ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР НА ПЛОСКОСТИ
ВЕРНО - НЕВЕРНО ? 1. Верно ли, что через любую точку пространства можно провести множество прямых параллельных данной прямой?
ОТВЕТЫ И ПОДСКАЗКИ n Ответ: Неверно. По теореме о существовании прямой, параллельной данной прямой, через точку пространства можно провести единственную прямую. a b B
ВЕРНО - НЕВЕРНО ? 2. Верно ли, что если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая тоже пересекает эту плоскость?
ОТВЕТЫ И ПОДСКАЗКИ Ответ: Верно. По лемме о пересечении плоскости двумя параллельными прямыми, если одна из параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость. b a M
ВЕРНО - НЕВЕРНО ? 3. Верно ли, что две непересекающиеся прямые в пространстве параллельны?
ОТВЕТЫ И ПОДСКАЗКИ 3. Ответ: неверно. В пространстве не имеют общих точек параллельные и скрещивающиеся прямые. c и d - скрещиваются a // b d b a с
ВЕРНО – НЕВЕРНО? 4. Верно ли, что если две прямые параллельны некоторой плоскости, то они параллельны другу?
ОТВЕТЫ И ПОДСКАЗКИ 4. Ответ: неверно. Эти прямые могут быть не только параллельными, но и пересекаться, а также они могут быть скрещивающимися. b c d m a n a и b параллельны с и d пересекаются m и n скрещиваются
ВЕРНО – НЕВЕРНО? 5. Верно ли, что если две плоскости пересечены двумя параллельными прямыми и отрезки данных прямых, заключённых между ними равны, то плоскости параллельны?
ОТВЕТЫ И ПОДСКАЗКИ 5. Ответ: Неверно. Это утверждение неверно , так как нет условий для выполнения признака параллельности плоскостей. а А Если a // b и АА 1=BВ 1, то плоскости могут быть параллельны, а могут пересекаться b А B В D 1 C 1 В 1 C А 1 B 1
МЕТОД ПРОЕЦИРОВАНИЯ
ЦЕНТРАЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ
ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ Проекция (от лат. projectio – бросание вперёд, выбрасывание). B N 1 – параллельная проекция точки N N C а A B 1 Треугольник A 1 B 1 C 1 – параллельная проекция треугольника ABC N 1 A 1 C 1
ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ Параллельную проекцию реальной фигуры представляет, например, её тень, падающая на плоскую поверхность при солнечном освещении, поскольку солнечные лучи можно считать параллельными.
ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕЦИРОВАНИЕ косоугольное прямоугольное
СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПРОЕЦИРОВАНИЯ 1. Проекция точки есть точка. 2. Проекция прямой есть прямая. n 0 a A n
СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПРОЕЦИРОВАНИЯ 3. Проекция отрезка есть отрезок. Bo a a 4. Проекции параллельных отрезков – параллельные отрезки или отрезки, принадлежащие одной прямой. Bo Do Ao Co Ao A B B A C D
СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПРОЕЦИРОВАНИЯ 5. Проекции параллельных отрезков, а также проекции отрезков, лежащих на одной прямой, пропорциональны самим отрезкам. Bo Co Следствие из свойства 5: Проекция середины отрезка есть середина проекции отрезка. Po No Eo Do a Ao A Ao. Co: Co. Bo=AC: CB C E B D Ao. Bo: Do. Eo=AB: DE D N P Do. No: No. Po=DN: NP=1: 1
СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПРОЕЦИРОВАНИЯ При параллельном проецировании сохраняются следующие свойства фигур 1. Свойство фигуры быть точкой, прямой и плоскостью. 2. Свойство фигур иметь пересечение. 3. Деление отрезка в данном отношении. 4. Параллельность прямых и плоскостей. 5. Свойство фигуры быть треугольником, параллелограммом, трапецией. 6. Отношение длин параллельных отрезков. 7. Отношение площадей двух фигур.
СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПРОЕЦИРОВАНИЯ При параллельном проецировании не сохраняются следующие свойства фигур: 1. Свойство прямых и плоскостей образовывать между собой углы определенной градусной меры (в частности быть взаимно перпендикулярными). 2. Отношение длин не параллельных отрезков. 3. Отношение величин углов между прямыми (в частности, свойство луча быть биссектрисой угла).
Параллельное проектирование для объемных фигур. Если рассматривать любую геометрическую фигуру как множество точек, можно построить в заданной плоскости проекцию данной фигуры. Таким образом можно получить изображение (или «проекцию» ) любой пространственной фигуры на плоскость. а
Изображение плоских фигур. n Фигура в пространстве Произвольный треугольник Равносторонний треугольник n Её изображение на плоскости Произвольный треугольник
n Фигура в пространстве Прямоугольный треугольник Равнобедренный треугольник n Её изображение на плоскости Произвольный треугольник
n Фигура в пространстве Параллелограмм Прямоугольник n Её изображение на плоскости Произвольный параллелограмм Овал (эллипс) Круг
n Фигура в пространстве Квадрат Ромб n Её изображение на плоскости Произвольный параллелограмм
n Фигура в пространстве Произвольная трапеция Равнобокая трапеция Прямоугольная трапеция n Её изображение на плоскости Произвольная трапеция
Алгоритм построения изображения пирамиды. 1. Изображение пирамиды начинают всегда с изображения ее основания: Вершины основания пирамиды выбираем так, чтобы получить наиболее наглядное изображение; Далее вершины соединяются тонкой вспомогательной линией; 2. Построение высоты пирамиды: Исходя из свойств пирамиды и свойств многоугольника, лежащего в основании строится основание высоты; Высота изображается вертикальным отрезком, параллельным краю листа бумаги. 3. Построение боковых ребер: Вершина пирамиды соединяется отрезками с вершинами основания. 4. Невидимые отрезки отмечаем штриховой линией. 5. Выделяем контур.
Задача № 1 Построить изображение пирамиды в основании которой лежит равнобедренный треугольник. Здесь и в дальнейшем строить изображение пирамиды будем согласно приведенному алгоритму. 1. Строим основание пирамиды. Равнобедренный треугольник изображается произвольным треугольником. 2. Строим высоту пирамиды. По свойству пирамиды основание высоты – центр описанной около треугольника окружности, то есть точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Одним из таких перпендикуляров будет медиана, проведенная к основанию треугольника. На проекционном чертеже основание высоты занимает произвольное местоположение на проведенной медиане. 3. Строим боковые ребра, обозначаем невидимые линии, выделяем контур.
Задача № 2 Построить изображение пирамиды в основании которой лежит прямоугольный треугольник. 1. Строим основание пирамиды. Прямоугольный треугольник изображается произвольным треугольником. 2. Строим высоту пирамиды. По свойству пирамиды основание высоты – центр описанной около треугольника окружности, то есть точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. В основании прямоугольный треугольник, поэтому основание высоты – середина гипотенузы. 3. Строим боковые ребра, обозначаем невидимые линии, выделяем контур.
Задача № 3 Построить изображение пирамиды в основании которой лежит правильный треугольник. 1. Строим основание пирамиды. Правильный треугольник изображается произвольным треугольником. 2. Строим высоту пирамиды. По свойству пирамиды основание высоты – центр описанной около треугольника окружности, то есть точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. В основании правильный треугольник, поэтому основание высоты – точка пересечения его медиан. 3. Строим боковые ребра, обозначаем невидимые линии, выделяем контур.
Задача № 4 Построить изображение пирамиды в основании которой лежит прямоугольник. 1. Строим основание пирамиды. Прямоугольник изображается произвольным параллелограммом. 2. Строим высоту пирамиды. По свойству пирамиды основание высоты – центр описанной около четырехугольника окружности, то есть точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. В основании прямоугольник, поэтому основание высоты – точка пересечения его диагоналей. 3. Строим боковые ребра, обозначаем невидимые линии, выделяем контур.
Задача № 5 Построить изображение пирамиды в основании которой лежит квадрат. 1. Строим основание пирамиды. Квадрат изображается произвольным параллелограммом. 2. Строим высоту пирамиды. По свойству пирамиды основание высоты – центр описанной около четырехугольника окружности, то есть точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. В основании квадрат, поэтому основание высоты – точка пересечения его диагоналей. 3. Строим боковые ребра, обозначаем невидимые линии, выделяем контур.
Задача № 6 Построить изображение пирамиды в основании которой лежит равнобедренная трапеция. 1. Строим основание пирамиды. Трапеция изображается трапецией. 2. Строим высоту пирамиды. По свойству пирамиды основание высоты – центр описанной около четырехугольника окружности, то есть точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. В основании равнобедренная трапеция, поэтому основание высоты занимает произвольное местоположение на отрезке соединяющем середины оснований. 3. Строим боковые ребра, обозначаем невидимые линии, выделяем контур.
Алгоритм изображения призмы. 1. Изображение призмы начинают всегда с изображения ее основания: Вершины основания призмы выбираем так, чтобы получить наиболее наглядное изображение; Далее вершины соединяются вспомогательной линией; тонкой 2. Построение высоты призмы: Исходя из свойств призмы и свойств многоугольника, лежащего в основании строится основание высоты; Высота изображается вертикальным отрезком, параллельным краю листа бумаги. 3. Построение боковых ребер: Вершины верхней грани призмы соединяются отрезками с вершинами основания. 4. Невидимые отрезки отмечаем штриховой линией. 5. Выделяем контур.
Задача № 1 Построить изображение призмы в основании которой лежит равнобедренный треугольник. Здесь и в дальнейшем строить изображение призмы будем согласно приведенному алгоритму. 1. Строим основание призмы Равнобедренный треугольник изображается произвольным треугольником. 2. Строим высоту призмы. По свойству призмы основание высоты – центр описанной около треугольника окружности, то есть точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Одним из таких перпендикуляров будет медиана, проведенная к основанию треугольника. На проекционном чертеже основание высоты занимает произвольное местоположение на проведенной медиане. 3. Строим боковые ребра, обозначаем невидимые линии, выделяем контур.
Задача № 2 Построить изображение призмы в основании которой лежит прямоугольный треугольник. 1. Строим основание призмы. Прямоугольный треугольник изображается произвольным треугольником. 2. Строим высоту призмы. По свойству пирамиды основание высоты – центр описанной около треугольника окружности, то есть точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. В основании прямоугольный треугольник, поэтому основание высоты – середина гипотенузы. 3. Строим боковые ребра, обозначаем невидимые линии, выделяем контур.
Задача № 3 Построить изображение правильной треугольной призмы. 1. Строим основание призмы. Правильный треугольник изображается произвольным треугольником. 2. Строим высоту призмы. По свойству призмы основание высоты – центр описанной около треугольника окружности, то есть точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. В основании правильный треугольник, поэтому основание высоты – точка пересечения его медиан. 3. Строим боковые ребра, обозначаем невидимые линии, выделяем контур.
Задача № 4 Построить изображение призмы в основании которой лежит прямоугольник. 1. Строим основание призмы. Прямоугольник изображается произвольным параллелограммом. 2. Строим высоту призмы. По свойству призмы основание высоты – центр описанной около четырехугольника окружности, то есть точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. В основании прямоугольник, поэтому основание высоты – точка пересечения его диагоналей. 3. Строим боковые ребра, обозначаем невидимые линии, выделяем контур.
Задача № 5 Построить изображение правильной четырехугольной призмы. 1. Строим основание призмы. Квадрат изображается произвольным параллелограммом. 2. Строим высоту призмы. По свойству призмы основание высоты – центр описанной около четырехугольника окружности, то есть точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. В основании квадрат, поэтому основание высоты – точка пересечения его диагоналей. 3. Строим боковые ребра, обозначаем невидимые линии, выделяем контур.
Задача № 6 Построить изображение призмы в основании которой лежит равнобедренная трапеция. 1. Строим основание призмы. Трапеция изображается трапецией. 2. Строим высоту призмы. По свойству призмы основание высоты – центр описанной около четырехугольника окружности, то есть точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. В основании равнобедренная трапеция, поэтому основание высоты занимает произвольное местоположение на отрезке соединяющем середины оснований. 3. Строим боковые ребра, обозначаем невидимые линии, выделяем контур.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ n n n 1. Что является параллельной проекцией отрезка, треугольника, прямоугольника, квадрата, окружности? 2. Какие величины не изменяются при параллельном проецировании? (длина отрезка, градусная мера углов, отношения длин отрезков, отношение площадей двух фигур)? 3. Может ли при параллельном проецировании параллелограмма получиться трапеция и наоборот?
Скачать презентацию ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР НА ПЛОСКОСТИ ВЕРНО —
Математика.ppt