Ізоморфізм графів Лекція 9 Теорія графів 1

Ізоморфізм графів Лекція 9 Теорія графів 1

Ізоморфізм графів З погляду змісту ізоморфізм структур означає тотожність їх функціонування, що в деяких випадках надає можливість заміни однієї структури іншою. Для розпізнавання ізоморфізму графів G = (X, F) і H = (Y, P), що мають n вершин, у загальному випадку необхідно виконати n! попарних порівнянь. Для скорочення обсягу перебору розглянемо алгоритм розпізнавання ізоморфізму графів. Нехай задано два графи G = (X, F) і H = (Y, P), які мають множини елементів (вершин) X = {xi}, i I та Y = {yj}, j I, де I = {1, 2, . . . , n}. Кожному елементу xi X зіставимо пару чисел (si, pi), а елементу yj Y – пару (vj, wj), де si і vj – напівстепені виходу, а pi і wj – напівстепені входу кожної вершини, відповідно. Ізоморфізм графів 2

Лема 3. 1 про ізоморфізм графів Лема 3. 1. Якщо графи G = (X, F) і H = (Y, P) ізоморфні, то існує підстановка t T, де T – симетрична група підстановок множини елементів, яка визначає бієктивне відображення множини X графа G = (X, Y) у множину Y графа H = (Y, P) таке, що ( xi X)( yj Y)[(si= vj) (pi = wj)]. Ізоморфізм графів 3

Доведення леми 3. 1 Із означення ізоморфізму випливає, що ізоморфні графи відрізняються один від одного тільки впорядкованістю у позначеннях вершин. Але перенумеровання вершин не змінює напівстепені виходу s і входу p кожної вершини. Тому для будь-якого xi X із парою (si, pi) можна взаємно однозначно визначити таке yj Y із парою (vj, wj), що si = vj та pi = wj. Таким чином, знайдено підстановку t T, що переводить граф G = (X, F) у граф H = (Y, P), тобто ( xi X)( yj Y)[(si = vj) (pi = wj)]. Лему доведено. Ізоморфізм графів 4

Лема 3. 2 про ізоморфізм графів Лема 3. 2. Якщо існує підстановка t T, що переводить матрицю суміжності A графа G=(X, F) у матрицю суміжності B графа H = (Y, P), то графи G = (X, F) і H = (Y, P) ізоморфні. Доведення леми випливає із означення ізоморфізму графів. Ізоморфізм графів 5

Теорема 3. 1 про ізоморфізм графів Теорема 3. 1. Для того, щоб граф G = (X, F) був ізоморфним до графа H = (Y, P), необхідно та достатньо виконання таких умов: а) ( xi X)( yj Y)[(si = vj) (pi= wj)]; б) t T така, що граф G = (X, F) переводить у граф H = (Y, P). Доведення. Необхідність випливає із леми 3. 1, а достатність – із леми 3. 2. Ізоморфізм графів 6

Теорема 3. 2 Теорема. Якщо задано графи G = (X, F) і H = (Y, P), які мають n вершин із попарно різними числами (s, p) і (v, w), то встановити їх ізоморфізм можна не більше, ніж за n(n+1)/2 порівнянь, причому підстановка t T така, що граф G = (X, Y) переводить у граф H = (Y, P) і визначається графом відповідності, який має n ребер. Ізоморфізм графів 7

Алгоритм розпізнавання ізоморфізму двох графів G = (X, F) і H = (Y, P) Ізоморфізм графів 8

Алгоритм має такі кроки: 1. Підраховуємо кількість вершин кожного графа. За їх рівності переходимо до п. 2, за нерівності – до п. 6. 2. Виписуємо всі елементи обох графів у природній упорядкованості та визначаємо пари (s, p) і (v, w) для кожного елемента. 3. Для кожного елемента x графа G = (X, F) шукаємо такий елемент y графа H = (Y, P), для якого виконується умова а теореми 3. 1. Знайдені елементи x та y з'єднуємо ребром – будуємо граф відповідності. Переходимо до п. 4, у протилежному випадку – до п. 6. 4. Виписуємо підстановку, що визначається графом відповідності, і перевіряємо виконання умови б теореми 3. 1. При виконанні умови переходимо до п. 5, у протилежному випадку – до п. 6. 5. Графи ізоморфні. 6. Графи неізоморфні. Ізоморфізм графів 9

Приклад застосування алгоритму Приклад 3. 3. Нехай задано два графи G = (X, F) і H = (Y, P) (слайд 11). Визначити, чи ізоморфні вони. 1. Встановлюємо, що кількість вершин графів G = (X, F) і H = (Y, P) однакова. 2. Записуємо вершини графів G = (X, F) та H = (Y, P) із парами (s, p) і (v, w), що їх характеризують. 3. Будуємо граф відповідності (слайд 12). 4. Підстановка x 1 t = y 9 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 x 12 y 4 y 12 y 10 y 8 y 2 y 6 y 1 y 5 y 7 y 11 y 3 переводить матрицю суміжності графа G =(X, F) у матрицю суміжності графа H = (Y, P). 5. Графи G = (X, F) і H = (Y, P) ізоморфні. Ізоморфізм графів 10

Графи G = (X, F) і H = (Y, P) Ізоморфізм графів 11

Граф відповідності Ізоморфізм графів 12

Наявність вершин з однаковими парами (s, p) і (v, w) У випадку, коли графи G = (X, F) і H = (Y, P) мають k (k n) вершин з однаковими парами (s, p) і (v, w) кожний, при використанні алгоритму одержимо k! підстановок замість однієї за попарно різних чисел (s, p) і (v, w). У даному разі слід перевірити виконання умови б теореми 3. 1 для k! підстановок, що зменшує ефективність алгоритму. Ізоморфізм графів 13

Метод зменшення кількості підстановок (1) Для зменшення кількості підстановок (при переборі) можна запропонувати такий метод. Після запису всіх елементів x X і y Y обох графів з віднесеними для них парами чисел (s, p) і (v, w) з'єднуємо ребрами ті елементи графів, які задовольняють умову а теореми 3. 1 і не входять до означених вище k вершин. Одержуємо часткову підстановку. Для елементів з однаковими парами (s, p) і (v, w) обох графів записуємо у дужках множини X' X та Y' Y, зіставлені елементам x та y, що розглядаються, відношеннями F і P відповідних графів. Для елементів x X' виписуємо елементи y Y, які визначаються одержаною частковою підстановкою. З'єднуємо ребрами ті елементи x X та y Y із вказаних k елементів, для яких множина Y' є однаковою. Ізоморфізм графів 14

Метод зменшення кількості підстановок (2) Якщо серед указаних k елементів графів G = (X, F) і H =(Y, P) присутні l елементів (l k), в яких множина Y' однакова для всіх l елементів і неможливо провести ребра графа відповідності, то для кожного елемента x та y обох графів записуємо у дужках множини X'' X та Y'' Y, зіставлені елементам x та y відношеннями F– 1 і P– 1, що є оберненими до відношень F і P. Для елементів x X'' виписуємо елементи y Y, що визначаються частковою підстановкою, і поєднуємо ребрами графа відповідності ті елементи x X та y Y з l елементів, що мають одну й ту саму множину Y''. Процес продовжуємо до одержання однієї або кількох підстановок замість k!, і після перевірки умови б теореми 3. 1 робимо висновки про ізоморфізм графів. Ізоморфізм графів 15

Алгоритм розпізнавання ізоморфізму двох графів G = (X, F) і H = (Y, P) за наявності вершин з однаковими парами (s, p) і (v, w) Ізоморфізм графів 16

Узагальнений алгоритм (1) Можна сформулювати узагальнений алгоритм розпізнавання ізоморфізму двох графів. Щоб не повторювати наведений вище алгоритм, запишемо в ньому замість п. 3 два нові пункти: 3 та 3 а. Ізоморфізм графів 17

Узагальнений алгоритм (2) 3. Якщо графи G = (X, F) і H = (Y, P) мають вершини із різними парами (s, p) і (v, w) кожний, то будуємо граф відповідності шляхом поєднання ребрами таких елементів x та y графів G = (X, F) і H = (Y, P), для яких виконується умова а теореми 3. 1. У противному випадку переходимо до п. 6. Якщо графи мають k (k n) вершин з однаковими парами (s, p) і (v, w) кожний, то спочатку поєднуємо ребрами елементи обох графів, що задовольняють умові а теореми 3. 1 і не входять в означені k вершин. Одержуємо часткову підстановку. 3 а. Використовуємо запропонований метод для елементів з однаковими парами (s, p) і (v, w) й одержуємо одну або кілька підстановок замість k! Переходимо до п. 4. Ізоморфізм графів 18

Узагальнений алгоритм (3) Указаний спосіб можна узагальнити на випадок, коли графи G=(X, F) і H = (Y, P) містять k 1, k 2, . . . , km елементів (k 1 + k 2 +. . . + km

Приклад визначення ізоморфізму графів Приклад 3. 4. Задано два графи G = (X, F) і H = (Y, P) (слайд 21). Чи ізоморфні вони? Запишемо елементи x X та y Y обох графів із відповідними їм парами чисел (s, p) і (v, w) та визначимо часткову підстановку за рахунок проведення ребер 1 і 2 (слайд 22). Далі відповідно до викладеного методу послідовно проводимо ребра 3– 7 з використанням відношень F, P і часткових підстановок. Ізоморфізм графів 20

Графи G = (X, F) і H = (Y, P) прикладу 3. 4 Ізоморфізм графів 21

Формування графа відповідності Ізоморфізм графів 22

Сформована підстановка У результаті отримуємо підстановку t = що задовольняє умові б теореми 3. 1. Графи G = (X, F) і H = (Y, P) ізоморфні. Ізоморфізм графів 23