Скачать презентацию Изоморфизм и гомоморфизм групп Определение. Группы G 1 Скачать презентацию Изоморфизм и гомоморфизм групп Определение. Группы G 1

4_Изоморфизм и гомоморфизм.ppt

  • Количество слайдов: 16

Изоморфизм и гомоморфизм групп Определение. Группы G 1 и G 2 называются гомоморфными, если Изоморфизм и гомоморфизм групп Определение. Группы G 1 и G 2 называются гомоморфными, если существует отображение : G 1 G 2, сохраняющее операции, определенные в G 1 и G 2. Т. е. , для и имеем: a, b G 1, (a b) = (a)○ (b). Обозн. : ~ . Если – взаимно-однозначное отображение, то группы называются изоморфными. Обозн. :

Примеры. 1) G 1 = <Z, +>, G 2 = <{ 1}, > : Примеры. 1) G 1 = , G 2 = <{ 1}, > : G 1 G 2 так, что (2 n) = 1; (2 n+1) = -1. Проверим сохранение операции: (2 n+2 k) = (2(n+k)) = 1 (2 n) (2 k) = 1 1=1 ((2 n+1)+(2 k+1)) = (2(n+k+1)) = 1 (2 n+1) (2 k+1) = (-1) = 1 1=1 (2 n+(2 k+1)) = (2(n+k)+1) = -1 (2 n) (2 k+1) = 1 (-1) = -1 – гомоморфизм. -1 = -1

2)G 1 = <R*, >, G 2 = <R+, > : G 1 G 2)G 1 = , G 2 = : G 1 G 2, a R* (a)=a 2. не является взаимно-однозначным ( (-2) = (2)), (ab) = (ab)2 = a 2 b 2 = (a) (b) – гомоморфизм. 3) G 1 = , G 2 = : G 1 G 2, a G 1 (a)=lna. - взаимно-однозначное, это следует из свойств функции y = lnx (ab) = lna+lnb = (a)+ (b), – изоморфизм.

Свойства изоморфизма Т 1. Изоморфный образ группы является группой. Дано: <G 1, > <G Свойства изоморфизма Т 1. Изоморфный образ группы является группой. Дано: , G 1 – группа. Доказать: G 2 – группа. Доказательство: 1) Выполнимость: Пусть : G 1 G 2 - изоморфизм, b 1, b 2 G 2. Докажем, что b 1○b 2 G 2. Т. к. - изоморфизм, то a 1, a 2 G 1, (a 1) = b 1, (a 2) = b 2. a 1 a 2 G 1; (a 1 a 2) G 2. (a 1 a 2) = (a 1)○ (a 2) = b 1○b 2 G 2. 2) Ассоциативность: b 1, b 2, b 3 G 2, докажем, что (b 1○b 2)○b 3 = b 1○(b 2○b 3). (b 1○b 2)○b 3 = ( (a 1)○ (a 2))○ (a 3) = -изом. (a 1 a 2)○ (a 3) = -изом. ((a 1 a 2) a 3) =G 1–гр. (a 1 (a 2 a 3)) = -изом. (a 1)○ (a 2 a 3)= -изом. = (a )○( (a )○ (a )) = b ○(b ○b ). 1 2 3

3) Существование нейтрального элемента. Пусть e - нейтральный элемент из G 1. Покажем, что 3) Существование нейтрального элемента. Пусть e - нейтральный элемент из G 1. Покажем, что (e) – нейтральный элемент G 2. Т. е. b G 2 b○ (e) = (e)○b = b. Т. к. - изоморфизм, то a G 1, (a) = b. b○ (e) = (a)○ (e) = (a) = b (e)○b = (e)○ (a) = (e a) = (a) = b b○ (e) = (e)○b = b, следовательно (e) – нейтральный элемент G 2. 4) Нейтрализующий элемент. b G 2 b-1 G 2, b○b-1 = e', e' = (e) – нейтральный элемент G 2. (a) = b. Покажем, что (a-1) = b-1. b○b-1 = (a)○ (a-1) = (a a-1) = (e) = e' G 2, b-1○b = (a-1)○ (a) = (a-1 a) = (e) = e'.

Т 2. Любая бесконечная циклическая группа изоморфна аддитивной группе целых чисел. Дано: G = Т 2. Любая бесконечная циклическая группа изоморфна аддитивной группе целых чисел. Дано: G = – циклическая; |G| = |a| = . Доказать: G . Доказательство: Зададим отображение: g G, g = ak, (ak) = k. 1) Покажем, что – взаимнооднозначное отображение Пусть ak 1 = ak 2 ak 1 -k 2 =e, т. к. |a| = , это возможно лишь при k 1 -k 2=0 или k 1=k 2. Если k 1=k 2, то из однозначности умножения следует ak 1 = ak 2. 2) Докажем, что отображение сохраняет операции: (ak 1 ak 2) = (ak 1+k 2) = k 1+k 2 = (ak 1) + (ak 2).

Т 3. Любая циклическая группа порядка m изоморфна аддитивной группе классов вычетов по модулю Т 3. Любая циклическая группа порядка m изоморфна аддитивной группе классов вычетов по модулю m. Дано: G = – циклическая; |G| = |a| = m. Доказать: G . Доказательство: Зададим отображение: g G, g = ak, (ak) = Zk. 1) Взаимная однозначность. Пусть ak 1 = ak 2 ak 1 -k 2 =e св-ва порядка k 1 k 2 (mod m) Zk 1=Zk 2, и обратно: Пусть Zk 1=Zk 2 k 1 k 2 (mod m) или k 1 - k 2 = mt k 1 = k 2 + mt, t Z. ak 1 = ak 2+ mt = ak 2 (am)t =т. к. |a|=m ak 2. 2) Сохранение операций: (ak 1 ak 2) = (ak 1+k 2) = Zk 1+k 2 = Zk 1+Zk 2 = (ak 1) + (ak 2).

Т 4. Конечная циклическая группа порядка n изоморфна мультипликативной группе корней n-ой степени из Т 4. Конечная циклическая группа порядка n изоморфна мультипликативной группе корней n-ой степени из единицы Дано: G = – циклическая группа; |G| = |a| = n. Доказать: G , Доказательство: G = = {a 0, a 1, a 2, …, an-1}. Т. к. G – циклическая группа, то g G представим в виде: g = am, Зададим отображение: Докажем, что – изоморфизм.

1) Взаимная однозначность. а) Пусть am 1 = am 2 am 1 -m 2 1) Взаимная однозначность. а) Пусть am 1 = am 2 am 1 -m 2 =e св-ва порядка m 1 = m 2 + nt, t Z. (am 1) = (am 2). б) Пусть (am 1) = (am 2), т. е. тогда

2) Сохранение операций: (am 1 am 2) = (am 1+m 2) = 2) Сохранение операций: (am 1 am 2) = (am 1+m 2) =

Т 5 (Кэли). Любая конечная группа порядка n изоморфна некоторой подгруппе подстановок n -ой Т 5 (Кэли). Любая конечная группа порядка n изоморфна некоторой подгруппе подстановок n -ой степени. Дано: G – группа; |G| = n. Доказать: Н Sn такая, что G H. Доказательство: G = {a 1, a 2, …, an, } ai G рассмотрим произведения a 1 ai, a 2 ai, …, an ai G. Все эти произведения будут различными Обозначим: a 1 ai = a 1, a 2 ai = a 2, … an ai = a n. 1, 2, …, n - некоторый набор чисел от 1 до n. Рассмотрим отображение Покажем, что – изоморфизм.

1) Взаимная однозначность. а) Пусть ai = aj из однозначности произведения (ai) = (aj) 1) Взаимная однозначность. а) Пусть ai = aj из однозначности произведения (ai) = (aj) б) Пусть (ai) = (aj). Тогда k, k=1, 2, …, n ak ai = ak aj ai = aj. 2) Для доказательства сохранения операции будем использовать подстановку: Тогда

Ядро гомоморфизма (kernel ['kə: nəl]) Пусть : G 1 G 2; –гомоморфизм. Определение. Ядром Ядро гомоморфизма (kernel ['kə: nəl]) Пусть : G 1 G 2; –гомоморфизм. Определение. Ядром гомоморфизма называется множество элементов группы G 1, которые отображаются в нейтральный элемент группы G 2. G 1 G 2 e´ Обозн. : Ker = {a G 1 / (a) =e', e' G 2}.

Т 1. Ядро гомоморфизма является нормальным делителем группы. Дано: G – группа, H = Т 1. Ядро гомоморфизма является нормальным делителем группы. Дано: G – группа, H = Ker . Доказать: H G. Доказательство: 1) Покажем, что H G а) a, b H ab H. Пусть a, b H, тогда (a) = (b) = e'. (ab) = – гомоморфизм (a) (b) = e' e' = e' ab H. б) Пусть a H, тогда (a) = e'. Найдем (a-1) = ( (a))-1 = (e')-1 = e' a-1 H. 2) Покажем, что H G, т. е. a G a. H = Ha. Пусть ah a. H, покажем, что h 1 a Ha, такой, что ah=h 1 a. Рассмотрим aha-1 и найдем его образ: (aha-1) = (a) (h) (a-1) = (a) e (a-1) = (a a-1) = (e) = e'. Тогда aha-1 H или aha-1=h 1 ah=h 1 a.

Т 2. Любая нормальная подгруппа группы G является ядром некоторого гомоморфизма. Дано: H G Т 2. Любая нормальная подгруппа группы G является ядром некоторого гомоморфизма. Дано: H G Доказать: H – ядро некоторого гомоморфизма. Доказательство: G/H={H, g 1 H, g 2 H, …}. : G G/H g G (g) = g H. Покажем, что – гомоморфизм ( – сохраняет операцию). g 1, g 2 G (g 1 g 2) = (g 1 g 2) H = (g 1 g 2)H H = g 1 H g 2 H = (g 1) (g 2) – гомоморфизм. Покажем, что H = Ker . Пусть h H (h) = h H = H – нейтральный элемент G/H. Следовательно, h Ker и H Ker (1) Пусть h 1 Ker (h 1) = H или h 1 H = H h 1 H Ker H (2). Из (1) и (2) следует ч. т. д. Определение. Гомоморфизм группы G на факторгруппу G/H называется естественным гомоморфизмом группы G.

Т 3. Гомоморфный образ группы изоморфен факторгруппе по ядру этого гомоморфизма. Дано: : G Т 3. Гомоморфный образ группы изоморфен факторгруппе по ядру этого гомоморфизма. Дано: : G 1 G 2; – гомоморфизм, H = Ker . Доказать: G 1/H G 2. Доказательство: Рассмотрим отображение : G 1/H G 2 такое, что g H G 1/H (g H) = (g); g G 1; (g) G 2. Покажем, что – изоморфизм. 1. Взаимная однозначность. Пусть g 1 H = g 2 H (g 2 -1 g 1)H = H g 2 -1 g 1 H, т. е. g 2 -1 g 1 Ker (g 2 -1 g 1) = e' G 2. Т. к. – гомоморфизм, (g 2 -1) (g 1) = e' или ( (g 2))-1 (g 1) = e' (g 1) = (g 2) (g 1 H) = (g 2 H). Обратно, пусть (g 1 H) = (g 2 H), или (g 1) = (g 2), ( (g 2))-1 (g 1) = e' G 2 (g 2 -1 g 1) = e'. Тогда g 2 -1 g 1 Ker = H или (g 2 -1 g 1)H = H g 1 H = g 2 H. 2. Сохранение операции. (g 1 H g 2 H) = ((g 1 g 2)H) = (g 1 g 2) = (g 1) (g 2) = (g 1 H) (g 2 H).