Кафедра начертательной геометрии и черчения УГАТУ Курс лекций

Кафедра начертательной геометрии и черчения УГАТУ Курс лекций профессора Поликарпова Ю. В.

Позиционные задачи 1. Общая схема решения задачи на построение линии пересечения двух поверхностей. 2. Способ вспомогательных секущих плоскостей. 3. Способ вспомогательных секущих сфер. 4. Особые случаи пересечения поверхностей второго порядка. 5. Сечение поверхности плоскостью. 6. Конические сечения. 7. Построение линии пересечения двух плоскостей. 8. Построение точек пересечения линии с поверхностью. 2

Общая схема решения задачи Σ Φ M Θ n N m 1. Ө 2. n = Σ ∩ Θ ; m = Φ ∩ Θ 3. N, M= n ∩ m 3

Способ секущих плоскостей Φ 2 Θ 2 Построение линии пересечения конуса вращения Φ со сферой Θ C 2=D 2 А 2 n 2 E 2=F 2 m 2 Σ 1 2 Σ 2 2 Граница видимости линии пересечения для П 1 K 2=L 2 I 2=J 2 В 2 Σ 3 2 Σ 4 2 x 12 Граница видимости линии пересечения для П 2 Алгоритм решения: 1. Σ 1 2. n = Φ ∩ Σ 1 m = Θ ∩ Σ 1 3. C, D = n ∩ m E 1 I 1 В 1 K 1 А 1 L 1 m 1 С 1 D 1 n 1 J 1 F 1 4

Пересечение соосных поверхностей вращения A 2 i 2 В 2 Окружности С 2 5

Способ концентрических секущих сфер E 2=F 2 A 2 Rmin Построение линии пересечения конуса вращения Φ с цилиндром вращения Θ B 2 G 2=H 2 I 2=J 2 M 2=N 2 K 2=L 2 C 2 Rmax P 2=R 2 Rmin < Rmax Граница видимости линии пересечения для П 1 D 2 x 12 P 1 K 1 E 1 I 1 H 1 D 1 A 1 B 1 F 1 R 1 L 1 M 1 C 1 G 1 N 1 J 1 6

Способ секущих плоскостей S 2 f 0 2 32 Построение линии пересечения конуса вращения Φ с плоскостью Σ E 2 B 2 62 H 2 F 2 A 2 С 2 x 12 D 2 f 0 1 = h 0 2 12 61 22 52 42 E 1 A 1 Θ 1 51 D 1 S 1 B 1 11 21 Δ 1 31 C 1 41 F 1 h 0 1 7

Построение линии пересечения сферы с проецирующей плоскостью G 2=J 2 Σ 2 В 2 E 2=F 2 С 2=D 2 А 2 C 1 E 1 x 12 G 1 А 1 В 1 J 1 D 1 F 1 8

Сечения конуса вращения плоскостью Две пересекающие прямые Гипербола Парабола Эллипс Окружность 9

Построение линии пересечения плоскостей общего положения a 2 H 2 b 2 L 2 2 H 1 K 2 12 x 12 11 51 a 1 82 72 62 52 2 n 2 m 2 32 42 22 m 1 21 K 1 31 L 1 61 b 1 n 1 41 71 81 10

Общая схема решения задачи на построение точек пересечения линии с поверхностью Θ n m Алгоритм решения: 1. Θ ( Θ ⋐ n ) 2. m = Θ ∩ Φ 3. K = m ∩ n K Φ 11

Построение точек пересечения прямой n со сферой Φ G 2=J 2 n 2 = Σ 2 = m 2 K 2 В 2 E 2=F 2 С 2=D 2 А 2 C 1 E 1 x 12 Алгоритм решения: 1. Σ ( Σ ⋐ n ) 2. m = Σ ∩ Φ 3. K = m ∩ n L 2 G 1 L 1 А 1 В 1 J 1 D 1 F 1 K 1 n 1 12

Построение точки пересечения кривой линии n с конической поверхностью Φ (a, S) a 2 22 32 K 2 42 52 S 2 12 11 x 12 S 1 21 Алгоритм решения: 1. Σ ( Σ ⋐ n ) 2. m = Σ ∩ Φ 3. K = m ∩ n n 2 = Σ 2 = m 2 K 1 m 1 31 n 1 41 51 a 1 13