Кафедра информационных технологий и связи

Кафедра информационных технологий и связи Даниловская Л. Я. Виды комбинаций Учебно-методическое пособие для проведения практических занятий Хабаровск 2010

Содержание • Перестановки (без повторений) • Перестановки (с повторениями) • Сочетания (без повторений) • Сочетания (с повторениями) • Размещения (без повторений) • Размещения (c повторениями)

Перестановки (без повторений) - это такие комбинации из n-го количества различных элементов, в которых количество элементов остается равным n, а порядок их меняется различными способами. содержание

Например: Сколько перестановок можно составить из цифр 5, 8, 9? 5 8 9 Объектов всего 3 (n=3) Все, больше комбинаций нет! 1) 5 8 9 Воспользуемся формулой для расчета возможного количества перестановок 2) 8 5 9 (без повторений): 3) 9 8 5 4) 5 9 8 5) 8 9 5 6) 9 5 8 содержание

Перестановки (с повторениями) - это такие комбинации из n-го количества элементов (в том числе и повторяющихся), в которых количество элементов остается равным n, а порядок их меняется различными способами. n – общее количество элементов; n 1, n 2…nk – количество повторяющихся элементов. содержание

Например: Сколько перестановок можно составить из букв слова ОБОИ? В слове 4 буквы, следовательно n=4, но буква О повторяется дважды. Очевидно, что от перестановки этих двух букв местами комбинация не изменится. Буквы переставлены, О Б О И но получен тот же вариант Количество О Б О И элементов n=4 Учтем этот факт и воспользуемся формулой для расчета количества перестановок с повторениями Количество повторений элемента, в данном случае Всего букв n=12. буква О повторяется Буква П повторяется дважды, а буква Е - трижды Еще пример! Дано слово ПРЕСТУПЛЕНИЕ. Подсчитаем количество перестановок из букв данного слова: содержание

Сочетания (без повторений) - это все возможные комбинации (группы) из n различных элементов по m в каждой группе (m≤n), которые отличаются друг от друга только составом элементов (группы отличаются друг от друга хотя бы одним элементом). содержание

Например: Сколько сочетаний, взятых по два, можно составить из трех разных элементов? Воспользуемся формулой для расчета количества сочетаний 1) из трех разных элементов, группируя 2) Объясняю! их по два. Все, 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 ∙ 8 нет! 8! = больше комбинаций Всего элементов 3 3) (n=3). В группу Это 5! выбираем по 2 В сочетании важен только набор элементов, ∙ 8. Следовательно: 8! = 5! ∙ 6 ∙ 7 элемента (m=2) Делаем это для того, чтобы последовательность, в которой они были выбраны, сократить с 5! в знаменателе не важна. То есть не важно взяли мы набор в такой (которые получаем последовательности: , или в такой: вычитания в скобках). Это один и тот же набор! Еще пример! Посчитаем количество сочетаний, которые можно составить из 8 ( n=8) разных элементов, группируя их по 3 (m=3) элемента.

Сочетания (с повторениями) - это все возможные комбинации (группы) из n различных элементов по m в каждой группе (m - любое), любое причем допускается повторение одного элемента несколько раз (группы отличаются друг от друга хотя бы одним элементом). содержание

Например: В учебную группу выдали три пачки ручек (три разных вида). Каждому курсанту предложили выбрать себе по две ручки. Сколько существует вариантов выбора? В этом случае разрешаются повторения, т. е. 1) 4) курсант может выбрать как две разные, так и две одинаковые ручки из трех предложенных видов (n=3, m=2). 2) 5) 3) 6) Важен только набор, последовательность выбора не важна! Воспользуемся формулой для 2 расчета количества сочетаний с повторениями: Еще пример! Посчитаем количество 5 сочетаний с повторениями, которые можно составить из 10 ( n=10) элементов, группируя их по 2 (m=2) элемента.

Размещения (без повторений) - это все возможные комбинации (группы) из n различных элементов по m в каждой группе (m≤n), которые различаются между собой как составом элементов, входящих в группы, так и их порядком. содержание

Например: Сколько двухзначных чисел можно составить из набора цифр 1, 2, 3? Воспользуемся 1) 12 4) 31 1 2 3 формулой для расчета 2) 21 5) 23 количества размещений из трех 3) 13 6) 32 Все, больше комбинаций нет! разных элементов группируя их по два. В размещении важен набор элементов и Всего элементов 3 последовательность выбора! В частности, в этом (n=3). В группу примере 21 и 12 это разные комбинации (два выбираем по 2 разных числа), хотя и состоят из одинакового элемента (m=2) набора цифр. Еще пример! Сколько кодовых сигналов для передачи информации можно составить из 7 разноцветных флажков (n=7), группируя их по 3 (m=3)? В этой задаче важен не только цвет флажков, взятых в набор, но и последовательность их показа (т. к. именно последовательность цветов кодирует сигнал).

Размещения (c повторениями) - это все возможные комбинации (группы) из n различных элементов по m в каждой группе (m - любое), любое которые различаются между собой как составом элементов, входящих в группы, так и их порядком, в которых также допускается повторение элементов. содержание

Например: Сколько трехзначных чисел можно составить из набора цифр 1, 2, 3, 4, разрешив их повторение в наборе? Так как в отличие от сочетаний, в размещении важен не только набор элементов, но и их порядок, то взяв в набор, например, цифры 1, 1 и 4, мы сможем составить из них три разных числа 114, 141, 411. Общее количество трехзначных чисел, которые можно составить из данного набора цифр (разрешая их повторение) рассчитывается по формуле размещений с повторениями, где n=4, m=3: содержание

Проверьте себя! Задача 1. В лотерее 30 билетов. Сколько существует вариантов взять по 3 различных билета? Формулу для расчета какого вида комбинации надо использовать? Сочетаний Размещений Перестановок Следующая задача содержание

Задача 2. Сколькими способами можно рассадить семерых гостей за праздничным столом? Формулу для расчета какого вида комбинации надо использовать? Сочетаний Размещений Перестановок Следующая задача содержание

Задача 3. Даны цифры 2, 5, 6, 9. Сколько двухзначных чисел можно составить из данного набора цифр при условии, что цифры в числе различны? Формулу для расчета какого вида комбинации надо использовать? Сочетаний Размещений Перестановок Следующая задача содержание

Задача 4. Набирая номер телефона, абонент забыл три последние цифры. Из какого количества номеров он может угадать забытый номер? Формулу для расчета какого вида комбинации надо использовать? Сочетаний Размещений Перестановок Следующая задача содержание

Задача 5. Сколько перестановок можно составить из букв слова КУРС? 8 24 16 Следующая задача содержание

Задача 6. Сколько перестановок можно составить из букв слова ОКО? 1 2 3 Следующая задача содержание

Задача 7. Сколько различных списков дежурных из 6 человек можно составить в группе из 15 человек? Формулу для расчета какого вида комбинации надо использовать? Следующая задача содержание

Задача 8. Дано слово ПРАВО. Сколько комбинаций можно составить из букв данного слова, беря по 3 буквы? Формулу для расчета какого вида комбинации надо использовать? Следующая задача содержание