«Каждая решенная мною задача становится образом, который служит впоследствии для решения других задач» Р. Декарт учитель математики Владимирова Р. В.
СОДЕРЖАНИЕ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Введение Основные типы уравнений Примеры решений тригонометрических уравнений Решение задач, приводящихся к тригонометрическому уравнению Задания для самостоятельной работы Ответы самостоятельной работы Тестирование Краткий справочник формул Литература 2
1 u ТРИГОНОМЕТРИЯ - математическая дисциплина, изучающая зависимость между сторонами и углами треугольника. u ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ, с помощью которых связываются элементы треугольника, изучаются в курсе математического анализа. u ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ – это уравнения, в которых неизвестные являются аргументами тригонометрических функций. 3
1 Тригонометрические функции возникли в Древней Греции в связи с исследованиями в астрономии и геометрии. Отношения сторон в прямоугольном треугольнике, которые по существу и есть тригонометрические функции, встречаются уже в III в. до н. э. в работах Евклида, Архимеда и других. u Современную форму тригонометрическим функциям и вообще тригонометрии придал Леонардо Эйлер. Ему принадлежат определения тригонометрических функций и принятая в наши дни символика. u 4
2 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. Простейшие тригонометрические уравнения Уравнения, приводимые к алгебраическим Уравнения, решаемые разложением на множители Однородные уравнения Уравнения вида: а sin x + b cos x = c Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени Использование условий равенства тригонометрических функций 5
2 Если уравнение не имеет решения. 6
2 7
2 С помощью замены переменной можно привести тригонометрическое уравнение к алгебраическому. Рассмотрим несколько типов уравнений: Тип уравнения Замена Алгебраическое уравнение 8
2 Если тригонометрическое уравнение можно представить в виде то его решение равносильно совокупности Методы разложения на множители 1. Вынесение множителя за скобку 2. Применение формул сокращенного умножения 3. Группировка членов уравнения 4. Применение тригонометрических формул 9
2 1. 2. Однородными тригонометрическими уравнениями I СТЕПЕНИ называются уравнения вида: Данные уравнения решаются делением на так как значения х, при которых не являются корнями уравнения. Однородными тригонометрическими уравнениями II СТЕПЕНИ называются уравнения вида: Данные уравнения решаются делением на 10
2 Уравнения такого вида можно привести к однородному уравнению, если воспользоваться формулами синуса и косинуса двойного угла. Приводя подобные члены, приводим к однородному уравнению второй степени. 11
2 Исходное уравнение также можно привести к виду Поскольку можно ввести новую переменную такую, что Уравнение примет вид: Корни этого уравнения: 12
2 Некоторые уравнения, содержащие четные степени sin x и cos x , целесообразно решать с помощью формул понижения степени. Формулы понижения степени часто позволяют решить уравнение либо методом замены переменной, либо разложением на множители. 13
2 Этот метод утверждениях: основан на следующих Утверждения следуют из определения тригонометри ческих функций и из способа решения простейших тригонометри ческих уравнений 14
3 Примеры 1 Есть единственное число для которого , 15
3 Примеры 1 Есть единственное число для которого , 16
3 Примеры 1 Есть единственное число для которого 17
3 Примеры 1 Есть единственное число для которого 18
3 Примеры 2 Сделаем замену переменной Получаем : Делаем обратную замену , , Применим основное тригонометрическое тождество Сделаем замену переменной Получаем : , 19
3 Примеры 2 Сделаем замену переменной Получаем : , 20
3 Примеры 2 Сделаем замену переменной Получаем : , 21
3 Примеры 3 Перегруппируем члены уравнения 22
3 Примеры 4 Разделим уравнение на 23
3 Примеры 4 Уравнения вида: Можно свести к однородным введя «тригонометрическую единицу» Разделим уравнение на Сделаем замену переменной Получаем : , 24
Примеры 5 3 Разделим обе части уравнения на Сделаем замену: Получаем , 25
3 Примеры 5 Разделим обе части уравнения на 2 Получаем 26
3 Примеры 6 Сделаем замену Получаем: 27
3 Примеры 6 Без повторяющихся корней 28
3 Примеры 7 Используем утверждение Отметим, что так кцелое число, то вторую серию корней можно записать со знаком « +» Используем утверждение 29
3 Примеры 7 Воспользуемся формулой приведения: Теперь можно использовать условие равенства тригонометрических функций, 30
3 Примеры 7 Используем условие равенства тригонометрических функций Получаем Отметим на тригонометрической окружности «запрещенные» значения х и решение уравнения. Исключив «запрещенные» значения получаем окончательный ответ. 31
4 одного из острых углов прямоугольного треугольника в шесть раз короче гипотенузы. Найдите острые углы этого треугольника. углы при 2 2. Определите основании равнобедренного треугольника, если окружность, вписанная в этот треугольник, проходит через точку пересечения его высот. 1 1. Биссектриса 32
Задача № 1 4 ДАНО: треугольник АВС угол С –прямой ВД- биссектриса НАЙТИ : , РЕШЕНИЕ: Пусть Применив теорему синусов к треугольнику АВД, найдем, что Учитывая условия задачи, получаем: 33
Задача № 1 4 РЕШЕНИЕ: (продолжение) Решение задачи сводится к решению тригонометрического уравнения Решаем квадратное уравнение относительно ОТВЕТ: , получаем 34
Задача № 2 4 ДАНО: треугольник АВС АВ=ВС ; ВД, СЕ, АМ – высоты К-точка пересечения высот лежит на окружности вписанной в треугольник с центром О Х Х /2 НАЙТИ : РЕШЕНИЕ: , Пусть Построим отрезок АО, тогда Равны как острые углы с соответственно перпендикулярными сторонами Поэтому 35
Задача № 2 4 Рассмотрим два прямоугольных треугольника К Х Д А С О Х /2 Д Решение задачи сводится к решению тригонометрического уравнения Получаем = = ОТВЕТ: 36
5 Задания для самостоятельной работы № 1 Вариант № 2 1) 1) 2) 2) 3) 3) 4) 4) 5) 5) 37
5 Задания для самостоятельной работы № 2 Вариант № 1 Вариант № 2 1) 1) 2) 2) 3) 3) 4) 4) 5) 5) 38
5 Задания для самостоятельной работы № 3 Вариант № 1 Вариант № 2 1) 1) 2) 2) 3) 3) 4) 4) 5) 5) 39
5 Задания для самостоятельной работы № 4 Вариант № 1 Вариант № 2 1) 1) 2) 2) 3) 3) 4) 4) 5) 5) 40
5 Задания для самостоятельной работы № 5 Вариант № 1 Вариант № 2 1) 1) 2) 2) 3) 3) 4) 4) 5) 5) 41
5 Задания для самостоятельной работы № 6 Вариант № 2 1) 1) 2) 2) 3) 3) 4) 4) 5) 5) 42
5 Задания для самостоятельной работы № 7 Вариант № 1 Вариант № 2 1) 1) 2) 2) 3) 3) 4) 4) 5) 5) 43
6 Ответы самостоятельной работы № 1 Вариант № 2 1) 1) 2) 2) 3) 3) 4) 4) 5) 5) 44
6 Ответы самостоятельной работы № 2 Вариант № 1 Вариант № 2 1) 1) 2) 2) 3) 3) 4) 4) 5) 5) 45
6 Ответы самостоятельной работы № 3 Вариант № 1 Вариант № 2 1) 1) 2) 2) 3) 3) 4) 4) 5) 5) 46
6 Ответы самостоятельной работы № 4 Вариант № 1 Вариант № 2 1) 1) 2) 2) 3) 3) 4) 4) 5) 5) 47
6 Ответы самостоятельной работы № 5 Вариант № 1 Вариант № 2 1) 1) 2) 2) 3) 3) 4) 4) Нет решений 5) 5) Нет решений 48
6 Ответы самостоятельной работы № 6 Вариант № 1 Вариант № 2 1) 1) 2) 2) 3) 3) 4) 4) 5) 5) 49
6 Ответы самостоятельной работы № 7 Вариант № 1 Вариант № 2 1) 1) 2) 2) 3) 3) 4) 4) 5) 5) 50
7 Тест № 1 Уровень сложности Общее число заданий Форма ответа Задания Тест № 2 Базовый Повышенный 5 10 Из четырех предложенных вариантов выбрать один 51
8 1. Нахождение тригонометрических функций по единичной окружности 2. Основные тригонометрические тождества 3. Формулы двойного аргумента 4. Формулы сложения 5. Формулы преобразования суммы в произведение 6. Формулы преобразования произведения в сумму 52
8 . . . 52
8 2. Основные тригонометрические тождества 3. Формулы двойного аргумента 1 7 2 8 3 9 4 10 5 11 6 12 54
8 4. Формулы сложения 1 2 3 4 5 6 7 8 55
8 5. Формулы преобразования суммы в произведение 1 2 3 4 6. Формулы преобразования произведения в сумму 1 2 3 56
9 u «Методы решения задач по алгебре от простых до самых u u u сложных» С. В. Кравцов, Ю. Н. Макаров, В. Ф. Максимов. «Экзамен» , Москва 2005 г. « 500 способов и методов решения задач по математике» А. Р. Рязановский. Дрофа, Москва 2005 г. «Сборник задач по математике с решениями» А. А. Мочалин. Саратов 1998 г. «Карточки по тригонометрии 10 -11 классы» А. В. Мокеева. Саратов 2002 г. «Математика. Наглядный справочник с примерами» Л. Э. Генденштейн, А. П. Ершова, А. С. Ершова. «Илекса» 2004 г. «Алгебра в таблицах» Л. И. Звавич, А. Р. Рязановский. Дрофа, Москва 2005 г. 57
Скачать презентацию Каждая решенная мною задача становится образом который
Prezentatsia_2007.pptx