Кафедра физики конденсированного состояния Уральский Федеральный Университет Кристаллофизика

Кафедра физики конденсированного состояния Уральский Федеральный Университет Кристаллофизика Литература: • Шаскольская М. П. Кристаллография

Основные свойства кристаллов § Анизотропия и симметрия всех свойств кристалла. Анизотропия – различие свойств в различных направлениях. § Способность к самоогранению (это следствие анизотропии скорости роста). Кристаллы обычно ограняются теми гранями, которые ратут с меньшими скоростями. Грани с большими скоростями роста исчезают. § Однородность свойств. В кристалле имеются гомологические точки (т. е. эквивалентные другу), радиус однородности, радиус дискретности. Монокристалл – отдельный кристалл; Поликристалл – агрегат мелких кристаллов. Сияние кристаллов Природный кристалл топаза

Некоторые законы кристаллографии 1. Закон плоскогранности и пряморёбренности. 2. Закон постоянства двугранных углов (закон Стенона): углы между соответственными (однотипными) гранями во всех кристаллах одного и того же вещества являются постоянными. Приборы, позволяющие измерять углы: • Прикладные гониометры. Малая точность. • Отражательные гониометры. Долгая и требующая большой внимательности юстировка. • Теодолитные гониометры. Отражательный гониометр Теодолитный гониометр

Но более современны графические методы с построением проекций Кристаллический комплекс – все параллельные грани и параллельные направления нужно заменить одной гранью и одним направлением. Точка, в которой пересекаются все направления и которую содержат все грани комплекса, называется центром комплекса. Существует обратный (полярный) комплекс, строится так же, как и прямой, но грани заменяются нормалями к ним, а направления - перпендикулярными к ним плоскостями. Кристаллический комплекс Полярный комплекс 1. Линейная проекция ~ 1. Гномоническая проекция 2. Сферическая проекция ~ 2. Гномосферическая проекция 3. Стереографическая проекция ~ 4. Гномостереографическая проекция

1. 2. 3. На линейной проекции плоскости изображаются линиями, а направления - точками. При гномонической проекции – наоборот. При (гномо)сферической проекции плоскости изображаются большими кругами (содержат диаметры), проекции направлений изображаются точками. При стереографической проекции направления изображаются точками, а плоскости – линиями, проходящими через центр. Стереографическая проекция плоскости

Сетка Вульфа Диаметр 20 см, одно деление 20 Сетка Болдырева Диаметр 20 см, одно деление 50 Для решения количественных задач с помощью стереографической и гномостереографической проекций пользуются градусными сетками.

Структура кристаллов и пространственная решетка Кристаллическое пространство – реальное расположение частиц в пространстве. Пространственная решетка – геометрическая схема трехмерной периодичности расположения частиц. Гомологичные частицы реально кристалла в пространственной решетке изображаются точками, идентичными другу – узлы пространственной решетки. Симметричный бесконечный ряд с трансляцией а. Период идентичности (трансляция) – расстояние между эквивалентными точками. Узлы, которые могут быть получены из одного трансляцией на период идентичности – трансляционно-идентичные узлы.

Узловая прямая – любая прямая, проходящая как минимум через 2 узла. Индексы узла – [[mnp]], где m, n, p – целые числа. Индексы узловой прямой – индексы узла, лежащего на этой прямой ближе всех к началу координат. 1 – узловые прямые; 2 – узловая плоскость; a, b, c – периоды повторяемости; a, b, c – элементарные трансляции; x, y, z – основные кристаллографические направления; R – вектор, определяющий положение узла А по отношению к началу координат О. R = ma + nb + pc Семейство узловых прямых – совокупность узловых прямых, параллельных другу.

Индексы семейства узловых прямых – индексы той узловой прямой, которая проходит через начало координат. Любая плоскость, проходящая как минимум через 3 узла называется узловой (кристаллографической). Узловая плоскость, отсекающая на координатных осях отрезки А, В и С. (hkl) – индексы плоскости или индексы Миллера. h, k, l – целые числа. Семейство плоскостей – совокупность плоскостей, параллельных другу. Индексы семейства – индексы плоскости, ближайшей к началу координат. Межплоскостное расстояние (d) – кротчайшее расстояние между плоскостями в семействе. Ретикулярная плоскость (ρ) – число узлов, приходящихся на единичную площадь плоскости.

Кристаллографически-важные плоскости: (hkl) – малые → d – большие, ρ – большие. Закон Гаюи (закон рациональных чисел) Для двух любых граней реального кристалла двойные отношения параметров равны отношению целых чисел. Зона плоскостей - совокупность плоскостей, не параллельных другу, но параллельных одному направлению, а это направление – ось зоны. mh+nk+pl=0 закон зон Вейса

Двумерная решетка Параллелограмм, вершины которого являются узлами, называется элементарной ячейкой двумерной решетки.

Параллелепипед, построенный на основных трансляциях пространственной решетки, называется элементарной ячейкой. Правила выбора элементарной ячейки: 1. 2. 3. 4. Симметрия элементарной ячейки должна отражать симметрию кристалла. Количество равных ребер и равных углов должно быть максимальным. Количество прямых углов должно быть максимальным. Объем элементарной ячейки должен быть минимальным. Ячейки, у которых узлы находятся только в вершинах , называются примитивными. a, b, с, α, β, γ – параметры элементарной ячейки.

Существует 7 сингоний: 1. Триклинная (косоугольный параллелипипед) – элементарная ячейка строится на трёх базовых векторах (трансляциях) разной длины, все углы между которыми не являются прямыми. 2. Моноклинная – элементарная ячейка строится на трёх векторах a, b, и c, имеющих разную длину, с двумя прямыми и одним непрямым углами между ними. 3. (Орто)ромбическая – элементарная ячейка определяется тремя базовыми векторами (трансляциями), которые перпендикулярны друг к другу, но не равны между собой.

4. Ромбоэдрическая (тригональная) – определяется тремя базовыми векторами одинаковой длины, с равными, но не прямыми, углами между векторами. Все грани ромбы. 5. Тетрагональная – два из трех базовых векторов имеют одинаковую длину, а третий отличается от них. Все три вектора перпендикулярны друг к другу. 6. Гексагональная - элементарная ячейка строится на трёх базовых векторах (трансляциях), два из которых равны и образуют угол 120°, а третий им перпендикулярен. 7. Кубическая – элементарная ячейка кристалла определяется тремя векторами равной длины, перпендикулярными другу.

Обратная решетка строится на векторах определяются как векторные произведения: которые или скалярные: Величины векторов обратной решетки равны обратным величинам межплоскостных расстояний плоских сеток прямой решетки, нормальных к этой оси. Каждой плоскости (hkl) прямой решетки в обратной отвечает узел с теми же индексами. Семейству плоскостей {hkl} в прямой решетке соответствуют точки [[hkl]]* вдоль направления, нормального к этим плоскостям. Расстояния этих точек от начала координат в обратной решетке равны 1/dhkl , 2/dhkl…. , где dhkl – межплоскостные расстояния в семействе {hkl}.

Основные свойства обратной решетки. 1. Вектор обратной решетки H*hkl =ha*+ kb* + lc* перпендикулярен плоскости (hkl) прямой решетки и равен по величине 1/dhkl. 2. Объем элементарной ячейки обратной решетки равен обратной величине объема элементарной ячейки прямой решетки (и наоборот): V * = (a*. [b* x c* ]) =1/ v v = (a [b x c]) =1/ v*

Симметрия кристаллических многогранников и пространственных решеток Элементы симметрии кристаллических многогранников: геометрические образцы, с помощью которых многогранник совмещается сам с собой, называются элементами симметрии. Элементы симметрии: 1. Плоскость симметрии 2. Ось симметрии 3. Центр симметрии (инверсии). Плоскость симметрии делит фигуру на две зеркально-симметричные части. Международный символ обозначения плоскости симметрии – m, плоскости – p. Ось симметрии – линия, при повороте вокруг которой на некоторый угол фигура совмещается сама с собой.

Число n, которое показывает, сколько раз фигура совместится сама с собой при повороте на 360 о , называется порядком оси. Минимальный угол поворота φ = 360/n при котором фигура совмещается сама с собой. n = 1, 2, 3, 4, 6 – порядки возможных осей симметрии для кристаллических тел.

Теоремы о сложении элементов симметрии Сложение, т. е. последовательное проведение преобразований Теорема 1. Преобразование в двух плоскостях симметрии, расположенных под углом α эквивалентно повороту линии их пересечения на угол поворота φ = 2 α. Поворот вокруг оси порядка n эквивалентен отражению в двух плоскостях, пересекающихся по этой оси и расположенных под углом α = φ/2. Теорема 2. Точка пересечения оси четного порядка с перпендикулярной ей плоскостью является центром инверсии. Точка пересечения плоскости и оси симметрии четного порядка есть центр инверсии. Теорема 3. Если имеется ось порядка n и перпендикулярная ей ось второго порядка, то осей второго порядка будет n штук, перпендикулярных исходной оси.

Теорема 4. Если имеется ось n порядка и вдоль нее проходит плоскость симметрии, то таких плоскостей, проходящих через ось, будет n. Теорема 5. Если две оси пересекаются под углом α, то через точку их пересечения проходит третья ось, минимальный угол поворота для которой равен 2α. Теорема 6. Если через инверсионную ось четного порядка проходит плоскость, то это приводит к появлению осей второго порядка, проходящих по биссектрисам углов между плоскостями. При записи формулы симметрии указываются все элементы симметрии и их количество. Порядок записи: сначала записываются оси (от высших порядков к низшим), затем плоскости, потом центр (если он есть). При использовании международной символики: n/m – плоскость, перпендикулярная оси; nm – плоскость, параллельная оси.

Если направление присутствует в кристалле в единичном числе и не размножается никакими элементами симметрии, присущими кристаллу, то такое направление называется особым или единичным. 3 категории: 1. Низшая – несколько единичных направлений, нет осей с порядком выше двух (триклинная, моноклинная, ромбическая сингонии). 2. Средняя – одно единичное направление, его порядок выше двух (тригональная, тетрагональная, гексагональная). 3. Высшая – нет единичных направлений. Есть несколько осей с порядком больше двух (кубическая).

Плотные шаровые упаковки. Частицы считаем несжимаемыми шарами одинакового радиуса. Шары касаются друга, каждый шар должен иметь максимальное число соседей. В плоском слое каждый шар окружен 6 -ю шарами и 6 -ю лунками (пустотами). Обозначим: А – шары, В, С – пустоты. Следующий слой укладывается в пустоты В или С, при этом образуются пустоты 2 -х типов: -над пустотой 1 -го слоя находится шар – тетраэдрическая Т пустота. -пустота 2 -го слоя находится над пустотой 1 -го - октаэдрическая О.

Пустоты в плотнейших упаковках

Укладывая третий слой как первый, четвертый – как второй, получим двухслойную упаковку …АВАВАВ… - ГПУ. Если шары 3 его слоя уложены в лунки О, то получаем трехслойную …АВСАВС… ГЦК упаковку. Эти упаковки являются плотнейшими, их коэффициент компактности К = 74, 05% (К=объем шаров/общий объем). ГПУ характерна для металлов Mg, Zn, Cd и др. , соединений Ag. Cd, Au. Cd, Cu. Zn 3 и др. ГЦК упаковкой обладают Cu, Ag, Ni, Pt и др. В пустотах плотнейших упаковок металлов могут располагаться атомы Si, C, O, H, N, образуя силициды, карбиды и т. д. Дальнейшие слои можно укладывать по тем же правилам, получая четырехслойную …. АВАС… пятислойную …АВСАВ… и т. д. , до 80 слоев. Иногда удобен другой способ обозначений: шар, располагающийся между повторяющими друга слоями, обозначим «г» , а между не повторяющими – «к» . …АВАВАВ… …АВСАВС… …АВАС…. . . АВСАВ… гггггг кккккк гкгкгк гкккг