не давать (инвестировать) Сумма Процент Сумма Вероятность кредита годовых, % процентов возврата Ожидаемая сумма прибыль возврата 15000 15 2250 17250 0, 96 16560 15000 15 2250 17250 0, 04 690 -14310 15000 9 1350 16350 1350 30

Таблица доходов при изменении вероятности возврата кредита Сумма Процент Сумма Решение кредита годовых, % процентов Давать кредит Не давать (инвестир овать) Сумма возврата Вероятность возврата Ожидаемая сумма прибыль возврата 15000 15 2250 17250 0, 9 15525 15000 15 2250 17250 0, 1 1725 -13275 15000 9 1350 16350 1350 31

Решение 2 (по дереву решений). В данном случае также используем критерий максимизации ожидаемого чистого дохода на конец года. 0, 96 Е 1 Сумма возврата с учетом процентов 17250 0, 04 Сумма возврата 0 1 Е 2 Сумма возврата с учетом процентов 16350 33

Далее расчет ведется аналогично расчетам по таблице доходов. Ожидаемый чистый доход в кружках Е 1 и Е 2 вычисляется следующим образом: В кружке Е 1(давать заем) = {17250 х 0, 96 + 0 х 0, 04} - 15000 = 16500 - 15000 = 1560 ф. ст. В кружке Е 2(не давать заем) = {16350 х 1, 0 - 15000} = 1350 ф. ст. Поскольку ожидаемый чистый доход больше в кружке Е 1, то принимаем решение выдать заем. 34

Задача. Анализ строительства цеха. Возникла необходимость построить цех для выпуска новой продукции. 1. Можно построить большой цех мощностью 200 тыс. штук продукции в год и стоимостью 100 млн. руб. Стоимость продукции 1500 руб. Спрос на продукт может быть большой, меньше или товар совсем “не пойдет”. 2. Возникает второй вариант: строить меньший цех - мощностью 100 тыс. штук и стоимостью 50 млн. руб. Стоимость продукции 1800 руб. Спрос на продукт может быть большой, меньше или товар совсем “не пойдет”. 35

Получается шесть возможных вариантов последствий двух возможных решений. Какое же из них выбрать? Это зависит от вероятностей того или иного состояния будущего спроса: чем больше вероятность высокого спроса, тем, очевидно, предпочтительнее вариант строительства крупного цеха. 36

Выражение P(A) = 0, 5 означает, что вероятность наступления события A равна 0, 5. Вероятность удобно классифицировать по следующей шкале: 0. 00 — полностью исключено 0. 10 — в высшей степени неопределенно 0. 20 — в высшей степени неопределенно 0. 30 — весьма неправдоподобно 0. 40 — неправдоподобно 0. 60 — вероятно 0. 70 — вероятно 0. 80 — весьма вероятно 0. 90 — в высшей степени вероятно 1. 00 — полностью достоверно 37

Спрос 1 млрд. руб Прибыль б Затраты 1 млрд. руб м Е 1 0, 5 млрд. руб о -1 млрд. руб 0, 5 млрд. руб б м Е 1 0, 5 млрд. руб 0, 25 млрд. руб о -0, 5 млрд. руб 38

Инвестирование проектов Задача. Анализ выбора проекта для инвестирования. Необходимо выбрать лучший инвестиционный проекта по созданию турагенств из двух возможных. В условиях хорошей экономической конъюнктуры каждый из них может принести прибыль, а при плохой – убытки. Вероятность хорошей конъюнктуры оценена на уровне Р 1 =0, 8, а плохой – на уровне Р 2 =0, 2. Какому проекту отдать предпочтение? 39

Выплаты (млн. руб. ) при состоянии Выбор конъюнктуры и ее вероятности Хорошем Плохом Р 1 = 0, 8 Р 2 = 0, 2 ТА 1 300 -500 ТА 2 425 -1000 40

Математические ожидания выплаты и для ТА 1, и для ТА 2 равны одной и той же величине: М(ТА 1) = 300*0, 8 – 500*0. 2 = 140, М(ТА 2) = 425*0, 8 – 1000*0. 2 = 140. Хотя математические ожидания у обоих проектов равны, их нельзя считать равноценными: потери при втором проекте в случае неудачи будут значительно больше, чем при первом. Нужно отдать предпочтение ТА 1. 41

Такой вывод можно получить и другим путем: при равных математических ожиданиях надо выбрать тот проект колеблемость выплат у которого меньше. Меньшая колеблемость – всегда признак большей надежности. Самым простым показателем колеблемости является размах. У ТА 1 в вышеприведенном примере он равен 300 - (-500) = 800 млн. руб. , а у ТА 2 425 - (-1000) = 1425 млн. руб. Таким образом, ТА 1 представляется более надежным, чем ТА 2. 42

Задача. Анализ объема страхового запаса сырья. Необходимо определить оптимальный страховой запас сырья в условиях, когда ожидается месячный и даже двухмесячный перерыв в его поступлении, а вероятности упомянутых перерывов неизвестны. Потеря от однодневной остановки производства из-за отсутствия сырья могут составить Х 1 = 8 тыс. руб. в день. Расходы, связанные с хранением излишнего дневного запаса (аренда дополнительного склада, уплата процентов за ссуду для приобретения дополнительных запасов сырья и другие потери), равны Х 2 = 5 тыс. руб. 43

Налицо типичная ситуация неопределенности, так как нет вероятностей наступления перерывов в поступлении сырья. Поэтому для выбора оптимального решения используем критерий максимин. Для его расчета составим таблицу выплат, ориентируясь на те условия, что были даны выше. Так, если не будет создано никакого запаса и не произойдет перерыва поставок, то потери естественно сведутся к нулю. Они будут равны нулю и в тех случаях, когда размер страхового запаса в днях полностью совпадет с длительностью перерыва поставок. Поэтому по главной диагонали таблицы у нас будут стоять нули. 44

Если мы не создадим никакого запаса и произойдут перерывы поставок сырья длительностью в 30 дней, потери из-за остановки производства составят 8 30 дней = 240 тыс. руб. Если же будет сделан запас в 30 дней, а перерыва в поставках не будет, то потери выльются в 5 30 дней = 150 тыс. руб. Точно таким образом рассчитываем потери и для всех остальных возможных сочетаний между размером страхового запаса и длительностью перерыва поставок. 45

Размеры страхового запаса, день Возможные потери перерывах в поставках, млн. руб. Столбец минимумов Дни 0 30 60 0 0 -240 -480 30 -150 0 -240 60 -300 -150 0 -300 Потери от однодневной остановки производства из-за отсутствия сырья, тыс. руб/день 8 Расходы, связанные с хранением излишнего дневного запаса, тыс. руб/день 5 Максимин равен максимальной величине в столбце минимумов (-240) и предписывает создать страховой запас в размере 30 -дневной потребности. Это близкое к оптимальному, но не совсем точное 46 решение.

Вычисление потерь можно произвести по следующему алгоритму: Если Дни запаса больше Дни остановки, то Стоимость хранения*(Дни запаса - Дни остановки), иначе Стоимость остановки*(Дни остановки - Дни запаса). 47

600 500 400 Хранение 300 Перерывы 200 100 0 0 10 20 30 40 50 60 Возникает вопрос, как найти такое решение наиболее экономным способом. Дли этого можно воспользоваться графиком. На его абсциссе отложен масштаб для изображения величин страхового запаса в днях (от нуля до 60 дней), а на ординатах масштаб для изображения возможных потерь в тыс. руб. Из него следует, что максимум потерь из-за нехватки сырья возникнет, если не будет создано никаких запасов. Максимум же потерь от излишка запасов проявится, когда этих запасов создадут на 60 дней работы, а никаких перерывов не будет. Тогда потери составят 300. В точке пересечения определяется оптимальный размер страховых запасов в 48 днях.

Задание 1. Разработать дерево решений для прогнозирования развития фирмы. 49