МПВ Чех гд-12-3.ppt
- Количество слайдов: 20
Как вычислить определенный интеграл по формуле прямоугольников, трапеций и методом Симпсона? Автор-составитель: Чех Виктория, ГД-12 -3
n n Численные методы – достаточно большой раздел высшей математики и серьезные учебники по данной теме насчитывают сотни страниц. На практике, в контрольных работах традиционно предлагаются для решения некоторые задачи по численным методам, и одной из распространенных задач является – приближенное вычисление определенных интегралов. В этой презентации я рассмотрю три метода приближенного вычисления определенного интеграла – метод прямоугольников, трапеций и метод Симпсона. Что нужно знать, чтобы освоить данные методы? Прозвучит забавно, но можно вообще не уметь брать интегралы. И даже вообще не понимать, что такое интегралы. Из технических средств потребуется микрокалькулятор
n Вычисление определенных интегралов по формуле Ньютона-Лейбница не всегда возможно. Многие подынтегральные функции не имеют первообразных в виде элементарных функций, поэтому мы во многих случаях не можем найти точное значение определенного интеграла по формуле Ньютона. Лейбница. С другой стороны, точное значение не всегда и нужно. На практике нам часто достаточно знать приближенное значение определенного интеграла с некоторой заданной степенью точности (например, с точностью до одной тысячной). В этих случаях нам на помощь приходят методы численного интегрирования, такие как метод прямоугольников, метод трапеций, метод Симпсона (парабол) и т. п.
n n Пример: f(x) – непрерывна. Это достаточное условие для дифференцирования функции на отрезке [a; b]. h= (b-a)/n – шаг, где n – количество начальных условий. Xk=X 0+k*h. Вычислим интеграл с помощью 3 -х следующих методов.
Суть метода прямоугольников n Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b]. Нам требуется вычислить определенный интеграл. n Обратимся к понятию определенного интеграла. Разобьем отрезок [a; b] на n частей точками. Внутри каждого отрезка выберем точку. Так как по определению определенный интеграл есть предел интегральных сумм при бесконечном уменьшении длины элементарного отрезка разбиения , то любая из интегральных сумм является приближенным значением интеграла. n Суть метода прямоугольников заключается в том, что в качестве приближенного значения определенного интеграла берут интегральную сумму
Метод прямоугольников n Где Rn - остаток
n n Приведем графическую иллюстрацию метода прямоугольников. Из чертежа видно, что подынтегральная функция y=f(x) приближается кусочной ступенчатой
n С геометрической точки зрения для неотрицательной функции y=f(x) на отрезке [a; b] точное значение определенного интеграла представляет собой площадь криволинейной трапеции, а приближенное значение по методу прямоугольников – площадь ступенчатой фигуры.
Пример решения нестандартным, но достаточно эффективным способом (с помощью Exell) решение методом прямоугольников. xls f(x)=п*х/(x+0, 2)^2 – проинтегрировать функцию на отрезке от 1 до 2 с шагом в 0, 2
Замечание n n Во многих случаях нахождение наибольшего значения модуля первой производной (или второй производной для метода средних прямоугольников) подынтегральной функции на отрезке интегрирования является очень трудоемкой процедурой. Поэтому можно действовать без использования неравенства для оценки абсолютной погрешности методов численного интегрирования.
Метод трапеции n Метод трапеций обычно даёт более точное значение интеграла, чем метод прямоугольников. Криволинейная трапеция заменяется на сумму нескольких трапеций и приближённое значение определённого интеграла находится как сумма площадей трапеций.
График
Рабочие формулы: n Где М 2 – максимальное значение из двух производных второго порядка
Пример решения с помощью Exell решение методом трапеций. xls f(x)=п*х/(x+0, 2)^2 – проинтегрировать функцию на отрезке от 1 до 2 с шагом в 0, 2
Метод Симпсона (метод парабол) n Это более совершенный способ – график подынтегральной функции приближается не ломаной линией, а маленькими параболками. Сколько промежуточных отрезков – столько и маленьких парабол. Если взять те же три отрезка, то метод Симпсона даст ещё более точное приближение, чем метод прямоугольников или метод трапеций.
Расчетные формулы n Все расчеты происходят по одному и тому же алгоритму
Графическая иллюстрация метода парабол (Симпсона)
Пример решения с помощью Exell решение методом симпсона. xls f(x)=п*х/(x+0, 2)^2 – проинтегрировать функцию на отрезке от 1 до 2 с шагом в 0, 2
• Все производные брались в «ручную» и только после этого можно было посчитать интеграл с помощью технических средств. Существуют также и другие способы решение интегралов: 1) Метод Гаусса 2) Метод Гаусса-Кронрода 3) Метод Чебышева 4) Методы Монте-Карло 5) Методы Рунге-Кутты
Спасибо за внимание!