Кафедра Прикладной математики Курс Линейная алгебра Ст преподаватель

Кафедра: Прикладной математики Курс: Линейная алгебра Ст. преподаватель Мартиросян Анна Эдуардовна

Литература Кремер Н. Ш. , Путко Б. А. , Тришин И. М Высшая математика для экономистов. Практикум А. Н. Романников “Линейная алгебра”, учебное пособие МЭСИ Алферова З. В. , Балюкевич Э. Л. , Ковалева Л. Ф. , Горбовцов Г. Я. “Линейная алгебра (Матричная алгебра)”, учебное пособие МЭСИ Н. Ш. Кремер “Математика для экономистов”, М. : ЮННИТИ

Литература Курош А. Р. “Курс высшей алгебры”, М. : Наука Сирл С. , Госман У. “Матричная алгебра в экономике”, М. : Стастистика Мастяева И. Н. , Горбовцов Г. Я. , Семенихина О. Н. “Прикладная математика”, М. : МЭСИ

Определители и их свойства Определитель n-го порядка - алгебраическая сумма n! членов, каждый из которых является произведением n элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы А со знаком “+” или “-”.

Определитель n – го порядка: Дополнительный минор Mig к элементу aig определителя Δ – определитель (n-1)-го порядка, получаемый в результате вычеркивания i-ой строки (i=1, 2, 3…n) и g-ого столбца (g=1, 2, 3…n) в определителе n-го порядка Δ.

Алгебраическое дополнение Aig, соответствующее элементу аig в определителе Δ – соответствующий ему минор , взятый со знаком: Вычисление определителя n – го порядка:

Правило Крамера для решения систем n линейных уравнений с n неизвестными определитель Δ системы, составленный из коэффициентов при неизвестных:

то система уравнений имеет единственное решение, определяемое по формулам: - определитель, получаемый из определителя системы Δ заменой в нем g-го столбца столбцом свободных членов уравнений системы.

Определитель 2 -го порядка Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

Решение системы 2 -х линейных уравнений по теореме Крамера:

Определитель 3 -го порядка система 3 -х уравнений с 3 -мя неизвестными: определитель Δ системы, составленный из коэффициентов при неизвестных:

Способы вычисления определителя 3 -го порядка:

Матрицы Матрица порядка [mxn] прямоугольная таблица, содержащая m строк и n столбцов.

Равенство матриц A и B – равенство соответствующих элементов этих матриц.

Виды матриц Квадратной матрице -матрице порядка [nxn] соответствует определитель n – го порядка Δ. Если определитель Δ квадратной матрицы отличен от нуля – матрица невырожденная (неособенная) Диагональная матрица Скалярная матрица

Виды матриц Симметричная матрица Нулевая матрица Единичная матрица Матрица-строка – вектор-строка Матрица-столбец – вектор-столбец

Действия над матрицами 1) Алгебраическая сумма двух матриц одного и того же порядка –сумма соответствующих элементов складываемых матриц.

Действия над матрицами 2) Умножение матрицы на число k – умножение каждого элемента этой матрицы на число k. 3) Возведение в степень квадратных матриц K – ой степенью квадратной матрицы А называется произведение k сомножителей, равных А.

Действия над матрицами 4) Произведение матриц Матрицу А можно умножить на матрицу B, если количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В.

Нахождение обратной матрицы Каждая невырожденная (несобственная) квадратная матрица имеет обратную матрицу. Обратная матрица А-1 по отношению к данной матрице А – матрица, которая при умножении на данную матрицу слева или справа дает единичную матрицу.

Нахождение обратной матрицы Присоединенная матрица А* к матрице А – транспонированная матрица алгебраических дополнений к элементам матрицы А.

Матричные уравнения

Матричный способ решения систем линейных уравнений Общий вид системы n уравнений с n неизвестными Матричный запись системы линейных уравнений

Ранг матрицы - максимальное число ее линейно-независимых строк (столбцов). Число, равное наивысшему порядку отличных от нуля миноров матрицы. матрица А порядка [mxn]: Нахождение ранга матрицы: 1) Метод окаймляющих миноров – вычисление определителей Если все полученные на основе данной матрицы определители k-го порядка равны нулю, ранг матрицы равен (k-1). 2) Метод элементарных преобразований Элементарные преобразования не изменяют ранг матрицы. Ранг матрицы равен порядку полученной единичной матрицы.

Общий способ исследования и решения систем линейных уравнений Система m алгебраических уравнений c n неизвестными совместна, если имеет хотя бы одно решение.

Теорема Кронекера–Капелли Система линейных уравнений совместна, когда ранг матрицы системы А (из коэффициентов при неизвестных) равен рангу расширенной матрицы А (из коэффициентов при неизвестных и свободных членов).

3 случая при решении систем линейных уравнений I случай III случай Система совместна и имеет единственное решение Система имеет бесчисленное множество решений Система несовместна – не имеет решений

Метод Жордана-Гаусса Любая система линейных уравнений решается методом полного исключения неизвестных Жордана-Гаусса. Система m уравнений c n неизвестными Расширенная матрица из коэффициентов при неизвестных и свободных членов уравнений

В результате элементарных преобразований над строками расширенной матрицы система уравнений, соответствующая вновь получаемой матрице, остается эквивалентной исходной. 1) Перемена местами любых строк матрицы; 2) Умножение любой строки матрицы на число, отличное от нуля; 3) Прибавление к некоторой строке матрицы другой ее строки, умноженной на постоянное число, не равное 0; 4) Вычеркивание нулевой строки; 5) Вычеркивание одной из двух равных строк; 6) Перестановка местами столбцов матрицы с сохранением нумерации над ними.

Алгоритм метода: Преобразование расширенной матрицы элементарными преобразованиями над строками к такой матрице, где слева от черты расположена: либо единичная матрица – система имеет единственное решение; либо матрица, содержащая единичную подматрицу – система имеет бесконечное множество решений.

В процессе преобразований : 1) На некотором этапе получилась матрица: Исходная система имеет единственное решение: 2) На некотором этапе Исходная система не имеет получилась строка: решений - несовместна 3) На некотором этапе получилась нулевая строка: Строка исключается из матрицы

4) На некотором этапе получилась матрица: Система имеет бесчисленное множество решений Общее решение системы: в левой части оставляем r неизвестных, остальные (n-r) переносим в правую часть. Частное решение системы: придаем свободным переменным в правой части произвольные значения. Базисное решение системы: все неизвестные в правой части равны 0.

Спасибо за внимание!