Кафедра: Теории статистики и прогнозирования Преподаватель: Клочкова

Кафедра: Теории статистики и прогнозирования Преподаватель: Клочкова Елена Николаевна

Средняя величина – это обобщенная количественная характеристика признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени. Важнейшее свойство средней заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности.

Показатель в форме средней величины: • представляет собой универсальную обобщающую характеристику статистической совокупности; • отражает типичный уровень изучаемого признака; • является центром распределения; • используется в анализе структуры, вариации, взаимосвязи, динамики. Для неоднородной совокупности общая средняя заменяется или дополняется средними групповыми.

Определяющее свойство средней величины определяющий показатель - значения осредняемого признака - средняя величина

Исходное соотношение средней величины

Примеры

Виды (формы) средних величин: • средняя арифметическая • средняя гармоническая • средняя геометрическая • средняя квадратическая • средняя кубическая и степенные средние более высоких порядков • структурные средние

Использование весов при расчете средних показателей Невзвешенные (простые) средние Варианты признака не повторяются, или повторяются только отдельные варианты ограниченное число раз. Взвешенные средние Все или почти все варианты признака встречаются многократно, т. е. каждый вариант имеет соответствующую частоту.

Средняя арифметическая - невзвешенная где: - значение признака i–й единицы совокупности - объем совокупности - взвешенная где: - i-й вариант признака - вес i-го варианта признака

Пример определения средней невзвешенной Табельный № рабочего 1 2 3 4 5 6 Стаж работы(лет) 14 9 11 13 8 10

Пример определения средней арифметической взвешенной Заработная Количество Общий фонд плата сотрудников заработной платы ( хi ) (fi ) ( хf) 2 500 5 12 500 3 400 4 13 600 2 700 2 5 400 4 200 4 16 800 Итого: 15 48 300

Расчет средней по интервальному вариационному ряду Группы обменных Число Среднесуточный Середина пунктов по курсу обменных объем продаж в интервала продажи доллара пунктов расчете на один обменный пункт (тыс. долл. ) до 29, 10 4 61, 4 29, 05 29, 10 -29, 20 12 57, 2 29, 15 29, 20 -29, 30 7 28, 8 29, 25 29, 30 и более 3 17, 2 29, 35 Определить средний курс рубля?

Средняя гармоническая используется в тех случаях, когда известен числитель, но неизвестен знаменатель исходного соотношения средней. невзвешенная взвешенная где: - i-й вариант осредняемого признака; - объем совокупности; - вес i-го варианта.

Расчет средней гармонической взвешанной Дата торгов Курс (руб. ) Объем сделок (млн. руб. ) 1 29, 30 4 463 2 29, 39 6 009 3 29, 44 3 788 Определить средний курс?

Расчет средней гармонической невзвешанной В фирме, специализирующейся на торговле по почте упаковкой и отправкой товаров занимаются два работника. Первый из них на обработку одного заказа затрачивает 8 мин. , второй – 14 мин. Каковы средние затраты времени на 1 заказ, если общая продолжительность времени у работников равна?

Средняя геометрическая Невзвешенная: Взвешенная: где: - i-й вариант осредняемого признака; - объем совокупности; - вес i-го варианта; - число вариантов осредняемого признака. Основная область применения средней геометрической – осреднение индивидуальных показателей в динамике.

Степенные средние 2 -го и более высоких порядков Средняя квадратическая невзвешенная взвешенная где: - i-й вариант осредняемого признака; - объем совокупности; - вес i-го варианта.

Средняя кубическая невзвешенная взвешенная где: - i-й вариант осредняемого признака; - объем совокупности; - вес i-го варианта. Основная область применения – расчет показателей вариации, взаимосвязи, структурных изменений, асимметрии и эксцесса.

Свойства средней 1. Произведение средней на сумму частот равно сумме произведений отдельных вариантов на соответствующие им частоты. 2. Сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической равна нулю.

Свойства средней 3. Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической меньше, чем сумма квадратов их отклонений от любой другой произвольной величины С. Центральные моменты

Свойства средней 4. Если все осредняемые варианты уменьшить или увеличить на постоянное число А, то средняя арифметическая соответственно уменьшится на ту же величину.

Свойства средней 5. Если все варианты значений признака уменьшить или увеличить в А раз, то средняя также соответственно увеличится или уменьшится в А раз.

Свойства средней 6. Если все веса уменьшить или увеличить в А раз, то средняя арифметическая от этого не изменится.

Структурные средние К структурным средним относятся две основные характеристики вариационного ряда распределения – мода и медиана. Мода (Мо) – вариант изучаемого признака, имеющий наибольшую частоту. • Медиана (Ме) - вариант изучаемого признака, находящийся в середине ранжированного (упорядоченного) ряда всех его значений. Основное свойство медианы: сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины.

Определение моды по дискретному ряду распределения Модальным вариантом или модой будет являться вариант, которому соответствует максимальная частота.

Определение медианы по дискретному ряду распределения Медианным вариантом или медианой будет являться вариант, накопленная частота которого первой превышает половину сумм всех частот.

Определение моды по интервальному ряду распределения где: - нижняя граница модального интервала (модальным называется интервал, имеющий наибольшую частоту); - величина интервала; - частота модального интервала; - частота интервала, предшествующего модальному; - частота интервала, следующего за модальным.

Графическое определение моды по гистограмме

Определение медианы по интервальному ряду распределения где: - нижняя граница медианного интервала (медианным называется первый интервал, накопленная частота которого превышает половину общей суммы частот); - величина интервала; - частота медианного интервала; -накопленная частота интервала, предшествующего медианному.

Графическое определение медианы по кумуляте

Средняя, мода и медиана в оценке асимметрии распределения Симметричное распределение - умеренное ассиметричное распределение рядов

Средняя, мода и медиана в оценке симметрии распределения Правосторонняя асимметрия Левосторонняя асимметрия < Me < Mo

Другие характеристики рядов распределения

Определение квартилей по интервальному ряду распределения где - нижняя граница интервала, содержащего нижний квартиль (данный интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 25% от общей суммы частот); - нижняя граница интервала, содержащего верхний квартиль (данный интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 75% от общей суммы частот); - величина интервала; - частота интервала, содержащего нижний квартиль; - то же для верхнего квартиля; - накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему нижний квартиль; - то же для верхнего квартиля.

Определение децилей по интервальному ряду распределения где - нижняя граница интервала, содержащего первый дециль (данный интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 10% от общей суммы частот); - нижняя граница интервала, содержащего девятый дециль (данный интервал определяется по накопленной частоте, первой превышающей 90% от общей суммы частот); - величина интервала; - частота интервала, содержащего первый дециль; - то же для девятого дециля; - накопленная частота интервала, предшествующего интервалу, содержащему первый дециль; - то же для девятого дециля.

Пример Распределение населения РФ по уровню среднедушевых номинальных денежных доходов в I полугодии 2005 г. Группы по уровню Численность Накопленные среднедушевого месячного населения частоты дохода, тыс. руб. до 400 29, 6 400 -600 30, 6 60, 2 600 -800 25, 1 85, 3 800 -1000 18, 4 103, 7 1000 -1200 12, 8 116, 5 1200 и более 9, 4 125, 9 Итого: 125, 9

Решение: