КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ ИГЭУ ВВЕДЕНИЕ В ТЕРИЮ ЦЕПЕЙ

КАФЕДРА ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ ИГЭУ ВВЕДЕНИЕ В ТЕРИЮ ЦЕПЕЙ МАРКОВА И ЕЕ ИНЖЕНЕРНЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Мизонов Вадим Евгеньевич

ЗАДАЧА О ПЬЯНОМ МАТРОСЕ 1 2 3 4 5 Расчетная схема блужданий пьяного матроса 6

Примеры реализации случайных блужданий MCh 1 матроса Не вышел Вышел Дв ерь Положение Номер шага

MCh 2 Вероятность выхода б) а) Число шагов матроса Влияние полного числа испытаний на разброс вероятности выхода матроса: а – 10 тестов по 50 испытаний; б – 10 тестов по 5000 испытаний

Цепная модель процесса случайных блужданий матроса – цепь Маркова p 11 p 22 2 1 p 12 S 1 p 32 p 33 3 p 23 S 2 p 43 p 44 p 54 S 3 6 S 5 S 6 p 45 S 4 Осталось в 1 p 65 p 66=1 5 4 p 34 p 55 Пришло из 2 Ничего из 3 и т. д. S 1 k+1=p 11 S 1 k + p 12 S 2 k + 0 S 3 k + 0 S 4 k + 0 S 5 k + 0 S 6 k S 2 k+1=p 21 S 1 k + p 22 S 2 k + p 23 S 3 k + 0 S 4 k + 0 S 5 k + 0 S 6 k Ничего 1 Пришло Осталось Пришло из 2 в 3 из 4 Ничего из 5 и т. д. S 3 k+1= 0 S 1 k + p 32 S 2 k + p 33 S 3 k + p 34 S 4 k + 0 S 5 k + 0 S 6 k S 4 k+1= 0 S 1 k + 0 S 2 k + p 43 S 3 k + p 44 S 4 k + p 45 S 5 k + 0 S 6 k S 5 k+1= 0 S 1 k + 0 S 2 k + 0 S 3 k + p 54 S 4 k + p 55 S 5 k + 0 S 6 k+1= 0 S 1 k + 0 S 2 k + 0 S 3 k + 0 S 4 k + p 65 S 5 k + 1 S 6 k

Матричная запись Sk+1=PSk qk=S 5 kp 65=S 6 k+1 - S 6 k

Эволюция состояния процесса случайных блужданий MCh 3 а) Вероятность состояния Номер шага Состояние S 6 k=Qk qk в) б) Вероятность выхода Среднее число шагов до выхода Число шагов Номер шага

Одномерная диффузия. Виды и влияние краевых условий Капля вещества Начальный момент. Вещество локализовано Время пошло. Вещество диффундирует Продолжение диффузии p 22=1 -2 d-v p 32=d+v Вещество распределилось равномерно Иллюстрация процесса диффузии p 12=d 2 d v Выделение симметричной составляющей вероятностей перехода - Матрица диффузии:

MCh 4 Эволюция содержания диффундирующего вещества на отрезке с закрытыми границами Sik а) k б) k i i S∞=РS∞ → S∞ - один из собственных векторов Р, соответствующим собственному числу λ=1 Sj Sj k j 30≈ k Sj ∞ j

Диффузия с источниками или процесс с порождением частиц Sk+1=PSk+Sfk MCh 5 Sfk – вектор подачи qkin qkout k k

Разное представление пространства состояний Полное пространство состояний Коллектор 1 2 3 p 55=1 4 Неполное пространство состояний Виртуальный (регистрирующий) Коллектор коллектор 1 2 3 4 p 55=0 P 66=1 Неполное пространство состояний 1 2 3 4 «Рабочие» ячейки цепи S∞= (I-PR)-1 Sf

Случайные блуждания и диффузия на плоскости MCh 6 Вероятность выхода 1/3 1/4 1/2 1/4 1/3 5 тестов по 1000 испытаний i 1/4 1/2 j (1, 1) 1 dx Число шагов матроса (1, 2) 4 (1, 3) 7 (2, 1) 2 (2, 2) 5 (2, 3) 8 (3, 1) 3 (3, 2) 6 (3, 3) 9 dy y dy dx x

Структура переходной матрицы

d d Sij d d v Sij k=1 i k=2 j Sij i Sij k=8 i i Sij k=64 i i j j Sij k=16 j Sij k=4 k=32 i j j Sij k=128 j i j k=256 i j Sij Sij k=1 k=2 k=4 5 6 i Sij j i Sij k=8 i Sij j i Sij k=16 i Sij k=64 MCh 7 j j k=32 i Sij k=128 i j j j k=256 i j

Конец лекции 1 Спасибо за внимание

ABC ТЕОРИИ СИСТЕМ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ (СМО) С М О одно – канальная много – канальная с отказами с очередью с ограниченной с неограниченной с обычной; с приоритетной (с абсолютн. и относит. приоритетом).

ПОТОКИ СОБЫТИЙ отказ работа переход (событие) состояние t 1 ремонт состояние t 2 1 8 2 7 3 9 t 4 7 t t t + ∆t окончание ремонта работа t t переход (событие) состояние -событие: сис-ма переходит из состояния i в состояние j; PI J(t) – поток событий; λI J = PI J(t, ∆t)/ ∆t – интенсивность потока событий (плотность вероятности перехода. Стационарный случайный процесс λI J = const

ПОТОКИ СОБЫТИЙ И ВЕРОЯТНОСТИ СОСТОЯНИЯ Состояние 1 (работает) Вероятность S 1 событие=отказ (ν ) Состояние 2 (ремонтируется) Вероятность S 2 событие=окончание ремонта (μ ) N систем: NS 1 - работает, NS 2 - не работает (в ремонте) уходит из 1 : NS 1ν В ед. времени NS 1ν = NS 2μ приходит в 1 : NS 2μ S 1 + S 2 = 1 Доход Д = Д 0 S 1 = μ /(μ + ν) 1/2 1/3 ν= μ ν= 2μ S 2 = ν /(μ + ν) 1/2 2/3 ν= 0, 5μ 1/3

Пространство состояний и возможные переходы в системе с двумя устройствами S 1 Работают оба устройства 1 и 2 μ 1 S 2 2 -ое работает 1 -ое в ремонте S 3 1 -ое работает 2 -ое в ремонте ν 2 μ 2 ν 1 ν 1 S 4 Оба в ремонте μ 1 ν 1=0, 05; ν 2=0, 1; μ 1=0, 1; μ 2=0, 15. S 1∞=0, 4; S 2∞=0, 2; S 3∞=0, 2667; S 4∞=0, 1333. Оба устройства работают одновременно с вероятностью 0, 4, а оба не работают с вероятностью 0, 1333

Многоканальная СМО с отказами S 1 3 свобод. 0 заняты ν μ S 2 2 свобод. 1 заняты ν S 3 1 свобод. 2 заняты 2μ Потому что все равно, какой канал освободится, а их 2 ν 3μ S 4 0 свобод. 3 заняты ОТКАЗ! ν - интенсивность потока заявок (1/ν – время чередования заявок), μ– интенсивность потока обслуживания (1/μ – время обслуживания одной заявки).

Si Si 3 канала SS=1–SR 4 канала SSν - интенсивность потока обслуженных заявок. Каждый занятый канал обслуживает в единицу времени μ заявок. i i SSν/μ или (1–SN+1)ν/μ – число занятых каналов Si Si 5 каналов Доля занятых каналов – поделить на их общее число N. 6 каналов i (ν=0, 15; μ=0, 05) Число каналов i 3 4 6 Вероятность отказа 0, 35 0, 21 0, 06 Вероятность обслуживания 0, 65 0, 79 0, 94 Доля занятых каналов 0, 65 0, 60 0, 47

Одноканальная СМО с очередью S 1 Свобод. Очер. =0 ν μ S 2 Занят Очер. =0 ν μ S 3 Занят Очер. =1 ν μ S 4 Занят Очер. =2 ν μ S 5 Занят Очер. =3 Мест нет! среднее число заявок в очереди среднее время стояния заявки в очереди Si NL =2, 2; TL = 4, 4 ед. вр. 3 Si NL =5; TL =10 ед. вр. 6 i i

Номер состояния: 1 2 3 4 5 Сумма у игрока $0 $1 $2 $3 $4 Si k p=0, 5 k i Si k i i Si k p=0, 75 k Si ∞ p=0, 25 k i Si ∞ i

Разные задачи Пенсионные отчисления Неработающие дети (1), работающие взрослые (2), пенсионеры (3) и умершие (4). Пусть каждый год 0, 04 детей становятся работающими взрослыми, а 0, 001 умирают; 0, 03 работающих взрослых уходят на пенсию, а 0, 01 умирают; умирает также 0, 05 пенсионеров. Найти установившееся число жителей в группах, если в год рождается 1000 детей. Пришло Ушло 1000 = (0, 04+0, 001)N 1 0, 04 N 1=(0, 03+0, 01)N 2 0, 03 N 2=0, 05 N 3 (дети) (работающие взрослые) (пенсионеры) N 1=24390; N 2=24390, 24; N 3=14634, 14 Пусть пенсия у пенсионеров составляет $5000 в год и формируется из отчислений дохода работающий взрослых. Годовые пенсионные отчисления с работающих 5000*14634, 14/24390, 24=$3000 в год с каждого

Конец лекции 2 Спасибо за внимание