Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Теоретические основы систем автоматизированного проектирования Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 1
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Учебно методические материалы l 1. Норенков И. П. Основы автоматизированного проектирования. М. : Изд во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. l 2. Автоматизация проектирования радиоэлектронных средств. Под ред. О. В. Алексеева. М. : Высшая школа, 2000. l 3. Методы оптимизации в примерах и задачах: Учебное пособие / А. В. Пантелеев, Т. А. Летова. 3 е издание М. : Высшая школа, 2008. l 4. Зарубин В. С. Математическое моделирование в технике. М. : МГТУ им Баумана, 2001. l 4. Деньдобренько Б. Н. , Малика А. С. Автоматизация конструирования РЭА. М. Высш. школа, 1980. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 2
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training В результате изучения дисциплины студенты должны: знать: • основные понятия теории САПР; • методологию автоматизированного проектирования; • методы формального описания основных объектов проектирования; • методы анализа и синтеза подсистем корабля; • основы теории систем массового обслуживания; • элементы численных методов; • модели данных в САПР; • основные методы и алгоритмы, реализуемые САПР; Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 3
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training В результате изучения дисциплины студенты должны: уметь: • выбирать и строить математические модели объектов проектирования; • выбирать и использовать методы оптимизации проектировании; • моделировать информационные и физические процессы, протекающие в кораблестроении; приобрести навыки: • математического моделирования при проектировании; • практического использования методов и алгоритмов, реализуемых САПР. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 4
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training ТЕМА 1 Основные понятия теории САПР Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 5
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Основные понятия теории САПР • Проектирование – это процесс, заключающийся в преобразовании исходного описания объекта в окончательное описание на основе выполнения комплекса работ исследовательского, расчетного и конструкторского характера. • Проектирование, при котором все или часть проектных решений получают путем взаимодействия человека и ЭВМ, называют автоматизированным. Система, реализующая автоматизированное проектирование и представляет собой САПР. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 6
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training • Цель внедрения САПР: повышение производительности работы инженера конструктора; повышение качества проектных работ; сокращение сроков проектирования новых моделей за счет передачи рутинных этапов процесса проектирования САПР. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 7
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Типовые проектные процедуры • Преобразовании исходного описания объекта проектирования в окончательное порождает промежуточные описания, которые называют проектными решениями. Эти преобразования реализуются при использовании проектных процедур. • Различают проектные процедуры анализа и синтеза. Синтез заключается в создании описания объекта, а анализ – в определении свойств и исследовании работоспособности объекта по его описанию, т. е. при синтезе создаются, а при анализе оцениваются проекты объектов. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 8
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Классификация основных проектных процедур Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 9
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Иерархические уровни проектирования • Системный уровень, на котором решаются наиболее общие задачи проектирования. В этом случае результаты проектирования представляются в виде структурных схем, укрупненных алгоритмов работы, диаграмм потоков данных, диаграмм организации вычислительных процессов и т. п. • Макроуровень, на котором проектируются отдельные устройства и узлы ЭВС. Результаты проектирования представляются в виде функциональных, принципиальных схем, сборочных чертежей и т. п. Макроуровень также называют схемотехническим уровнем. • Микроуровень, на котором проектируются отдельные детали и элементы ЭВС. • При проектировании цифровых систем часто также выделяют функционально-логический уровень, на котором модель цифрового устройства представляется в виде системы логических уравнений, описывающих логику функционирования элементов цифрового устройства. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 10
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training CAD CAM CAE системы • CAD-системы (сomputer-aided design — компьютерная поддержка проектирования) предназначены для решения конструкторских задач и оформления конструкторской документации • CAM-системы (computer-aided manufacturing — компьютерная поддержка производства) предназначены для проектирования обработки изделий на станках с числовым программным управлением (ЧПУ) и выдачи программ для этих станков • САЕ-системы — (computer-aided engineering — поддержка инженерных расчетов) Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 11
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Основные задачи, решаемые CAD – CAM – CAE системами проектировании ЭВС: • Проектирование печатных плат. • Оформление конструкторской документации. • Моделирование работы аналоговых и цифровых, а также смешанных аналого цифровых устройств. В отношении моделирования работы устройств используется термин simulation (симулирование). • Синтез цифровых устройств на ПЛИС и моделирование их работы. • Анализ электромагнитной совместимости. • Тепловое моделирование. • Проектирование топологии БИС. • Схемотехническое и электромагнитное моделирование СВЧ устройств. • Поведенческое моделирование на уровне структурных схем. • Подготовка файлов для станков с ЧПУ, 3 Д принтеров и фотоплоттеров. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 12
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Виды обеспечения автоматизированного проектирования • Техническое обеспечение САПР представляет собой совокупность взаимосвязанных и взаимодействующих технических средств, предназначенных для выполнения автоматизированного проектирования (hardware). Структура автоматизированного рабочего места Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 13
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training • Математическое обеспечение САПР объединяет в себе математические модели проектируемых объектов, методы и алгоритмы выполнения проектных процедур, используемые при автоматизированном проектировании. • Программное обеспечение САПР объединяет собственно программы и программную документацию, необходимую для эксплуатации программы. • Информационное обеспечение САПР объединяет всевозможные данные, необходимые для выполнения автоматизированного проектирования. • Лингвистическое обеспечение САПР представлено совокупностью языков, применяемых для описания процедур автоматизированного проектирования и проектных решений. • Методическое обеспечение САПР состав ляют окументы, д характеризующие состав, правила отбора и эксплуатации средств автоматизированного проектирования. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 14
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training ТЕМА 2 Системный подход к проектированию ЭВС. Иерархия и классификация математических моделей. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 15
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training • Системотехника – дисциплина, в которой исследуется процесс проектирования технических систем. • Система – множество элементов, находящихся в отношениях и связях между собой. • Элемент – такая часть системы, представление о которой нецелесообразно подвергать дальнейшему членению при проектировании • Подсистема – часть системы, которая имеет свойства системы (большого количества элементов с большим числом взаимосвязей). Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 16
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training • Параметр(переменная) – величина, выражающая свойство системы или ее части. Параметры подразделяются на внешние внутренние и выходные. Векторы внутренних, выходных и внешних параметров будем обозначать X = (x 1, x 2, …. xn) , Y = (y 1, y 2, …. ym), Q = (q 1, q 2, …. qk). • Фазовая переменная величина, характеризующая энергетическое или информационное наполнение подсистемы или элемента, но не являющаяся внутренним параметром (внутренний параметр – номинал, фазовые переменные – падение напряжения и ток). Вектор фазовых переменных будем обозначать V=(v 1, v 2, . . vl). • Состояние – совокупность значений фазовых переменных для определенного момента времени. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 17
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Формы представления математических моделей. • Инвариантная форма запись соотношений модели с помощью математического языка безотносительно к методу решения уравнений модели. • Алгоритмическая форма запись соотношений модели и выбранного численного метода решения в форме алгоритма. • Аналитическая форма запись модели в виде результата аналитического решения исходных уравнений модели. Обычно модели в аналитической форме представляют собой явные выражения выходных параметров как функций внешних и внутренних параметров. • Схемная форма, называемая также графической формой представление модели на некотором графическом языке, например на языке графов, диаграмм, эквивалентных схем и т. п. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 18
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Требования к математическим моделям. • 1) требование адекватности. Модель считается адекватной, если отражает заданные свойства объекта с приемлемой точностью. Точность определяется как степень совпадения значений выходных параметров модели и объекта; • 2) модель должна иметь однозначное соответствие между параметрами и физическими процессами в ЭВС; • 3) модель должна быть пригодна для обработки на ЭВМ; • 4) модель должна быть экономична. Экономичность модели характеризуется затратами вычислительных ресурсов для ее реализации, т. е. затратами машинного времени и памяти. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 19
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Пример математической моделей на микроуровне Нестационарное уравнение теплопроводности плоской стенки толщиной h, на поверхности которой, начиная с некоторого момента времени =0, начинает действовать источник теплоты удельной тепловой мощностью q( ). С другой поверхности стенки тепловой поток рассеивается в окружающую среду с температурой t 0 по закону Ньютона при постоянном коэффициенте теплоотдачи. Будем полагать, что теплофизические характеристики не зависят от температуры. (x, )=t(x, ) - t 0 (x, 0)=0 ; Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 20
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Пример модели на макроуровне Временная зависимость тока, протекающего через постоянный конденсатор , где с – емкость конденсатора, u – напряжение на конденсаторе, t – время. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 21
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training • Компонентными уравнениями называют уравнения, описывающие свойства элементов (компонентов), т. е. это уравнения математических моделей элементов. • Топологическими уравнениями описывают взаимосвязи в составе моделируемой системы. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 22
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Для электрических систем компонентные уравнения простых двухполюсников: для R: u = i. R (закон Ома), для С : для L: , , u — падение напряжения на двухполюснике, i — ток. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 23
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Для электрических систем топологические уравнения выражают законы Кирхгофа Кp — множество номеров элементов р-гo контура, Jq — множество номеров элементов, входящих в q-e сечение Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 24
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Пример математической модели на системном уровне Анализ персонального компьютера с точки зрения надежности. S 0 – исправное состояние, S 1 неработоспособное состояние, интенсивность потока отказов, интенсивность потока восстановлений Уравнение Колмогорова для состояния S 0 S 1 S 0 Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 25
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training ТЕМА 3 Интерполяция табличных данных. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 26
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Необходимость интерполяции и аппроксимации функций в основном связана с двумя причинами: • Функция f(x) имеет сложное аналитическое описание, вызывающее определенные трудности при его использовании (например, f(x) является специальной функцией: гамма функцией, эллиптической функцией и др. ). • Аналитическое описание функции f(x) неизвестно, т. е. f(x) задана таблично. При этом необходимо иметь аналитическое описание, приближенно представляющее f(x) (например, для вычисления значений f(x) в произвольных точках, определения интегралов и производных от f(x) и т. п. ). Пример – описание теоретическоц поверхности корпуса судна с помощью плазовой книги. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 27
![Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Интерполяция данных На отрезке [a, b]](https://present5.com/presentation/209096012_438443376/image-28.jpg "Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Интерполяция данных На отрезке [a, b]")
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Интерполяция данных На отрезке [a, b] заданы n + 1 точка xi = х0, х1, . . . , хn, которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой функции f(x) в этих точках f(x 0) = y 0, f(x 1) = y 1, . . . , f(xn) = yn. Требуется построить функцию (x) , такую что (x 0) = y 0, (x 1) = y 1, . . . , (xn) = yn. В качестве интерполирующей функции ищется полином (х) Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 28
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Линейная интерполяция (х)=aix + bi, xi-1≤ x ≤ xi, i=1, 2, …n , Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 29
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Интерполяционный полином Лагранжа Требуется построить полином Ln(x) степени не выше n, тaкой, что Ln(xi) = yi (i = 0, 1, . . . , n) Будем искать Ln(x) в виде: Ln(x)= l 0(x)+ l 1(x)+. . . + ln(x), где li(x) - полином степени n, причем Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 30
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Так как искомый полином li(x) обращaется в нуль в n точках, то он имеет вид li(x) = Ci (x – x 0) (x - x ) … (x - xi- ) (x - xi + ). . . (x - xn) где Сi - постоянный коэффициент. Полагая х = xi и учитывая, что li(xi) = yi, получим Интерполяционная формула (интерполяционный полином) Лагранжа. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 31
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Пример. Пусть заданы значения x 0=1; x 1=3; x 2=7; x 3=12; и y 0=5, 6; y 1=6, 7; y 2=8, 1; y 3=10, 3. Определить значение неизвестной функции для х = 6, 5. L 3(6, 5)=7, 9 Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 32
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Интерполяционный многочлен Ньютона с разделенными разностями разделенная разность первого порядка. разделенная разность второго порядка. Разделенная разность порядка k 2 Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 33
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Интерполяционный многочлен Ньютона Пример. Необходимо построить интерполяционный многочлен Ньютона: x 0 1 2 y Цуренко Ю. И. 1 4 2 0 1 Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 34
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Таблица разделенных разностей x f(x) 1 4 0 f(xi; xi+1) 2 2 f(xi; xi+1; xi+2) 0 1/2 2 1 2 0 1 1 f(xi; xi+1; xi+2; xi+3) 3/2 Интерполяционный многочлен Ньютона: Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 35
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Погрешность полиномиальной интерполяции Предположим, что во всех точках х [a, b] функция f(x) имеет (n+1) непрерывную производную. Тогда абсолютная ошибка интерполяции (x)=| f(x)– Pn(x) | определяется выражением где - максимальное значение (n+1)-й производной функции f(x) на интервале [a, b]; hmax=max hi , hi=xi - xi-1. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 36
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Интерполирующий полином высокой степени может иметь большие колебания значений функции в точках, отличных от узлов интерполяции, Поэтому на практике обычно используют интерполяционные полиномы степени не выше 5 -6. Функция Рунге R(x)=1/(1+25 x 2) Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 37
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Пример. Пусть требуется составить таблицу функции y=ln x на отрезке [1, 10]. Какой величины должен быть шаг h, чтобы при линейной интерполяции значение функции восстанавливалось с погрешностью не более =10 2? Запишем остаточный член интерполяции при линейной интерполяции Так как то Тогда h 2 8 10 -2. Следовательно, h<0, 3. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 38
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Сплайн - интерполяция На практике чаще всего используют кубический сплайн. Для получения расчетных выражений коэффициентов сплайна дополнительно накладывается ограничение совпадения первых и вторых производных в узлах интерполяции. Для n интервалов интерполяции необходимо составление 4 n уравнений для определения неизвестных коэффициентов: 1 Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 39
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training В случае задания в начальном узле интерполяции значений первой и второй производной для кубического сплайна их коэффициенты могут быть получены по следующим рекуррентным выражениям: Для первого интервала , , , где значения Цуренко Ю. И. и , должны быть заданы. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 40
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Для последующих i-ых интервалов , , где Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 41
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Пример. Построить кубический сплайн функции f(x)=sin(x) для n=5. xi yi ai bi ci di 0 0 0, 1473 0 1 0 /2 1 0, 22034 1, 7323 3, 721 1, 425 0 3 /2 1 0, 2181 2, 3994 9, 259 12, 17 2 0 1, 168 17, 194 83, 07 132, 87 F"(x 0)=-sin(0)=0; F'(x 0)=cos(0)=1; sin(3 /4)=0, 7072 , интерполируемое значение S(3 /4)=0, 608 Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 42
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training График сплайн интерполяция для рассмотренного примера ? ? Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 43
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training ТЕМА 4 Аппроксимация табличных данных и функций. Численное решение систем линейных уравнений Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 44
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Аппроксимация Наиболее распространенным методом аппроксимации данных является метод наименьших квадратов. Пусть функция y=f(x) задана таблицей своих значений: yi=f(xi), i=0, 1, . . n. Критерием близости в методе наименьших квадратов является требование минимальности среднего квадратического отклонения Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 45
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Критерий близости записывается в следующем виде В отличие от задачи интерполяции не требуется, чтобы аппроксимирующая функция проходила через все заданные точки. Наиболее часто встречаются аппроксимация прямой линией (линейная регрессия), аппроксимация полиномом (полиномиальная регрессия), аппроксимация линейной комбинацией произвольных функций. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 46
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Аппроксимация прямой Из всех прямых (x) = ax + b выбирается та, для которой сумма квадратов отклонений значений функции от этой прямой минимальна. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 47
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Значения коэффициентов прямой Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 48
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Аппроксимация полиномом с помощью МНК Требуется найти полином фиксированной степени m, для которого СКО минимально. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 49
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Нормальная система уравнений МНК Используя необходимое условие экстремума, получим , k=0, 1, . . m. Полученная система есть система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных a 0, a 1, a 2…. am. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 50
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Нормальная система для полинома второй степени P 2(x)=a 0+a 1 x+a 2 x 2 Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 51
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Пример. Осуществим аппроксимацию табличных данных полиномом второй степени. x 3 1 0 1 3 y 4 0. 8 1. 6 2. 3 1. 5 Вычислим коэффициенты нормальной системы уравнений: , , Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 52
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Нормальная система будет иметь вид: Решение системы: a 0=1, 234; a 1=0, 98; a 2=-0, 279. P 2(x)=1, 234+0, 98 x-0, 279 x 2. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 53
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Пример. Выведем систему уравнений для определения коэффициентов a и b функции осуществляющей среднеквадратичную аппроксимацию заданной функции по n+1 точке Минимизируемая функция Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 54
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training условие экстремума нормальная система Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 55
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Решение систем линейных алгебраических уравнений. Способы решения систем линейных уравнений делятся на две группы: Точные методы, представляющие собой алгоритмы для вычисления корней системы (решение систем с помощью обратной матрицы, правило Крамера, метод Гаусса и др. ), Итерационные методы, позволяющие получить решение системы с заданной точностью путем сходящихся итерационных процессов (метод итерации, метод Зейделя и др. ). Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 56
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Метод Гаусса Систему уравнений представляют в виде матрицы Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 57
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training которую последовательным исключением неизвестных приводят к эквивалентной системе с треугольной матрицей вида Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 58
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Эта процедура называется прямой ход. Все коэффициенты (включая d) на каждом шаге прямого хода пересчитываются по формулам , di=ci(n+1) где k – индекс исключаемой неизвестной xk из системы уравнений. При обратном ходе последовательно вычисляются неизвестные, начиная с xn. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 59
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Пример. Решить методом Гаусса следующую систему уравнений, представленную в виде матриц коэффициентов 27 15 3 9 Цуренко Ю. И. 36 12 4 12 73 50 9 10 8 16 5 16 142 44 14 76 Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 60
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training 1 шаг прямого хода. Из второго-четвертого уравнений исключаем x 1 27 36 73 8 142 0 8 85/9 0 0 8/9 53/9 16/9 0 0 43/3 40/3 86/3 184/9 314/9 ; Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 61
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training 2 шаг. Исключаем из третьего и четвертого уравнений x 2. Поскольку с32 и с42 равны нулю, то матрица на этом шаге не изменится. 3 шаг. Исключаем x 3 из четвертого уравнения 27 73 8 142 0 8 85/9 184/9 314/9 0 0 8/9 53/9 16/9 0 Цуренко Ю. И. 36 0 0 653/8 0 Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 62
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Обратный ход Из последней строки находим x 4=0 Из третьей строки Из второй строки Из первой строки Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 63
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training ТЕМА 5 Численное решение нелинейных уравнений Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 64
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Численное решение нелинейных уравнений. Решение нелинейного уравнения f(x)=0 или системы нелинейных уравнений состоит из двух этапов: 1) Отделение корней, то есть отыскание достаточно малых областей, в каждой из которых заключен ровно один корень уравнения или системы уравнений. 2) Вычисление каждого отделенного корня с заданной точностью. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 65
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Итерационный алгоритм отделения корня 1. Для начального приближения x 0, найти f 0=f(x 0), задать начальный интервал поиска D и его коэффициент расширения d >1. 2. Вычислить a=x 0 - D, b=x 0+D. 3. Увеличить интервал поиска: D=D*d. Если интервал превысил некоторый заданный предел закончить поиск (интервал не найден). 4 a. Если знаки fa и f 0 отличаются, то считать корень окруженным на [a, x 0] и выйти из алгоритма. 4 b. Если знаки fb и f 0 отличаются, то считать корень окруженным на [x 0, b] и выйти из алгоритма. 4 c. Если f 0>0 (случай меньше нуля анализируется аналогично) перейти к 5. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 66
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Продолжение алгоритма отделения корня 5. Проверяется, какое значение из fa или fb является меньшим. Если оба одинаковы, то переходим к 6 a (двусторонний поиск), если fb - производим поиск вправо 6 b, иначе - поиск влево 6 c. 6 a. Находим a=a-D, b=b+D, fa=f(a), fb=f(b), перейти к 3. 6 b. Присваиваем последовательно a=x 0, x 0=b, fa=f 0, f 0=fb; находим b=b+D, fb=f(b), перейти к 3. 6 c. Аналогично 6 b, только направление поиска - влево. Так как интервал поиска постоянно расширяется, то в конце концов используя указанный алгоритм корень будет локализован. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 67
![Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Метод бисекции Пусть [a, b] -](https://present5.com/presentation/209096012_438443376/image-68.jpg "Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Метод бисекции Пусть [a, b] -")
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Метод бисекции Пусть [a, b] - отрезок локализации. Предположим, что функция f(x) непрерывна на [a, b] и на концах принимает значения разных знаков. Алгоритм метода бисекции состоит в построении последовательности вложенных отрезков, на концах которых функция принимает значения разных знаков. Каждый последующий отрезок получают делением пополам предыдущего. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 68
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Шаг метода бисекции Пусть на k-ом шаге найден отрезок [ak, bk] такой, что f(ak)· f(bk)<0. Найдем середину отрезка xk= (ak + bk)/2. Если f(xk)=0, то xk - корень и задача решена. Если нет, то из двух половин отрезка выбираем ту, на концах которой функция имеет противоположные знаки: ak+1= ak, bk+1= xk, если f(ak)· f(xk)<0 ak+1= xk, bk+1= bk , если f(ak)· f(xk)>0 Если длина отрезка локализации меньше , то итерации прекращают и в качестве значения корня с заданной точностью принимают середину отрезка. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 69
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Метод Ньютона Пусть уравнение записано в виде f(x)=0. Если разложить f(x) в ряд Тейлора в окрестности некоторой точки xk и ограничиться первой производной, то можно записать Решение дает очередное приближение к корню уравнения f(x)=0, которое обозначим как xk+1. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 70
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Алгоритм метода Ньютона 1. Выбираем начальное приближение x 0. Для улучшения сходимости метода начальное приближение следует выбирать по возможности ближе к искомому корню уравнения. 2. По формуле рассчитывается значение xk+1 3. Проверяется условие завершения |xk – xk+1|< , где - заранее заданная допустимая погрешность. Если условие выполняется, то вычислительный процесс заканчивается, если нет, то переходим к шагу 2. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 71
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Пример. Решим методом Ньютона уравнение x 3+2 x 2+3 x+5=0, взяв в качестве начального приближения x 0=-2 и задав точность =0, 000001. Поскольку , то итерационная формула метода Ньютона будет такой: Применяя эту формулу, последовательно находим: x 1=-1, 857143; x 2=-1, 843842; x 3=-1, 843734; x 4=-1, 843734; Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 72
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Метод может быть использован для случая функции многих переменных F(X). В этом случае на втором шаге алгоритма вычисления для переменной xj проводятся по выражению условие завершения |(xj)k – (xj)k-1|< j, j - заранее заданная допустимая погрешность по переменной xj. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 73
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Пример. Найти корень уравнения с точностью =0, 2 Выберем стартовую точку X 0=(5; 6) Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 74
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Xk F(Xk) F/ x 1 F/ x 2 Xk+1 5; 6 34 6 10 0, 67; 2, 6 9, 689 5, 34 3, 2 1, 14; 0, 428 1, 067 1, 72 1, 144 1, 76; 1, 36 0, 187 0, 48 0, 72 2, 15; 1, 1 0, 033 0, 2 2, 04; 0, 935 5, 8 10 3 0, 08 0, 13 Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 75
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Численное дифференцирование По значениям функции f(x) в некоторых узлах x 0 , x 1 , . . . , x. N строят интерполяционный полином PN(x) и приближенно полагают f(r)(x) ≈P(r)N(x), 0 ≤ r ≤ N Формула численного дифференцирования с остаточным членом f(r)(x) = P(r)N(x) + R, 0 ≤ r ≤ N остаточный член R - погрешность численного дифференцирования Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 76
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Формулы численного дифференцирования с остаточными членами для узлов, расположенных с постоянным шагом h r=1, N=1 (два узла): f '(x 0 ) = (y 1 - y 0 )/h - hf ''(x)/2 - правосторонняя разность f '(x 1 ) = (y 1 - y 0 )/h + hf ''(x)/2 – левосторонняя разность r=1, N=2 (три узла): f '(x 0 ) = (-3 y 0 + 4 y 1 - y 2)/2 h + h 2 f '''(x)/3 f '(x 1 ) = (y 2 - y 0)/2 h - h 2 f '''(x)/6 - центральная разность f '(x 2 ) = (y 0 – 4 y 1 + 3 y 2)/2 h + h 2 f '''(x)/3 Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 77
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training r=2, N=2 (три узла): f ''(x 0 ) = (y 0 – 2 y 1 + y 2 )/h 2 - hf '''(x) f ''(x 1 ) = (y 0 – 2 y 1 + y 2 )/h 2 - h 2 f (4)(x)/12 f ''(x 2 ) = (y 0 – 2 y 1 + y 2 )/h 2 + hf '''(x) В приведенных формулах ξ есть некоторая точка (своя для каждой из формул) из интервала (x 0 , x. N). Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 78
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Численное интегрирование Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла: В качестве приближенного значения интеграла L[f] рассмотрим следующее: где li[f] - формула для приближенного вычисления интеграла на отрезке [xi-1, xi]. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 79
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Формула прямоугольников. Заменим на отрезке [xi-1, xi] функцию y=f(x) полиномом нулевой степени , ξi = (xi+xi-1 ) /2 Для случая учета значений функции только в конечных точках интервала Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 80
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Формула трапеций Проведем через точки: (xi-1, f(xi-1)), (xi, f(xi)) полином первой степени Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 81
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training ТЕМА 6 Основы метода конечных разностей Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 82
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Метод конечных разностей Основная идея метода заключается в замене частных производных их разностными аппроксимациями. Пусть у нас имеется некоторая функция двух переменных F(x, z). Пусть нам известны значения функции в некоторых точках (х, z), (x+ x, z), (x- x, z). Если ввести обозначения F(x+ x, z)=Fi+1, F(x, z)=Fi, F(x- x, z)=Fi-1, то можно записать следующие аппроксимации частных производных данной функции: Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 83
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training правая разностная схема, левая разностная схема, центральная разностная схема. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 84
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training При необходимости можно получить аппроксимацию производных более высоких порядков, например для второй производной: Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 85
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Метод конечных разностей предполагает выполнение следующих шагов: 1. В исследуемой области строится сетка путем дискретизации области изменения аргумента. В результате получается конечное множество точек, отстоящих друг от друга на величину шага x. Чаще всего используется постоянный шаг сетки x=const. Искомая функция F аппроксимируется совокупностью значений в узлах сетки Fi (сеточной функцией). 2. В исходных дифференциальных уравнениях операторы ∂F/∂x, ∂2 F/∂x 2 заменяется конечной разностью по одной из разностных схем. Записывается система уравнений с конечными разностями для точек сетки. Каждая точка сетки представляется шаблоном, отражающим свойства среды и физического поля. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 86
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training 1, 2 0 1 2 0, 1 1, 1 2, 1 1, 0 Шаблоны метода конечных разностей Номера точек сетки для одномерного случая являются значениями индекса i, для двухмерного случая двойным индексом (i, j), соответствующим номеру дискретной точки сетки по первой и по второй координате. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 87
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Полученная система дополняется граничными и начальными условиями. Для производных в граничных условиях второго и третьего рода также используется аппроксимация конечной разностью. В результате будет получена замкнутая система в общем случае нелинейных алгебраических уравнений. 3. Полученная система алгебраических уравнений решается численно. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 88
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Решение одномерных стационарных задач. Используется два подхода при наличии краевых условий Неймана (граничное условие выражается через производную): 1. не использовать дополнительных виртуальных узлов сетки и не использовать центральные разности для граничного условия; 2. использовать дополнительный виртуальный узел и центральную разность для граничного условия Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 89
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Использование МКР рассмотрим на примере Рассмотрим стационарное распределение температуры в плоской стенке толщиной 3 мм. Такая модель хорошо описывает процесс теплопроводности, например, в стенке корпуса ЭВС в точках, где краевые эффекты оттока теплоты по краям стенки незначительны и задачу можно считать одномерной. Одна поверхность стенки находится при температуре 20 о. С, на другую поверхность падает тепловой поток удельной мощностью q=104 Вт/м 2. Теплопроводность стенки =1 Вт/(м о. С). Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 90
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Уравнение теплопроводности в этом случае будет иметь вид Сделаем по координате x шаг сетки, равный 1 мм. По толщине стенки получим четыре точки Градиент температуры ∂t/∂x=q/ =10 о. С /мм. Рассмотрим вариант решения задачи, при котором не будем использовать дополнительных виртуальных узлов. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 91
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training t, o. C q 40 t 0=20 o. C 20 0 1 2 3 x, мм Одномерная задача теплопроводности Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 92
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Система уравнений МКР в случае отсутствия виртуальных узлов Решение Цуренко Ю. И. t 1=300 C, t 2=400 C, t 3=500 C. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 93
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Система уравнений МКР в случае наличия виртуального узла Для граничных условий первого рода на границе вместо производной нужно было бы задать температуру. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 94
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Решение одномерных нестационарных задач Используют явный и неявный методы В явном методе последующие вычисления в следующих точках сетки по времени базируются на результатах предыдущих вычислений. В неявном методе нужно составить полную систему уравнений, которую затем численно решить. Явные методы по сравнению с неявными имеют большие ограничения по устойчивости Рассмотрим варианты шаблонов для одномерной нестационарной задачи теплопроводности. В этом случае уравнение теплопроводности имеет вид: Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 95
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training При использовании правой и левой разностных схем для аппроксимации производной по времени применяется четырехточечный шаблон. Введем следующие обозначения: - шаг по сетке времени; - значение температуры в точке i в момент времени j. i, j+1 i-1, j i+1, j Шаблон явного метода Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 96
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Разностная аппроксимация дифференциального уравнения теплопроводности для i –ой точки в момент времени j для явного метода Значение температуры в следующий момент времени Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 97
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Пример. Имеем плоскую стенку толщиной 3 мм. В момент времени =0 одна поверхность стенки остается при начальной температуре t=200 С, другая начинает поддерживаться (термостатироваться) при температуре 800 С. Начальное распределение температуры – равномерное с температурой t(x, 0)=200 С. Коэффициент температуропроводности примем равным 10 -7 м 2/c. Шаг сетки по координате x выберем равным 1 мм, шаг сетки по времени выберем равным 1 с. Для данной задачи условие устойчивости вычислений имеет вид: Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 98
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Результаты расчета по явному методу 0 1 2 3 0 1 2 20 20 20, 6 20 26 30, 8 80 80 80 3 4 20 20 21, 56 22, 7 34, 64 33, 7 80 80 j В рассмотренном примере x 2/2 a = 5. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 99
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Неустойчивый вычислительный процесс явного метода с шагом сетки по времени =10 с. j 1 2 3 0 1 2 20 20 20 80 80 80 3 4 Цуренко Ю. И. 0 20 20 40 140 80 20 80 80 i Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 100
Кафедра «Кораблестроение и сварка» i-1, j+1 -Maritime Education & Training i, j+1 i+1, j+1 i, j Шаблон неявного метода Разностная аппроксимация дифференциального уравнения теплопроводности для i –ой точки в момент времени j+1 для неявного метода будет иметь следующий вид: При такой аппроксимации необходимо составить систему уравнений для точек сетки, которую потом нужно будет решать численными методами. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 101
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Результат расчета с использованием неявного метода для трех первых узлов сетки времени. j i 0 1 2 Цуренко Ю. И. 0 1 2 3 20 20 20, 42 21, 12 20 25, 04 29, 3 80 80 80 Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 102
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training ТЕМА 7. Решение двухмерных задач. Устойчивость, сходимость и погрешность конечно разностных аппроксимаций. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 103
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Составление разностных уравнений рассмотрим на примере температурного поля пластины. На трех сторонах пластины поддерживаются постоянные температуры t 1, t 2, t 3 на четвертую сторону падает тепловой поток q. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 104
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Двухмерное стационарное уравнение теплопроводности: В качестве шаблона будет использован двухмерный шаблон 1, 2 0, 1 1, 1 2, 1 1, 0 Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 105
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Для внешних узлов на сторонах, где температура поддерживается постоянной, нужно записать равенства температурам t 1, t 2 и t 3. Для четвертой стороны: Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 106
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Система уравнений для внутренних четырех узлов (первый индекс по координате x, второй – по координате y): Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 107
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Учет нелинейности границ Пусть граничный узел находится между двумя узлами сетки A и B А B x x В этом случае конечную разность можно представить в следующем виде где ≤ 1. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 108
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Погрешность аппроксимации первой производной правой разностью Погрешность аппроксимации первой производной левой разностью Погрешность аппроксимации второй производной Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 109
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Основная идея метода конечных элементов. Метод конечных элементов (МКЭ) основан на аппроксимации не производных, а самого решения F(X). Поскольку оно заранее не известно, то аппроксимация выполняется выражением с неопределенными коэффициентами qi: U(X)=Q (X) где Q=(q 1, q 2, ……. qn) вектор неопределенных коэффициентов, (X) –матрица опорных функций. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 110
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training После подстановки U(X) в исходное дифференциальное уравнение L F(X)=V(X), где L- дифференциальный оператор, получим систему невязок L (Q (X)) - V(X)= 0 Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 111
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training ТЕМА 8 Топологические методы формирования математической модели на макроуровне. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 112
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Рассмотрим для примера электрическую схему и ее граф 1 1 1 3 2 4 2 4 5 S 3 3 6 Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 113
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Топологические матрицы Узловая матрица Элемент этой матрицы aij (i –номер строки; j –номер столбца) равен 1, если ветвь j соединена с узлом i и ориентирована от него, -1, если ориентирована к нему, и 0, если ветвь j не соединена с узлом i. 1 2 3 4 5 6 1 A н= 2 3 4 Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 114
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training При расчетах один узел (любой) заземляют. Целесообразно в качестве такого узла использовать узел с нулевым потенциалом. Тогда приходим к узловой матрице А (редуцированной матрице), которая может быть получена из матрицы Aн путем вычеркивания строки, относящейся к заземленному узлу. Например, при вычеркивании строки “ 2” получим 1 2 3 4 5 6 1 A= 3 4 Число строк матрицы А равно числу независимых уравнений для первого закона Кирхгофа. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 115
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Первый закон Кирхгофа в матричной форме записи имеет вид: АI=О где вектор-столбец токов ветвей O - нулевая матрица-столбец. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 116
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Контурная матрица Элемент bij матрицы В равен 1, если ветвь j входит в контур i и ее ориентация совпадает с направлением обхода контура, -1, если не совпадает с направлением обхода контура, и 0, если ветвь j не входит в контур i. Матрицу В, записанную для главных контуров, называют матрицей главных контуров. За направление обхода контура принимают направление ветви связи этого контура. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 117
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Для рассматриваемого примера выберем в качестве покрывающего дерево, образованное ветвями 1 -2 -3 1 1 3 4 2 II I 2 4 5 3 III 6 Граф схемы с главными контурами Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 118
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Составим матрицу главных контуров В. 1 2 3 4 5 6 I B= II III Введем вектор-столбец напряжений ветвей Второй закон Кирхгофа в матричной форме: BU = O Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 119
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Матрица сечений Матрица Q , составленная для главных сечений, называется матрицей главных сечений. Элемент qij матрицы Q равен 1, если ветвь входит в i-е сечение и ориентирована согласно направлению сечения (за положительное направление сечения принимают направление ветви дерева, входящей в него), -1, если ориентирована противоположно направлению сечения, и 0, если ветвь j не входит в i-е сечение. 1 1 Q= 2 3 1 3 1 2 3 4 5 6 2 4 S 3 2 4 5 3 S 2 Цуренко Ю. И. 6 Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 120
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Для топологических матриц А, В и Q, составленных для одного и того же графа, выполняются соотношения АВТ= О; QВТ= О, где О – нулевая матрица Зная одну из топологических матриц, по ее структуре можно восстановить остальные. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 121
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Анализ во временной области (динамический анализ). Математическая модель во временной области пассивного фильтра нижних частот (изменение во времени напряжения на выходе фильтра). RCd. Ua/dt + Ua = Ue Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 122
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training С математической точки зрения численное решение на отрезке [a, b] задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка y' = f(x, y), y(a) = y 0 состоит в построении таблицы приближенных значений y 0, y 1, . . . , yi, . . . y. N решения y(x) в узлах сетки. Если xi = a+ i h, h=(b-a)/ N, то сетка называется равномерной. При временном анализе в качестве переменной х используется время. Численный метод решения задачи Коши называется одношаговым, если для вычисления решения в точке x 0 + h используется информация о решении только в точке x 0. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 123
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Метод Эйлера. В методе Эйлера величины yi вычисляются по формуле yi+1 = yi + h f(xi , yi), i = 0, 1, . . . Пример. Найдем методом Эйлера решение уравнения при следующих начальных условиях: t=0, U=1. Аналитическое решение этого уравнения с учетом заданных начальных условий имеет вид: Шаг сетки (шаг интегрирования) возьмем равным t=0, 1. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 124
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Расчетные выражения t 0=0, U 0= 1, t i+1 = t i + 0. 1, Ui+1 = Ui + 0. 1(2 t 2 i + 2 Ui). t i Точное решение 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 …… 1, 0 Цуренко Ю. И. Ui 1, 2000 1, 4420 1, 7348 2, 1041 …. 7, 0472 1, 2221 1, 4997 1, 8432 2, 2783 ……. 8, 5836 Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 125
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Метод Рунге-Кутта четвертого порядка yi+1 = yi + h (k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4)/6 , i = 0, 1, . . . k 1 = f(xi , yi), k 2 = f(xi+h/2, yi+hk 1/2), k 3 = f(xi+h/2, yi+hk 2/2), k 4 = f(xi+h, yi+hk 3) Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 126
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Пример. Решим методом Рунге-Кутта 4 -го порядка предыдущую задачу. t i 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 …… 1, 0 Цуренко Ю. И. Ui 1, 2221 1, 4997 1, 8432 2, 2783 …. 8, 5834 Точное решение 1, 2221 1, 4997 1, 8432 2, 2783 ……. 8, 5836 Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 127
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Для практической оценки погрешности проводят вычисления с шагами h и h/2. За оценку погрешности решения, полученного с шагом h/2, принимают величину, равную где p - порядок метода, yi(h) - приближенное решение, вычисленное с шагом h, y 2 i(h/2) - приближенное решение, вычисленное с шагом h/2. Для метода Рунге-Кутта 4 порядка точности оценка погрешности может быть получена по выражению max|y 2 i(h/2) - yi(h) |/15. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 128
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Анализ процессов в проектируемых объектах на макроуровне в частотной области Для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений справедливо применение преобразования Фурье для сведения дифференциальных уравнений к алгебраическим, в котором оператор d/dt заменяется на частоты j . Пара взаимных преобразований Фурье (прямое и обратное) имеет вид: A(j ) - частотная характеристика анализируемой системы, h(t) – импульсная характеристика (реакция системы на единичный импульс – импульс единичной площади). Ship Design 129 Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Для импульсных сигналов используется дискретное преобразование (в том числе и быстрое) Фурье прямое и обратное. , k=0, N-1 , n=0, N-1 Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 130
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training ТЕМА 9. Анализ чувствительности, точности и статистический анализ. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 131
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Абсолютный коэффициент чувствительности i-го выходного параметра yi к j-му входному параметру xj равен при номинальных значениях входных параметров. Относительный коэффициент чувствительности определяется по выражению xjo и yi 0 – номинальные значения параметров. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 132
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Пример. Мощность, рассеиваемая резистором может быть рассчитана по формуле P=U 2/R. Номинальное значение напряжения 1 В, сопротивления резистора – 10 Ом. Определить относительные и абсолютные коэффициенты чувствительности мощности к изменению приложенного напряжения и сопротивления. Au= 0, 2 В/Ом; AR= -0, 01 В 2/Ом 2 Bu=2; BR= -1 Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 133
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Анализ точности. Уравнение погрешности. Выходной параметр изделия или технологического процесса представляет собой функцию от параметров входящих в это устройство элементов: Возьмем полный дифференциал и, перейдя к конечным приращениям, получим - уравнение для абсолютной погрешности Уравнение для относительной погрешности Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 134
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Метод наихудшего случая оценки точности Рассмотрим суть метода на примере абсолютных отклонений. При определении коэффициентов чувствительности часть из них будет положительна, а часть - отрицательна. Пусть Ai 0 ; Ai 0 Наихудшие отклонения выходных параметров Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 135
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Пример. Для примера с определением коэффициентов чувствительности оценим предельную относительную погрешность мощности при погрешности измерения напряжения +4% -2% и погрешности сопротивления 10%. Уравнение относительной погрешности Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 136
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Статистический анализ Принцип генерирования значения случайной величины F(x) 1 yi xi x Если требуется равномерно распределенная величина в интервале (a; b), то, используя распределение в интервале (0; 1), случайную величину можно пересчитать по следующему выражению: Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 137
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Для экспоненциального закона распределения где yi – значения равномерно распределенной случайной величины в интервале от 0 до 1. Для нормального закона распределения где M(x) – математическое ожидание распределения независимой случайной величины x; x - среднеквадратичное отклонение случайной величины x, m – параметр, задающий точность вычисления (практически принимает значения от 5 до 15), yi – значения равномерно распределенной случайной Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 138 величины в интервале от 0 до 1.
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training ТЕМА 10. Виды моделей данных в САПР. Реляционные модели данных. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 139
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Иерархическая модель данных Пример – система резервирования билетов Пассажир Пункт назначения Рейс Цуренко Ю. И. Рейс Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 140
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training К основным недостаткам иерархических моделей данных следует отнести: неэффективность реализации отношений типа многие ко многим, медленный доступ к сегментам данных нижних уровней иерархии, четкая ориентация на определенные типы запросов. В сетевой модели для сегментов данных допускается несколько входных сегментов наряду с возможностью наличия сегментов без входов с точки зрения иерархической структуры. Графическое изображение структуры связей сегментов такого типа моделей представляет собой сеть. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 141
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Реляционная модель ориентирована на организацию данных в виде двумерных таблиц. Операции в реляционной модели В реляционных БД основными операциями над таблицами являются: • обычные традиционные операции над множествами (объединение, пересечение, разность, декартово пересечение, деление) • специальные реляционные операции (проекции, соединения, выбора) Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 142
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Объединение Результат Фамилия Возраст Иванов 20 Фамилия Возраст Петров 19 Иванов 20 Сидоров 27 Петров 19 Семенов 22 Сидоров 27 Котов 21 Семенов 22 Котов 21 Яковлев 23 Фамилия Возраст Иванов 20 Сидоров 27 Яковлев 23 Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 143
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Пересечение Фамилия Возраст Иванов 20 Сидоров 27 Разность Фамилия Петров 19 Семенов 22 Котов Цуренко Ю. И. Возраст 21 Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 144
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Декартово произведение ФИО Дата Иванов СУБД 10. 01. 14 Иванов ОС 21. 01 Петров СУБД 10. 01 Петров ОС 21. 01 Сидроров СУБД 10. 01 Сидроров Цуренко Ю. И. Предмет ОС 21. 01 Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 145
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Проекция Фамилия Возраст Группа Иванов 20 231 Петров 19 122 Сидоров 27 231 Семенов 22 133 Котов 22 133 Проекция выполнена на атрибуты Возраст и Группа. Возраст 20 231 19 122 22 133 27 Цуренко Ю. И. Группа 231 Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 146
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Соединение. В качестве атрибута для соединения выбран код студента Код студента Фамилия 3 Иванов 131 12 Петров 123 14 Цуренко Ю. И. Группа Сидоров 321 Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 147
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Типы связей (отношений) между таблицами “один – к одному” ”один–ко-многим” “многие-к-одному” “многие-ко-многим” Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 148
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Первая нормальная форма Н_СО ТР ФАМ Н_ОТ Д ТЕЛ Н_ПРО ПРОЕКТ Н_ЗАДА Н 1 Иванов 1 11 22 33 1 Коммутатор 1 1 Иванов 1 11 22 33 2 Видеоконтроллер 1 2 Петров 1 11 22 33 1 Коммутатор 2 3 Сидоров 2 33 22 11 1 Коммутатор 3 3 Сидоров 2 33 22 11 2 Видеоконтроллер 2 Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 149
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Вторая нормальная форма Н_СОТР ФАМ Н_ОТД ТЕЛ Н_ПРО ПРОЕКТ 1 Иванов 1 11 22 33 1 Видеоконтроллер 2 Петров 1 11 22 33 2 Коммутатор 3 Сидоров 2 33 22 11 Н_СОТР Н_ЗАДАН 1 1 2 1 2 3 1 3 3 Цуренко Ю. И. Н_ПРО 2 2 Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 150
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Третья нормальная форма Отношение СОТРУДНИКИ_ОТДЕЛЫ декомпозируем на два отношения Н_СОТР ФАМ Н_ОТД 1 Иванов 1 2 Петров 1 3 Сидоров 2 Н_ОТД 1 11 22 33 2 Цуренко Ю. И. ТЕЛ 33 22 11 Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 151
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training ТЕМА 11. Постановка задачи и классификация методов оптимального проектирования. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 152
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Пусть каждый известный вариант решения задачи оптимизации характеризуется многомерным вектором X=(x 1, x 2, x 3…. . xn) В каждой конкретной технической задаче оптимизации множество векторов X, на котором определена целевая функция F(X), всегда ограничено некоторой допустимой областью G. gj(X)=0, j=1, 2…m gi(X) { , } 0, i=1, 2…k Кратко задачу оптимизации можно записать в следующем виде Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 153
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Пример. Необходимо разработать корпус ЭВМ в форме параллелепипеда с объемом не менее 1000 см 3 и минимальной площадью поверхности стенок. Толщину стенок рассматривать не будем. Обозначим через xi размеры параллелепипеда. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 154
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Многокритериальные задачи оптимизации. Метод главного критерия. min F 1(X), при ограничениях F 2(X) F 2 д(X), F 3(X) F 3 д(X), …… Fn(X) Fnд(X), где Fiд(X) - максимально допустимое значение i-го частного критерия. Метод взвешивания критериев оптимизации. i – весовой коэффициент. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 155
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Постановка задачи линейного программирования max(min) Каноническая форма (канонический вид) записи ЗЛП max ; ; Цуренко Ю. И. , , . Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 156
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Задача о назначениях. Пусть имеется n мест на плате для размещения n элементов, причем на каждом месте может быть размещена только одна микросхема . Эффективность размещения i-й микросхемы на j-м месте (например суммарная длина связей). На основании этих данных можно построить квадратную матрицу Требуется так распределить n микросхем на n мест на плате, чтобы сумма эффективностей их размещения была максимальной (для длины связей – была минимальной). Определим некоторую матрицу Цуренко Ю. И. , в которой Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 157
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Математическая модель задачи оптимизации max Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 158
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training В общем случае задача оптимизации решается в K-мерном пространстве. При этом мерность пространства зависит как от числа переменных n, так и от вида ограничений. В случае, если все m ограничений имеют вид неравенств, то K=n. Если все m ограничений имеют вид уравнений, то K=n-m. В случае, если m ограничений - в виде уравнений, а l - в виде неравенств, то K=n+l-m. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 159
Кафедра «Кораблестроение и сварка» Пример Цуренко Ю. И. -Maritime Education & Training max Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 160
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training X 2 X 5=0 X 1 F=0 X 3=0 Цуренко Ю. И. X 4=0 Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 161
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Решение задачи Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 162
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training ТЕМА 12. Симплекс-метод Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 163
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Пример записи ЗЛП в допустимом каноническом виде: ; Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 164
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Найдем все опорные решения для следующей ЗЛП: Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 165
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Опорные решения N F 1 0 10 18 0 2 0 5 0 3 0 9 8 0 4 10 0 0 5 6 0 18 6 Цуренко Ю. И. 0 2 6 0 36 8 25 Недопу стимое 48 Недопу стимое 0 Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 166
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Cтандартная форма ; Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 167
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training ТЕМА 13. Алгоритм симплекс-метода. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 168
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Для пересчета значений элементов симплекс-таблицы после смены базиса введем в симплекс таблице следующие обозначения: x 1 F Своб. член 11 12 1 l xi+1 22 2 l . . xn k 1 k 2 Цуренко Ю. И. x 2 . . . xi . . . kl Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 169
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training С учетом того, что rp - разрешающий элемент (r, q - строка, p, s - столбец) при q=r; s=p, (для разрешающего элемента) при q=r; s при q p, (разрешающая строка) r; s=p; (разрешающий столбец) для остальных элементов Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 170
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Запишем ранее рассмотренную задачу в стандартной форме: Cв. чл. F 12 X 3 12 X 4 6 X 5 2 Цуренко Ю. И. X 1 X 2 3 4 2 1 4 3 3 2 Cв. чл. F 8 X 3 9 X 4 3 X 2 1 X 5 5 11/2 -7/2 1/2 2 3/2 1/2 Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 171
Кафедра «Кораблестроение и сварка» Cв. чл. F 26/7 X 4 10/7 -Maritime Education & Training X 3 X 5 10/11 7/11 X 4 30/11 7/11 6/11 X 5 1/7 F Cв. чл. 2/11 X 3 30/7 11/7 6/7 X 1 6/7 2/7 3/7 X 1 18/11 2/11 3/11 X 2 10/7 1/7 2/7 X 2 20/11 1/11 4/11 F=2/11; =30/11; Цуренко Ю. И. =18/11; =20/11; =0. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 172
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training ТЕМА 14 Постановка задачи целочисленного программирования Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 173
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Постановка задачи целочисленного программирования. max(min) , , Цуренко Ю. И. ( ; ), xj – целые числа. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 174
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Метод ветвей и границ На основании полученного решения составляются дополнительные к исходной задаче ограничения и где [xj] - целая часть нецелочисленного значения переменной в оптимальном решении. Пример. Найти максимум F=7 x 1 + 3 x 2 max 5 x 1 + 2 x 2 20 8 x 1 + 4 x 2 38; xj 0, целочисленные Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 175
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Дерево решений Зад. 1 x 1=1 ; x 2=7, 5 F=29, 5 x 2 7 x 2 8 Зад. 2 x 1=1, 2 ; x 2=7 F=29, 4 x 2 1 Зад. 4 x 1=1 ; x 2=7 F=28 Цуренко Ю. И. x 2 2 Зад. 5 x 1=2 ; x 2=5 F=29 Зад. 3 x 1=0, 75 ; x 2=8 F=29, 25 x 2=0 Зад. 6 x 1=0 ; x 2=9, 5 F=28, 5 x 2 1 Зад. 7 Несовместность ограничений. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 176
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training ТЕМА 15. Нелинейное программирование. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 177
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Методы одномерного поиска оптимального решения Метод дихотомии. k-я итерация. Если bk - ak l , то x*=(ak+ bk)/2. a 1 1 1 b 1 l -длина интервала неопределенности. В противном случае Если F( k)<F( k), положить ak+1= ak; bk+1= k. В противном случае ak+1= k Цуренко Ю. И. и bk+1=bk. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 178
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Метод золотого сечения. Предварительный этап. Выбрать допустимую конечную длину интервала неопределенности l>0. Пусть [a 1, b 1] - начальный интервал неопределенности. Положить 1=a 1+(1 - )( b 1 - a 1) и 1=a 1+ ( b 1 - a 1), где =0, 618. Вычислить F( 1) и F( 1), положить k=1, и перейти к основному этапу. Основной этап. Шаг 1. Если bk - ak l , то вычисления заканчиваются x*=(ak+ bk)/2. В противном случае, если F( k)>F( k), то перейти к шагу 2, если F( k), перейти к шагу 3. Шаг 2. Положить ak+1= k, bk+1=bk, k+1= k, k+1= ak+1+ ( bk+1 – ak+1). Вычислить F( k+1), перейти к шагу 4. Шаг 3. Положить ak+1= ak, bk+1= k , k+1= ak+1+(1 - )( bk+1 – ak+1). Вычислить F( k+1). Шаг 4. Присвоить k=k+1, перейти к шагу 1. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 179
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Пример. Найти min F(x)=(x 2+2 x) при условии -3 x 5. Зададим l=0, 2. k ak bk k k F( k) 1 3 5 0, 056 1, 944 0, 115 7, 667 2 3 1, 944 1, 112 0, 056 0, 987 0, 115 3 3 0, 056 1, 832 1, 112 0, 308 0, 987 4 1, 832 0, 056 1. 112 0, 664 0, 987 0, 887 5 1, 832 0, 664 1, 384 1, 112 0, 853 0, 987 6 1, 384 0, 664 1, 112 0, 936 0, 987 0, 996 7 1, 384 0, 936 1, 208 1, 112 0, 957 0, 987 8 1, 208 0, 936 1, 112 1, 032 0, 987 0, 999 9 1, 112 0, 936 Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 180
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Метод Гаусса-Зайделя (покоординатного спуска) (xi)k+1= (xi)k i где (xi)k+1 - новая координата по i-ой переменной; (xi)k – текущая координата по i-ой переменной; i - длина шага изменения координаты по i-ой переменной. Критерий остановки поиска |F(Xk+1)-F(Xk)|<. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 181
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Градиент многомерной функции Координаты точки при поиске минимума вычисляются по выражению: где k - длина (параметр) шага на k-ой итерации вдоль антиградиента Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 182
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Варианты остановки процесса поиска оптимума: 1. По разности значений целевой функции 2. По величине нормы 3. По величине изменения шага Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 183
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Пример. Найти минимум целевой функции градиентным методом с постоянным шагом F(X)=(x 1 -2)2+( x 1 -2 x 2)2 Выбираем шаг k=0, 05. Начальная точка X 1=[0; 3]T k Xk F(Xk) F/ xk Xk+1 F(Xk+1) 1 [0; 3] 40, 0 [ 16; 24] [0, 8; 1, 8] 9, 28 2 [0, 8; 1, 8] 9, 28 [ 8; 11, 2] [1, 2; 1, 24] 2, 28 3 [1, 2; 1, 24] 2, 28 [1, 41; 0, 98] 0, 65 Цуренко Ю. И. [ 4, 16; 5, 12] [4, 16; 5, 12] Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 184
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Метод наискорейшего спуска F(Xk+1)=F(Xk- k. Sk)=min F( k) k>0 Sk= F(X); Пример. min. F(x 1, x 2)=2 x 12 + 4 x 23 – 3 F(X)=[ 4 x 1; 12 x 22]. Пусть точка Xk=[2, 0; 1, 0], тогда - F(X)=[ -8; -12] F(Xk- k. Sk)=2(2 -8 )2+4(1 -12 )3 -3. Необходимо найти , доставляющее минимум данной функции. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 185
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training ТЕМА 16. Решение задачи условной оптимизации в нелинейном программировании. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 186
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Использование градиентного метода при наличии ограничений. Рассмотрим задачу поиска минимума для ограничений вида gi(X) 0. Если хотя бы одно из ограничений нарушено, то дальнейший поиск ведется следующим образом: а) для всех gi(X), которые стали положительными, составляется новый комплексный критерий где m – число нарушенных ограничений. б) вычисляется grad H, так же, как и для F(X). в) делается шаг в направлении -grad Н до тех пор, пока все gi(X) не станут отрицательными (не войдем в ОДР). Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 187
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training x 2 g 1(X) X 3 X 1 X 2 X 0 g 2(X) x 1 Траектория движения при поиске экстремума Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 188
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Методы штрафных функций. Оптимизацию проводят по новому критерию - штрафная функция, r – параметр штрафа Часто штрафная функция строится по следующему правилу m - число ограничений, f - некоторая функциональная зависимость. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 189
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training В методах внешней точки Штрафной параметр в этом методе rk+1= rk, >1, k - номер решения задачи безусловной оптимизации. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 190
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training В методах внутренней точки rk+1= rk, <1 Критерии остановки методов штрафной функции: по величине штрафной функции, по величине шага по хi. Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 191
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Алгоритм методов штрафных функций. Пусть необходимо найти минимум F(X) при ограничениях gi(X) 0. Выбрать 1 > 0 и 2 > 0 начальную точку X 1 Выбрать параметр штрафа r 1(можно принять равным единице) и коэффициент (для метода барьерных поверхностей =0, 1; для метода внешней точки =10). Шаг 1. При начальной точке Xk решают задачу Положить Xk+1 равным оптимальному решению этой задачи и перейти к шагу 2. Шаг 2. Если и то остановиться. В противном случае rk+1= rk, присвоить Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design k=k+1 и перейти к шагу 1. 192
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Для метода внешней точки при наличии дополнительно l ограничений в виде равенств gj(X)=0, j=1, l штрафная функция должна быть записана в виде Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 193
Кафедра «Кораблестроение и сварка» -Maritime Education & Training Пример. Решить методом внешней точки следующую задачу. при В качестве метода безусловной оптимизации будем использовать классический метод. x 1=2 x 2 x 1=2/3 Цуренко Ю. И. Автоматизация проектирования корабля/ Ship Design 194
Скачать презентацию Кафедра Кораблестроение и сварка -Maritime Education Training
001-Мат_методы проектирования.ppt