Jak se pohybovat v rychle se měnícím světě: Doba pokrytí dynamických grafů Michal Koucký MÚ AV ČR, Praha Chen Avin, Zvi Lotker Ben-Gurion U. , Israel
Náhodná procházka na grafu → očekávaná doba pokrytí … O ( n 3) typický graf … O (n log n ) 2
Mnoho algoritmických využití prohledávání grafu n všesměrové vysílání n čistící robot n… n Výhody lokalita rozhodování n malé paměťové nároky n netřeba znát topologii grafu graf se může i měnit n … doopravdy ? 3
Dynamický graf: G = G 1, G 2, G 3, …, kde všechny grafy G i mají stejnou množinu vrcholů {1, 2, …, n }, ale mohou se lišit v hranách. G 1 G 2 G 3 G 4 G 5 … Náhodná procházka na G : v kroce i uděláme náhodný krok na G i 4
n Dynamický graf G = G 1, G 2, G 3, … je prohledatelný, pokud všechny grafy G i mají v každém vrcholu smyčku a jsou souvislé. Pozorování: Prohledatelný graf G má očekávanou dobu pokrytí nejvýše n O (n ). 5
Tvrzení: Existuje dynamický graf G na n vrcholech s očekávanou dobu pokrytí 2 Ω(n ). 3 Gi = 2 n-1 1 n-3 n-2 n 6
Tvrzení: Existuje dynamický graf G na n vrcholech s očekávanou dobu pokrytí 2 Ω(n ). 3 Gi = 2 n-1 1 n-3 n-2 n Pro dosažení vrcholu n musíme n -2 po sobě jdoucích kroků použít smyčku pst. 2 - n + 2. 7
Orientovaná hrana: n -1 n 1 8
Tvrzení: Každý d -regulární dynamický graf G má očekávanou dobu pokrytí nejvýše O (d 2 n 3 ln 2 n ). Důkaz: Stacionární distribuce náhodné procházky na regulárním grafu je uniformní a i když se graf mění, neustále k ní konvergujeme. po každých ~ d 2 n 2 krocích jsme v náhodném vrcholu. úplný graf se pokryje v očekávané době O (n ln n ). 9
Líná náhodná procházka: n V i-tém kroce náhodně vybereme vrchol dynamického grafu a pokud jsme s ním spojeni hranou, přejdeme do tohoto vrcholu. procházka se chová jako kdyby graf byl n regulární. Tvrzení: Každý regulární dynamický graf G má očekávanou dobu pokrytí línou náhodnou procházkou nejvýše O (n 5 ln 2 n ). 10
Shrnutí: Náhodné procházky na dynamických grafech fungují, ale člověk musí být obezřetný. 11
Скачать презентацию Jak se pohybovat v rychle se měnícím světě
e9463052b50eb1b398227713d62c9774.ppt