Кафедра информатики УГАТУ Примеры математических моделей инженерных задач

Кафедра информатики УГАТУ Примеры математических моделей инженерных задач

Кафедра информатики Математическая модель УГАТУ Определение. Математическая модель – это множество элементов произвольной природы, на которых определено конечное множество отношений. M={m 1, m 2, …} множество элементов в математической модели не конкретизируется характер (или природа) элементов множества и, кроме того, оно может содержать бесконечное количество элементов. Например, множество вещественных чисел, на которых определено отношение a>b. R={R 1, R 2…Rn} – множество отношений между ними. Число отношений конечно. Характер отношений между элементами множеств определяется свойствами, которыми элемент может обладать или, наоборот, не обладать, что позволяет установить наличие или отсутствие указанного отношения. Отношения могут носить парный (бинарный) и непарный характер. Для описания математической модели используются языковые и графические средства. Язык описаний может быть формализованным (например, язык математических формул) или естественным. Графическая форма обеспечивает удобство общего обзора модели, однако, эта наглядность проявляется только в случае бинарных отношений.

Кафедра информатики Пример графовой модели УГАТУ Пример 1. Рассмотрим графовую форму модели, соответствующей следующему словесному описанию: “А учится в одной группе с В и С, но не с Д и Е, которые учатся в другой группе”. Здесь M={A, B, C, D, E}, R={R 1=”учиться в одной группе”}. Вершинами графа являются элементы множества M, а его ребрами – отношения

Кафедра информатики Пример графовой модели УГАТУ Пример 2. Модель, отображающая группы крови и их совместимость изображена с помощью ориентированного графа Пример 3. Информация о дорогах между четырьмя населенными пунктами изображена с помощью взвешенного (размеченного) графа.

Пример математической модели Кафедра информатики УГАТУ Расчетные задачи Задача 1. Шар массой m=0, 2 кг удерживается двумя нитями, прикрепленными к потолку и стене. Одна нить горизонтальна, а другая составляет угол b=60° с потолком. Найти силы натяжения нити. Математическая постановка задачи 1 (или математическая модель задачи) будет следующей: Вычислить при заданных значениях b=60°, m=0, 2 кг (g=9, 81 м/сек 2) 5

Пример математической модели Кафедра информатики УГАТУ Расчетные задачи Задача 2. Определить путь, пройденный автомобилем , двигавшемся от момента времени t=a до момента времени t=b (a≤b) со скоростью v(t) при условии, что движение автомобиля неравномерно. Математическая постановка задачи 2 (или математическая модель задачи) будет следующей: Вычислить где v(t) – непрерывная функция, на отрезке [a, b] 6

Пример математической модели Кафедра информатики УГАТУ Интерполяция функций Задача 3. Имеются следующие данные измерения температуры воздуха в продолжении дня: Определить, какой была температура воздуха в 9 часов, 12 часов 30 минут, в 15 часов 15 минут. Математическая постановка задачи 2 (или математическая модель задачи) будет следующей: Пусть известны значения некоторой функции f(x) в 6 точках yi=f(xi), i =0… 5. Построить интерполяционный полином n -й степени L(x). 7

Пример математической модели Кафедра информатики УГАТУ Интерполяция функций С помощью полученного полинома можно будет восстановить функцию в любой точке, принадлежащей отрезку [x 0, x 5]. Исходным данным в задаче 3 являются значения (xi, yi), соответствующие координатам известных точек T(t) (зависимости температуры от времени). Результирующими – коэффициенты полинома 6 степени, описывающего эту функциональную зависимость 8

Пример математической модели Кафедра информатики УГАТУ Интерполяция функций Дальнейшая работа с полученным полиномом может рассматриваться как расчетная задача, предполагающая вычисление значения интерполирующей функции в любой точке интервала [x 0, x 5] Возможно вычисление значения интерполирующей функции в точках, находящихся за пределами интервала [x 0, x 5]. В этом случае решается задача экстраполяции. 9

Пример математической модели Кафедра информатики УГАТУ Аппроксимация функции Задача 4. Испытания триода показали, что при значениях напряжения между сеткой и катодом U 1, U 2, …, Un анодный ток имеет величину I 1, I 2, …, In. Определить значение величины тока при значении напряжения Uk По этим результатам видно, что зависимость между U и I близка к линейной вида y=kx+b. Ввиду погрешности эксперимента нельзя рассчитывать на то, что для каких-либо конкретных k и b будут с абсолютной точностью выполнены все равенства Ii= k. Ui+ b (i=1…n) Близость исходной функции и аппроксимирующей функции определяется числовой мерой – критерием аппроксимации. Математическая постановка задачи 4 будет следующей: 1. по известным значениям функции (xi, yi) i=1…n построить линейную аппроксимирующую функцию 2. известны значения функции (xi, yi) i=1…n и погрешность ε. Получить аппроксимирующую функцию с погрешностью, не меньше заданной 10

Пример математической модели Кафедра информатики УГАТУ Решение трансцендентных уравнений Задача 5. В процессе конструирования некоторого механизма, нужна имеющая форму кругового сегмента деталь известной площади S. Рассчитать величину центрального угла x кругового сегмента заданного радиуса R. Математическая постановка задачи 5 (или математическая модель задачи) будет следующей: Найти корень уравнения , где значения S, R и точности ε - заданы 11

Пример математической модели Кафедра информатики УГАТУ Решение систем линейных уравнений Задача 6. Квадратная металлическая пластинка является деталью некоторого устройства. Во время работы устройства во всех точках края пластины поддерживается определенная температура. Пластина расчерчена в виде сетки с квадратными ячейками. Распределение температуры в принадлежащих к краю узлах сетки задано. Из физических законов, описывающих процесс переноса тепла, следует, что при достаточно малой длине стороны ячейки сетки можно считать температуру в каждом внутреннем узле сетки равной среднему арифметическому температур в ближайших четырех узлах (принадлежащих краю или внутренних). Требуется вычислить распределение температур во всех внутренних узлах. 12

Пример математической модели Кафедра информатики УГАТУ Решение систем линейных уравнений Из физических законов, описывающих процесс переноса тепла, следует, что при достаточно малой длине стороны ячейки сетки можно считать температуру в каждом внутреннем узле сетки равной среднему арифметическому температур в ближайших четырех узлах (принадлежащих краю или внутренних). 13

Пример математической модели Кафедра информатики УГАТУ Решение систем линейных уравнений Пронумеровав интересующие нас внутренние точки и соответственно обозначив температуру в них как t 1, …t 9, запишем для каждой из них соотношения. Для первой точки оно будет следующим: получим следующую систему линейных уравнений 14

Пример математической модели Кафедра информатики УГАТУ Решение систем линейных уравнений Математическая постановка задачи 6 (или математическая модель задачи) будет следующей: Решить систему линейных уравнений AX=B, где 15

Пример математической модели Кафедра информатики УГАТУ Решение дифференциальных уравнений Задача 7. Определить температуру тела в момент времени t=t 2, если известно, что в момент времени t=t 1 она составляла С 1, температура воздуха зависит от времени следующим образом коэффициент теплоотдачи, определяемый свойствами тела α=0, 17. Данный физический процесс описывается дифференциальными уравнениями, составленными исходя из того, что согласно закону излучения тепла скорость изменения температуры тела в воздухе пропорциональна разности между температурой воздуха и тела Математическая постановка задачи 7 (или математическая модель задачи) будет следующей: Решить дифференциальное уравнение , где при начальных условиях x(t)=C 1. 16

Пример математической модели Кафедра информатики УГАТУ Оптимизационные задачи Методы оптимизации - поиск критериев оптимизации при наличии ограничений или без ограничений - очень широко используются на практике. Это, прежде всего оптимальное проектирование (выбор наилучших номинальных технологических режимов, элементов конструкций, структуры технологических цепочек, условий экономической деятельности, и т. д. ), оптимальное управление и многие другие аспекты решения экономических и социальных проблем (например, управление запасами, трудовыми ресурсами, транспортными потоками и т. п. ). Существует достаточно большое количество численных методов оптимизации: по размерности решаемой задачи, по способу формирования шага, по наличию ограничений. 17

Пример математической модели Кафедра информатики УГАТУ Оптимизационные задачи Задача 9. Цех имеет в своем распоряжении определенное количество ресурсов: рабочую силу, деньги, сырье, оборудование, производственные площади и т. д. п. Допустим имеются ресурсы трех видов: рабочая сила, сырье и оборудование имеются в количестве соответственно 80 (чел/дней), 480(кг), и 130(станко/час). Цех может выпускать детали 4 видов. Информация о количестве единиц каждого ресурса необходимых для производства одной детали каждого вида и дохода, получаемых цехом от единиц каждого вида детали, приведены в таблице Требуется найти такой план выпуска продукции, при котором общая стоимость выпущенной продукции будет максимальной 18

Пример математической модели Кафедра информатики УГАТУ Оптимизационные задачи Математическая постановка задачи 9 (или математическая модель задачи) будет следующей: Целевая функция- это выражения, которое необходимо максимизировать: При следующих ограничениях: 19

Кафедра информатики Следующая лекция Численные методы УГАТУ