Кафедра физики ЛЕКЦИЯ 5 12 октября 2012 г. ПЛАН ЛЕКЦИИ Примеры решения квантовых задач: - движение свободной частицы. - частица в одномерной глубокой потенциальной яме; - Прохождение частицы через потенциальный барьер. . Туннельный эффект. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 1
Кафедра физики ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КВАНТОВЫХ ЗАДАЧ Рассмотрим некоторые простейшие стационарные задачи квантовой механики, связанные с решением уравнения Шредингера в разных потенциальных полях. Движение свободной частицы Свободная частица – это частица, движущаяся в отсутствие внешних полей. Рассмотрим одномерный случай. Пусть частица движется вдоль оси x. На свободную частицу силы не действуют, потенциальная энергия частицы и ее можно принять равной нулю. Тогда полная энергия совпадает с ее кинетической энергией. Вид уравнения Шредингера: Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 2
Кафедра физики ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КВАНТОВЫХ ЗАДАЧ Движение свободной частицы Введем обозначение С учетом этого обозначения перепишем уравнение в виде: Получили стандартное однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Это уравнение известно нам из теории гармонических колебаний. Решение уравнения гармонических колебаний имеет вид: Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 3
Кафедра физики ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КВАНТОВЫХ ЗАДАЧ Движение свободной частицы Решение удовлетворяет стандартным ограничительным условиям для пси–функции при любых значениях k и х: конечность, однозначность, непрерывность. Вывод: частица может иметь любые возможные значения энергии: K - волновое число. Итак, свободная частица имеет непрерывный спектр энергии. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 4
Кафедра физики ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КВАНТОВЫХ ЗАДАЧ Частица в одномерной бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме. Задача: найти собственные значения энергии и соответствующие им собственные функции для частицы, находящейся в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Потенциальная яма - это такая область пространства, в которой потенциальная энергия частицы достигает локального минимума. U U= Одномерный случай: частица движется только вдоль оси х. U= Пусть движение ограничено непроницаемыми для частицы отвесными стенками с координатами х = 0 и х = l. 0 l x Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 5
Кафедра физики ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КВАНТОВЫХ ЗАДАЧ Частица в одномерной бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме. Вид потенциальной энергии: U = 0 при 0 ≤ х ≤ l ; U= при х 0 и х l. Вид уравнения Шредингера: U U= За пределы потенциальной частица попасть не может. U= ямы Поэтому вероятность обнаружения частицы вне ямы равна нулю. 0 l x Следовательно, за пределами ямы Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 6
Кафедра физики ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КВАНТОВЫХ ЗАДАЧ Частица в одномерной бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме. Функция должна быть непрерывной, следовательно, она должна быть равна нулю и на границах ямы: Этому условию должны удовлетворять решения уравнения Шредингера. U U= 0 В области х 0 и х l уравнение Шредингера имеет вид: U= l x поскольку в этой области U = 0. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 7
Кафедра физики ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КВАНТОВЫХ ЗАДАЧ Частица в одномерной бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме. Решение - как в предыдущей задаче. U Это уравнение колебаний. Решение: U= и - константы. Определим из граничных условий: 0 l x Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 8
Кафедра физики ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КВАНТОВЫХ ЗАДАЧ Частица в одномерной бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме. Из условия получим: Второе граничное условие - : Это соотношение выполняется только при условии: (n = 1, 2, 3. …). U U= U= (n = 1, 2, 3, …) 0 l x Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 9
Кафедра физики ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КВАНТОВЫХ ЗАДАЧ Частица в одномерной бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме. U U= U= n = 1, 2, 3, … 0 l x Таким образом, стационарное уравнение Шредингера удовлетворяется только при собственных значениях энергии, зависящих от целого числа n. Следовательно, энергия En частицы принимает лишь определенные дискретные значения, т. е. квантуется. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 10
Кафедра физики ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КВАНТОВЫХ ЗАДАЧ Частица в одномерной бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме. Спектр энергии - дискретный. Квантованные значения энергии En - это уровни энергии, а число n, определяющее энергетические уровни частицы, - главное квантовое число. Универсальный принцип природы: всякий n=4 стремится к состоянию с E 4 объект минимальной энергией. n=3 n=2 n=1 E 3 E 2 E 1 Это характерно и для микрочастиц: из возможных стационарных состояний для микрочастицы наиболее предпочтительным является состояние с минимальной энергией. Это состояние наиболее устойчиво. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 11
Кафедра физики ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КВАНТОВЫХ ЗАДАЧ Частица в одномерной бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме. Стационарное состояние с минимальной энергией называется основным состоянием (основным уровнем). Все остальные стационарные состояния уровнем (уровни) называются возбужденными n=4 n=3 n=2 n=1 E 4 E 3 E 2 E 1 Из выражения для энергии видно, что степень дискретности энергии сильно зависит от ширины потенциальной ямы l и массы частицы m. Оценим расстояния между соседними уровнями для различных значений m и l. Разность энергий двух соседних уровней: Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 12
Кафедра физики ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КВАНТОВЫХ ЗАДАЧ Частица в одномерной бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме. n=4 Примерно можно записать: E 4 Если m порядка массы молекулы ( 10 -27 г), а l порядка 10 см (молекулы газа в сосуде), n=3 получается порядка 10 -32 ·n эрг. E 3 Столь густо расположенные энергетические n=2 E 2 уровни будут практически восприниматься как сплошной спектр энергии. n=1 E 1 Поэтому, несмотря на то, что энергия квантована, на характер движения молекул это влиять не будет. Близкий результат получится, если взять m порядка массы электрона при тех же размерах ямы (свободные электроны в металле). Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 13
Кафедра физики ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КВАНТОВЫХ ЗАДАЧ Частица в одномерной бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме. Иной результат получается для электрона, если область, в пределах которой он движется, будет порядка атомных размеров ( 10 -10 м). n=4 n=3 n=2 n=1 E 4 E 3 E 2 В этом случае получается порядка 102 ·n э. В, дискретность энергетических уровней будет заметной. E 1 Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 14
Кафедра физики ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КВАНТОВЫХ ЗАДАЧ Частица в одномерной бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме. Определим собственные значения функции , подставив в уравнение значение k из условия : Коэффициент a определим из условия нормировки ( которое запишем следующим образом: ), (Задача одномерная, интеграл по объему заменен на интеграл по координате х). Результат интегрирования: Собственные значения функции из выражения: Отсюда теперь могут быть определены (n = 1, 2, 3, …) Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 15
Кафедра физики ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КВАНТОВЫХ ЗАДАЧ Частица в одномерной бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме. (n = 1, 2, 3, …) Графики собственных функций - рисунок а). На рисунке б) показана плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от стенок ямы. n=4 n=3 а) n=2 n=1 0 б) n=1 l x Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 0 l x 16
Кафедра физики ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ КВАНТОВЫХ ЗАДАЧ Частица в одномерной бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме. n=4 n=3 а) n=2 n=1 0 б) n=1 l x 0 l x Пример: в состоянии с n = 2 частица не может быть обнаружена в середине ямы и вместе с тем одинаково часто бывает как в левой, так и в правой половинах ямы. Такое представление частицы несовместимо с представлением о траекториях. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 17
Кафедра физики ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦЫ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР Определения. Область пространства, в которой на частицу действует тормозящая сила и потенциальная энергия увеличивается, называется потенциальным барьером. Разность потенциальных энергий частицы на границах потенциального барьера называется высотой потенциального барьера. U U 0 0 Пусть частица движется слева направо по оси x и встречает на своем пути прямоугольный потенциальный барьер высотой U 0 и шириной l. l x Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 18
Кафедра физики ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦЫ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР Классические представления о поведении частицы. 1. E > U 0. Частица беспрепятственно проходит над барьером. E 0 ≤ х ≤ l. Скорость частицы уменьшается; х > l - скорость частицы постоянна. U U 0 0 l x 2. E < U 0. Частица отражается от барьера и летит в обратную сторону. Сквозь барьер частица проникнуть не может. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 19
Кафедра физики ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦЫ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР Поведение частицы в квантовой механике. 1. E > U 0. Имеется ненулевая вероятность того, что частица отразится от барьера и полетит в обратную сторону. E U 2. E<U 0. Частица может проникнуть через барьер и оказаться в области х U 0 > l. Покажем это. 0 l Пусть E<U 0. x для областей I и III; III - для области II. II Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 20
Кафедра физики ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦЫ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ U БАРЬЕР U 0 - для областей I и III E I II III l 0 Введем обозначения: - для области II x С учетом этих обозначений: Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 21
Кафедра физики ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦЫ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ U БАРЬЕР U 0 E I II 0 l x Как решить эти уравнения? Записанные уравнения – это линейные дифференциальные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Заглянуть в соответствующий раздел курса «Элементы математического анализа» ! Такие уравнения решают методом подстановки. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 22
Кафедра физики ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦЫ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ U БАРЬЕР U 0 E I II III x 0 l Решение уравнений записывается в виде постоянная величина. , где - Итог - решения уравнений для трех выделенных областей : Нужно найти значения констант А 1 , А 3 , В 1 , В 2. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 23
Кафедра физики ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦЫ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР Константы определяются «сшиванием» уравнений на границах областей с помощью граничных условий: пси-функция должна удовлетворять условию ограниченности, непрерывности, не иметь изломов, т. е. должна быть гладкой. Эта задача решена. Рассмотрим лишь некоторые выводы. При условии Е<U 0 (полная энергия частицы меньше высоты потенциального барьера), законы классической физики однозначно не разрешают частице проникнуть сквозь барьер. С позиций квантовой механики частица имеет отличную от нуля вероятность прохождения через потенциальный барьер конечной ширины. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 24
Кафедра физики ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦЫ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР В областях 1 и III общие решения представляют собой суперпозицию волн, распространяющихся в положительном (решение вида ) и отрицательном (решение вида ) направлениях оси х. В области III - за барьером – есть только проходящая волна. Вспомним, что волны, которые ассоциируются со свободно движущимися частицами, получили название волн де Бройля. В области II функция не соответствует плоской волне. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 25
Кафедра физики ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦЫ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР U U 0 E I 0 II III l Уравнения для функций. и качественно иллюстрируется рисунком. Из уравнений следует, что x волновая функция не равна нулю и внутри барьера, а в области III (для узкого барьера) волновая функция будет опять иметь вид волн де Бройля с той же x частотой, что и в области I, но с меньшей амплитудой. Таким образом, квантовая механика приводит к принципиально новому специфическому квантовому явлению. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 26
Кафедра физики ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦЫ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР При преодолении потенциального барьера частица как бы пробивает «туннель» в барьере. Это явление называется туннельным эффектом. Вероятность прохождения частицы через барьер определяется отношением квадратов модулей амплитуд прошедшей и падающей волн: и называется коэффициентом прохождения (или коэффициентом прозрачности). По аналогии можно ввести и коэффициент отражения частицы от барьера: Очевидно, что Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 27
Скачать презентацию Кафедра физики ЛЕКЦИЯ 5 12 октября 2012 г
Лекция 5. Примеры решения квантовых задач.ppt