Кафедра физики ЛЕКЦИЯ 3 ПЛАН ЛЕКЦИИ 1 Модель

Кафедра физики ЛЕКЦИЯ 3 ПЛАН ЛЕКЦИИ 1. Модель атома Резерфорда. Атомные спектры. 2. Постулаты Бора. 3. Элементарная боровская теория водородного атома. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ АТОМНОЙ ФИЗИКИ 1

Кафедра физики МОДЕЛЬ АТОМА РЕЗЕРФОРДА Из школьного курса физики: атомное ядро открыл английский физик Резерфорд в 1911 году в опытах по изучению рассеяния частиц на тонких фольгах. Небольшая доля - частиц отклонялась на большие углы (до 1800). Резерфорд предположил, что в центре атома расположено тяжелое (до 99, 98% массы атома) положительно заряженное ядро очень малых размеров (10 -13 - 10 -12 см). Вокруг ядра на относительно очень больших расстояниях (~10 -8 см) вращаются Z электронов. Z - порядковый номер элемента в периодической таблице Менделеева. Модель названа ядерной или планетарной. Строение атома напоминает Солнечную систему. Роль Солнца выполняет ядро, роль планет – электроны, роль гравитационного притяжения – кулоновское взаимодействие между ядром и электронами. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ АТОМНОЙ ФИЗИКИ 2

Кафедра физики МОДЕЛЬ АТОМА РЕЗЕРФОРДА Противоречия модели. 1. Модель не удовлетворяет условию устойчивости. Заряженная частица, движущаяся с ускорением, в соответствии с законами электродинамики должна тратить энергию на излучение. Из-за потерь энергии электрон должен в итоге упасть на ядро. 2. Модель допускает испускание атомами светового излучения любой длины волны Из опытов было известно, что конкретные атомы испускают излучение только строго определенных длин волн. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ АТОМНОЙ ФИЗИКИ 3

Кафедра физики АТОМНЫЕ СПЕКТРЫ. Излучение невзаимодействующих друг с другом атомов состоит из отдельных спектральных линий. Такой спектр называется линейчатым Исследования показали: линии в спектрах атомов расположены не беспорядочно, а объединяются в группы или серии линий. Отчетливее всего это обнаруживается в спектре простейшего атома – водорода. Швейцарский физик Бальмер в 1885 году обнаружил, что длины волн в видимой и близкой ультрафиолетовой области спектра излучения водорода могут быть точно представлены формулой (n = 3, 4, 5, …) Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ АТОМНОЙ ФИЗИКИ 4

Кафедра физики АТОМНЫЕ СПЕКТРЫ. R – постоянная Ридберга. R = 2, 07· 1016 c-1. Это формула Бальмера, а соответствующая серия спектральных линий атома водорода называется серией Бальмера. (n = 3, 4, 5, …) В справочниках часто приводится R = 1, 09737· 107 м-1, входящая в формулу вида С учетом выражения переписана для частот: , эта же формула может быть R = Rc = 3, 29· 1015 c-1. В спектре атома водорода кроме серии Бальмера есть еще серии. В ультрафиолетовой части спектра - серия Лаймана. Формула линий Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ АТОМНОЙ ФИЗИКИ (n=2, 3, 4, …) 5

Кафедра физики АТОМНЫЕ СПЕКТРЫ. В инфракрасной части спектра находится серия Пашена. Линии этой серии описываются формулой (n=4, 5, 6, …) И т. д. Частоты всех линий в спектре атома водорода можно представить одной формулой - обобщенной формулой Бальмера В этой формуле m = 1 для серии Лаймана, 2 для серии Бальмера и т. д. При заданном m число n принимает все целые значения, начиная с m+1. Простой вид формул, универсальность постоянной Ридберга свидетельствовали о глубоком физическом смысле найденных закономерностей, объяснить которые в рамках классической физики оказалось невозможным. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ АТОМНОЙ ФИЗИКИ 6

Кафедра физики ПОСТУЛАТЫ БОРА Нильс Бор (датский физик), 1913 год - попытка построить качественно новую – квантовую – теорию атома. Цель Бора: создать закономерности. теорию, объясняющую эмпирические Основа теории Бора - два постулата: 1) Существуют стационарные состояния атома с соответствующими дискретными значениями энергии. причем в этих состояниях атом не излучает и не поглощает энергию. В стационарных состояниях атома электрон, двигаясь по круговой орбите, имеет дискретные квантованные значения момента импульса, удовлетворяющие условию: (n = 1, 2, 3), - скорость электрона на n-ой орбите с радиусом. n – главное квантовое число. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ АТОМНОЙ ФИЗИКИ 7

Кафедра физики ПОСТУЛАТЫ БОРА 2) поглощение и испускание энергии (излучения) атомом происходит скачкообразно при его переходах из одного стационарного состояния в другое. Частота испускаемого или поглощаемого атомом света при переходах определяется формулой: (правило частот Бора), - энергии атома в m и n - состояниях, - постоянная Планка. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ АТОМНОЙ ФИЗИКИ 8

Кафедра физики ЭЛЕМЕНТАРНАЯ БОРОВСКАЯ ТЕОРИЯ ВОДОРОДНОГО АТОМА Постулаты, выдвинутые Бором, позволили рассчитать спектр атома водорода и водородоподобных систем, т. е. систем, состоящих из ядра с зарядом и одного электрона, а также теоретически вычислить постоянную Ридберга. В соответствии с теорией Бора рассмотрим движение электрона в водородоподобной системе, ограничиваясь круговыми стационарными орбитами. Для круговых орбит условие квантования Бора выглядит следующим образом: mvr - момент импульса электрона относительно ядра атома. 9

Кафедра физики ЭЛЕМЕНТАРНАЯ БОРОВСКАЯ ТЕОРИЯ ВОДОРОДНОГО АТОМА Полная механическая энергия электрона в поле неподвижного ядра в водородоподобном атоме равна: Первое слагаемое –потенциальная энергия взаимодействия электрона с зарядом -e, с ядром, заряд которого Ze; второе слагаемое – кинетическая энергия вращающегося по орбите электрона. В соответствии со вторым законом Ньютона Здесь. - центростремительное ускорение электрона; -кулоновская сила притяжения электрона к ядру. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ АТОМНОЙ ФИЗИКИ 10

Кафедра физики ЭЛЕМЕНТАРНАЯ БОРОВСКАЯ ТЕОРИЯ ВОДОРОДНОГО АТОМА Из последнего уравнения следует: Подставим это выражение в соотношение механической энергии электрона, получим: для полной Преобразуем полученное выше выражение следующим образом. Используя условие квантования Бора , получим соотношение для. Для этого в уравнении избавимся от скорости. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ АТОМНОЙ ФИЗИКИ 11

Кафедра физики ЭЛЕМЕНТАРНАЯ БОРОВСКАЯ ТЕОРИЯ ВОДОРОДНОГО АТОМА После преобразований получим: Используя выражения для , запишем формулу для полной механической энергии электрона в виде Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ АТОМНОЙ ФИЗИКИ 12

Кафедра физики ЭЛЕМЕНТАРНАЯ БОРОВСКАЯ ТЕОРИЯ ВОДОРОДНОГО АТОМА Частота испускаемого или поглощаемого атомом света при переходах в соответствии с постулатом Бора выражается формулой Используя выражение для Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ АТОМНОЙ ФИЗИКИ , запишем 13

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ БОРОВСКАЯ ТЕОРИЯ ВОДОРОДНОГО АТОМА Поскольку Кафедра физики , перепишем формулу в виде В полученном выражении - постоянная Ридберга. = 1, 097· 107 м-1 Значение R, найденное по этой формуле, хорошо совпадает с его значением, найденным экспериментально. Таким образом, Бор, используя квантовую постоянную , показал, что эта величина определяет также и движение электронов в атоме, законы которого существенно отличаются от законов классической механики. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ АТОМНОЙ ФИЗИКИ 14

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ БОРОВСКАЯ ТЕОРИЯ ВОДОРОДНОГО АТОМА Теория Бора сыграла большую роль в развитии механики. Однако, она не лишена недостатков: Кафедра физики квантовой 1. Она внутренне противоречива: с одной стороны, использовалась механика Ньютона, с другой – привлекались чуждые этой механике искусственные правила квантования. 2. Теория не позволяла описывать атомы с числом электронов больше единицы. Дальнейшее развитие теории микрочастиц привело к убеждению, что движение электрона в атоме нельзя описывать с помощью законов классической механики и что необходима новая теория. Такая (квантовая) теория была создана к 1927 году усилиями многих ученых, среди которых выдающуюся роль сыграли В. Гейзенберг, Э. Шрёдингер, М. Борн, П. Дирак. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ АТОМНОЙ ФИЗИКИ 15

Кафедра физики Недостатки и противоречия теории Бора указывали на необходимость пересмотра представлений о природе микрочастиц. Вопрос № 1: насколько общими являются представления о микрочастице как малой механической частице, которая характеризуется определенными координатами и определенной скоростью. Из анализа накопленных знаний о природе света: существуют физические явления, в которых свет проявляет свойства, свидетельствующие о его волновой природе (интерференция, дифракция). В то же время имеются и другие явления, в которых обнаруживается корпускулярная природа света (фотоэффект, эффект Комптона). В оптических явлениях обнаруживается своеобразный дуализм. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 16

Кафедра физики ГИПОТЕЗА ДЕ БРОЙЛЯ. В 1924 году французский физик де Бройль высказал гипотезу: Корпускулярно-волновой дуализм присущ не только фотонам, но и всем частицам вещества – электронам, протонам, атомам и т. д. Таким образом, если частица имеет: энергию W и импульс p, то она обладает и волновыми характеристиками – частотой и длиной волны: Волны, которые ассоциируются со свободно движущимися частицами, получили название волн де Бройля. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 17

Кафедра физики ГИПОТЕЗА ДЕ БРОЙЛЯ. ДИФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОНОВ. Для частиц не очень высокой энергии (v<

Кафедра физики По де-Бройлю с движением частицы следует связать волну: Коллектор Эксперимент: θ θ θ d dsinθ Условие максимума: dsinθ 2 dsinθ=mλ Формула Вульфа-Брэггов 19

Кафедра физики ГИПОТЕЗА ДЕ БРОЙЛЯ. ДИФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОНОВ. Первое экспериментальное подтверждение гипотезы де Бройля было получено в 1927 году в опытах К. Девиссона и Л. Джермера (американские физики). Пучок электронов ускорялся до энергии 100 – 150 э. В (что соответствует длине волны 10 -10 м) и падал на кристалл никеля, играющий роль пространственной дифракционной решетки. Было установлено, что отраженные электроны дифрагируют на кристалле, причем так, как должно быть для волн, длина которых определяется соотношением де Бройля. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 20

Кафедра физики ГИПОТЕЗА ДЕ БРОЙЛЯ. ДИФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОНОВ. Электрон при ударе о фотопластинку действует на нее как и фотон. Полученная электронограмма полностью совпадала с полученной в аналогичных условиях рентгенограммой. Необходимо было доказать что волновые свойства присущи и каждому электрону в отдельности. Опыты советского физика В. А. Фабриканта (1948 год): эксперименты со слабым электронным пучком. Каждый электрон проходил через прибор независимо от других (промежуток времени между двумя электронами был в 104 раз больше времени прохождения электроном прибора). Возникающая при длительной экспозиции дифракционная картина не отличалась от картин, полученных при короткой экспозиции для интенсивного потока электронов. 21

Кафедра физики ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ. Немецкий физик М. Борн в 1926 году предположил, что по волновому закону меняется не сама вероятность, а величина, названная амплитудой вероятности. Ее обозначают как Ψ(x, y, z, t) и называют также волновой функцией или пси-функцией. Амплитуда вероятности может быть величиной комплексной, а вероятность W пропорциональна квадрату ее модуля: W~ | Ψ(x, y, z, t)|2 Итак, волны де Бройля получили статистическое толкование. вполне определенное 22

Кафедра физики СМЫСЛ И СВОЙСТВА ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ. Состояние микрочастиц в квантовой механике описывается принципиально по-новому – с помощью волновой функции. Борн дал следующую интерпретацию волновой функции. Вероятность нахождения частицы внутри бесконечно малого объема d. V в момент времени t равна Квадрат модуля пси - функции имеет смысл плотности вероятности, т. е. определяет вероятность нахождения микрочастицы в единичном объеме в окрестностях точки с координатами x, y, z. Таким образом, физический смысл имеет не сама пси - функция, а квадрат ее модуля , которым задается интенсивность волн де Бройля. 23

Кафедра физики СМЫСЛ И СВОЙСТВА ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ. Интеграл от выражения , взятый по всему объему, доступному для движения микрочастицы, представляет собой условие нормировки: Условие нормировки вытекает из математического смысла плотности вероятности и означает, что частица объективно существует в пространстве с объемом V. Условия, которым удовлетворяет пси-функция: 1. конечность. 2. Однозначность. 3. Непрерывность. 4. Принцип суперпозиции. 24

Кафедра физики МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ. ОПЕРАТОРЫ. В квантовой механике большую роль играет понятие оператора. Впервые с операторами мы столкнулись, записывая уравнения Максвелла в дифференциальной форме (оператор набла). Определение оператора формулируется следующим образом: Иными словами, под оператором понимается правило, посредством которого одной функции (обозначим ее ) сопоставляется другая функция (обозначим ее ). Символически это записывается следующим образом: - обозначение оператора (буква со шляпкой, буква произвольно). Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ выбрана 25

Кафедра физики МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ. ОПЕРАТОРЫ. Смысл приведенного выражения в том, что оператор сопоставляет функции функцию. Рассмотрим несколько примеров операторов. 1. Оператор дифференцирования. Этот оператор обозначается так: Результатом действия этого оператора на произвольную функцию. является производная этой функции по ее аргументу x. Например: Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 26

Кафедра физики МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ. ОПЕРАТОРЫ. 2. Оператор умножения. Этот оператор умножает всякую функцию фиксированную функцию. на некоторую Этот оператор обозначается так: Например, оператор умножения на действует так: Оператор умножает на 2. обозначается и всякую функцию, на которую он действует, Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 27

Кафедра физики МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ. ОПЕРАТОРЫ. Практически все операторы, которые действуют в квантовой механике, это линейные операторы. Оператор. и называется линейным, если для любых двух функций и любых двух чисел a и b выполняется равенство Можно выделить ряд специальных операторов, так называемых операторов основных физических величин. В квантовой механике это операторы координат, импульса, момента импульса, энергии и т. д. Полная энергия материального объекта, записанная в виде функции от координат и импульсов, называется функцией Гамильтона и обозначается буквой H. Оператор функции Гамильтона механической системы (оператор полной энергии) называется оператором Гамильтона или гамильтонианом и обозначается буквой. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 28

Кафедра физики В квантовой механике физическим величинам сопоставляются операторы. Пример. Оператор проекции px импульса на ось x: Проекции на оси y, z: Операторы других величин строятся по правилам классической механики. Пример. Оператор кинетической энергии. В классической В квантовой физике: В итоге: Δ- оператор Лапласа. Оператор потенциальной энергии есть оператор умножения. - Гамильтониан - оператор полной энергии. 29

Кафедра физики ОБЩЕЕ (НЕСТАЦИОНАРНОЕ) УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА Уравнение Шредингера (так называемое общее нестационарное уравнение Шредингера) имеет вид: или - потенциальная функция частицы в силовом поле. Решением уравнения Шредингера является пси-функция. Но: определить конкретный вид этой функции в каждой конкретной задаче – основная и очень трудная задача. Очевидно, что вид этой пси-функции зависит от функции U(x, y, z, t). Для многих практически важных случаев уравнение можно упростить, если движение частиц происходит в стационарном силовом поле. Такие состояния называются стационарными или состояниями с фиксированными значениями энергии. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 30

Кафедра физики СТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно, то функция U не зависит явно от времени и имеет смысл потенциальной энергии частицы во внешнем поле. Ψ-функция приобретает вид: Для всех стационарных состояний зависимость от времени одинакова. E – полная энергия частицы, которая для стационарного поля остается постоянной. Подставим (1) в уравнение Шредингера: Стационарное уравнение Шредингера. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 31

Кафедра физики СТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА Раскрывая гамильтониан, получаем: или: Полученное уравнение не зависит от времени, вид функции U и вид пси – функции определяются только координатами микрочастицы. Не забудем, однако: Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 32

Кафедра физики СТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА Уравнение Шредингера для стационарных состояний содержит в качестве параметра полную энергию E частицы. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что подобные уравнения имеют бесчисленное множество решений, из которых путем наложения граничных условий выбирают решения, имеющие физический смысл. Для уравнения Шредингера такими условиями являются условия регулярности волновых функций: волновые функции и их первые производные должны быть конечными, однозначными и непрерывными. Таким образом, волновая функция должна удовлетворять ограничительным условиям, перечисленным в разделе «Смысл и свойства волновой функции» . Регулярные решения имеют место не при любых значениях параметра E, а только при определенном их наборе, характерном для конкретной задачи. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 33

Кафедра физики СТАЦИОНАРНОЕ УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА Эти значения энергии называются собственными. Решения, которые соответствуют собственным значениям энергии, называются собственными функциями. Совокупность собственных значений величины называется ее спектром. Собственные значения полной энергии E могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд. В первом случае говорят о непрерывном или сплошном спектре, во втором – о дискретном спектре. В случае дискретного спектра собственные значения и собственные функции можно пронумеровать: E 1, E 2, …, En, …, Таким образом, квантование энергии получается из основных положений квантовой механики без каких-либо дополнительных постулатов. Общая физика. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ 34