Ізоморфне вкладення графів Лекція 10 Теорія графів 1

Ізоморфне вкладення графів Лекція 10 Теорія графів 1

Ізоморфне вкладення та подовження графів Нехай G = (X, F) і H = (Y, P) – два довільних графи Бержа. Граф G = (X, F) ізоморфно вкладається у граф H = (Y, P) або граф H = (Y, P) та є ізоморфним подовженням графа G = (X, F), якщо множина X еквівалентна деякій підмножині Y' Y і для будь-яких елементів x X та y Y', між якими встановлено бієктивне відображення, виконується умова Fx еквівалентно P'y, де P'y Py Y'. Вважатимемо, що задано два графи G = (X, F) і H = (Y, P), які мають множини елементів X = {xi}, i I, I = {1, 2, . . . , m} і Y = {yj}, j J = {1, 2, . . . , n}, m n; si і vj – напівстепені виходу, а pi і wj – напівстепені входу вершин xi X та yj Y, відповідно. Ізоморфне вкладення графів 2

Леми про ізоморфне вкладення графів Лема 3. 3. Якщо граф G = (X, F) ізоморфно вкладається у граф H = (Y, P), то існує принаймні одна підстановка t T, де T – симетрична група підстановок множини елементів порядку m!, яка визначає ін'єктивне відображення множини X графа G = (X, F) у множину Y графа H = (Y, P) таке, що ( xi X)( yj Y)[(si vj) (pi wj)]. Лема 3. 4. Якщо існує підстановка t T множини вершин X графа G(X, F) на множину Y' графа H' H, що переводить граф G = (X, F) у граф H' = (Y', P), то граф G = (X, F) ізоморфно вкладається у граф H = (Y, P). Доведення леми випливає із означення ізоморфного вкладення графів. Ізоморфне вкладення графів 3

Теорема про ізоморфне вкладення графів Теорема 3. 3. Для того, щоб граф G = (X, F) ізоморфно вкладався у граф H = (Y, P), необхідно та достатньо виконання наступних умов: а) ( xi X)( yj Y)[(si vj) (pi wj)] (для кожної вершини xi X графа G = (X, F) має існувати принаймні одна така вершина yj Y у графі H = (Y, P)); б) t T множини X у множину Y' Y така, що переводить граф G = (X, F) у граф H' = (Y', P), причому H' H. Необхідність випливає із леми 3. 3, а достатність – із леми 3. 4. Ізоморфне вкладення графів 4

Алгоритм розпізнавання ізоморфного вкладення графа G = (X, F) у граф H = (Y, P) Ізоморфне вкладення графів 5

Кроки алгоритму (1) Алгоритм має такі кроки: 1. Підраховуємо кількість вершин m графа G = (X, F) і n графа H = (Y, P). Якщо m n, то переходимо до п. 2, в іншому випадку – до п. 9. 2. Виписуємо всі вершини обох графів G = (X, F) і H = (Y, P) у природній упорядкованості з відношеннями кожної з них, визначаємо пари (s, p) і (v, w) для кожної вершини x X та y Y. 3. Перевіряємо виконання умови а теореми 3. 3. Якщо вона виконується, то переходимо до п. 4, у протилежному випадку – до п. 9. 4. Вершині xi X графа G = (X, F) з максимальним числом si зіставляємо таку вершину yj Y графа H = (Y, P), для якої виконується умова а теореми 3. 3. Ізоморфне вкладення графів 6

Кроки алгоритму (2) 5. Кожній вершині xl Fxi ставимо у взаємно однозначну відповідність одну із вершин yk Pyj так, щоб виконувалась умова а теореми 3. 3. Одержуємо часткову підстановку t 1 множини X на Y' Y. Переходимо до п. 7. Якщо умова а теореми 3. 3 для вершин xl та yk не виконується, то переходимо до п. 6. 6. Вершині xi X графа G = (X, F) із максимальним числом si зіставляємо другу вершину yl Y графа H = (Y, P), для якої виконується умова а теореми 3. 3. Переходимо до п. 5. Якщо такої вершини не знайдено, то переходимо до п. 9. Ізоморфне вкладення графів 7

Кроки алгоритму (3) 7. Використовуємо часткову підстановку t 1 і перевіряємо її для останніх m– 1 вершин графа G = (X, F). Якщо підстановка t 1 не суперечить відношенням елементів y Y, то довизначаємо її для останніх елементів множини X, що не входять до часткової підстановки t 1. Одержуємо підстановку t T множини X на множину Y' Y. Переходимо до п. 8. Якщо знайдену часткову підстановку неможливо довизначити, то переходимо до п. 5 і встановлюємо нову відповідність між вершинами xl та yk. 8. Граф G = (X, F) ізоморфно вкладається у граф H = (Y, P). 9. Граф G = (X, F) ізоморфно не вкладається у граф H = (Y, P). Ізоморфне вкладення графів 8

Кроки алгоритму (4) Якщо m n, то можна використовувати цей алгоритм для розпізнавання ізоморфного вкладення графа H = (Y, P) у граф G = (X, F). Коли m = n, можливі такі випадки: üграф G = (X, F) ізоморфно вкладається у граф H = (Y, P); üграф H = (Y, P) ізоморфно вкладається у граф G = (X, F); üграф G = (X, F) ізоморфно вкладається у граф H = (Y, P), а граф H = (Y, P) ізоморфно вкладається у граф G = (X, F), тобто графи G = (X, F) і H = (Y, P) ізоморфні; üграфи G = (X, F) і H = (Y, P) ізоморфно не вкладаються один до одного. Ізоморфне вкладення графів 9

Приклад застосування алгоритму (1) Приклад 3. 5. Задано два графи G = (X, F) і H = (Y, P). Визначити, чи існує відношення ізоморфного вкладення між цими графами. Ізоморфне вкладення графів 10

Приклад застосування алгоритму (1) Виконуємо послідовно пункти алгоритму. 1. Оскільки кількість вершин графа G = (X, F) менша за кількість вершин графа H = (Y, P), шукатимемо ізоморфне вкладення графа G = (X, F) у граф H = (Y, P). 2. Випишемо вершини графів G = (X, F) і H = (Y, P) у природному порядку з відношеннями кожної із них і парами (s, p) та (v, w). В результаті одержимо (слайд 12): Ізоморфне вкладення графів 11

Приклад застосування алгоритму (2) Вершини графів і у природному порядку з відношеннями кожної із них і парами (s, p) та (v, w). G(X, F) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 (1, 2) (2, 0) (1, 3) (1, 2) (3, 1) H(Y, P) {x 4} {x 3, x 5} {x 1} {x 3} {x 1, x 3, x 4} (2, 1) (4, 3) (3, 4) (2, 2) (1, 3) (2, 1) {y 2, y 3} {y 3, y 4, y 5, y 7} {y 1, y 4, y 8} {y 5, y 8} {y 3} {y 2, y 5} y 7 (2, 1) {y 3, y 6} y 8 Ізоморфне вкладення графів y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 (1, 2) {y 2} 12

Приклад застосування алгоритму (3) 3. Умова а теореми 3. 3 для графів G = (X, F) і H = (Y, P) виконується. 4. Вершині x 5 графа G = (X, F) із максимальною кількістю виходів можна зіставити тільки вершини y 2 та y 3 графа H = (Y, P), оскільки для інших вершин умова а теореми 3. 3 не виконується. Але й для множин Fx 5 і Py 3 також не виконується ця умова. Тому вершині x 5 ставимо у відповідність вершину – y 2. Ізоморфне вкладення графів 13

Приклад застосування алгоритму (4) 5. Із зіставлення множин Fx 5 і Py 2 візьмемо часткову підстановку t 1 = так, щоб для її елементів виконувалась умова а теореми 3. 3. 6. Перевіримо одержану часткову підстановку для інших вершин графа G = (X, F). Видно, що у графі G = (X, F) відношення Fx 1 = {x 4}. Із підстановки t 1 випливає, що Py 3 має включати y 5, що не відповідає дійсності. Таким чином, необхідно взяти іншу часткову підстановку t 2. Ізоморфне вкладення графів 14

Приклад застосування алгоритму (5) 7. Вибираємо t 2 = для елементів якої також виконується умова а теореми 3. 3. Перевіряємо підстановку t 2 для вершин x 1, x 3, x 4. Підстановка t 2 не суперечить відношенням елементів y 3, y 4, y 5, а тому довизначаємо її у такий спосіб: із зіставлення відношень Fx 2 і Py 6 встановлюємо відповідність між вершинами x 2 та y 6. Ізоморфне вкладення графів 15

Приклад застосування алгоритму (6) 8. Отримуємо підстановку t множини X на множину Y' Y такого вигляду t= 9. Підстановка показує, що граф G = (X, F) ізоморфно вкладається у граф H = (Y, P). Ізоморфне вкладення графів 16

Теоретико-множинні операції над графами До теоретико-множинних операцій над графами належать: üоб'єднання; üпереріз; üдоповнення за відношенням; üрізниця, сполучення; üдиз'юнктивна сума. Ізоморфне вкладення графів 17

Алгебраїчні операції над графами До алгебраїчних операцій над графами належать такі: üдобутку; üпідсумовування; üкомпозиції; üсуперпозиції. Ізоморфне вкладення графів 18

Розкладання графів за теоретико-множинними та алгебраїчними операціями Важливою проблемою теорії графів є розкладання складних графів на простіші за різними операціями. Методи розкладання графів використовуються для декомпозиції скінченних автоматів. Найчастіше розкладання графів виконується за двома операціями: теоретико-множинною (об'єднання або переріз) та алгебраїчною (добуток або композиція). Основні операції розкладання графів: у добуток двох графів G' = G H; у суму двох графів G' = G + H; за операцією суперпозиції; в об'єднання добутків графів; за операцією композиції тощо. Ізоморфне вкладення графів 19

Ізоморфне вкладення графів 20