КАРЛ ФРИДРИХ ГАУСС Великому немецкому математику Карлу

КАРЛ ФРИДРИХ ГАУСС

Великому немецкому математику Карлу Фридриху Гауссу принадлежат глубокие и основополагающие исследования почти во всех основных областях математики: в теории чисел, в геометрии, в теории вероятностей, в анализе, в алгебре, а также важные исследования в астрономии, в геодезии и в механике.

Первое крупное сочинение Гаусса по теории чисел и высшей алгебре ( «Арифметические исследования» , 1801) во многом предопределило дальнейшее развитие этих дисциплин.

В «Арифметические исследования» Гаусс изложил всё существенное, что было известно в теории чисел до него, но часто исходя из более общих и более принципиальных соображений. Кроме того, «Арифметические исследования» в четвёртом, пятом и седьмом своих разделах заключают три крупнейших открытия самого Гаусса: доказательство квадратичного закона взаимности, композицию классов и родов квадратичных форм и теорию деления круга.

Квадратичный закон взаимности является центральной теоремой теории квадратичных вычетов, доказательство которой долго и безуспешно пытались получить крупнейшие математики того времени. Исследования Гаусса по квадратичному и, позже, по биквадратичному закону взаимности послужили исходным пунктом длинного ряда работ, приведших в конечном итоге к отысканию общего закона взаимности, представляющего собой одну из важных теорем теории алгебраических чисел.

Исследования Гаусса по композиции классов и родов квадратичных форм явились важным первым этапом в труднейшем вопросе о построении арифметики полей алгебраических чисел. Исследования Гаусса по целым комплексным числам, опубликованные позже (в 1832 г. ), дали пример поля алгебраических чисел, отличного от рационального, в котором действуют законы обычной арифметики. Продолжение обоих этих исследований привело во второй половине XIX столетия к построению общей теории алгебраических чисел, которая является в настоящее время одним из основных методов теории чисел.

Теория деления круга, занимающая последний, седьмой раздел «Арифметических исследований» , содержит подробное рассмотрение двучленного уравнения xn = 1, в котором, применяя методы теории чисел, Гаусс сводит решение этого уравнения на цепь уравнений низших степеней. Это исследование представляет собой частный, но вполне завершённый случай теории, построенной впоследствии Галуа, которая является одной из основных теорий алгебры. Теория деления круга дала замечательный чисто геометрический результат. К тем правильным многоугольникам, которые умели строить при помощи циркуля и линейки древние математики, Гаусс прибавил ещё правильный семнадцатиугольник. Более того, он нашёл вообще все те правильные многоугольники, которые можно построить при помощи циркуля и линейки.

В связи с теорией деления круга Гаусс рассмотрел в 1811 г. особые тригонометрические суммы, называемые теперь суммами Гаусса. Дальнейшее обобщение этого исследования привело впоследствии к рассмотрению более общих тригонометрических сумм, которые являются сейчас одним из самых сильных средств аналитической теории чисел и способствовали доказательству важных теорем, касающихся обыкновенных целых чисел.

После Гаусса осталось обширное рукописное наследие, которое было опубликовано много позже его смерти. В рукописях Гаусса математики с изумлением нашли целый ряд теорем, данных без доказательства и касающихся самых различных отделов математики: аналитической теории чисел, теории эллиптических и, в частности, модулярных функций, неэвклидовой геометрии и т. д. Некоторые из этих теорем были, задолго до обнародования посмертных рукописей Гаусса, независимо от Гаусса, открыты и опубликованы другими математиками, а многие не были ещё известны и послужили стимулом для работ последующих учёных.