ИЗГИБ Под изгибом понимается такой вид нагружения при

ИЗГИБ Под изгибом понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают изгибающие моменты т. е. My>0 или Mx>0

Напряжения при чистом изгибе Под чистым изгибом, понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают только изгибающие моменты, a Q=0. Для тех участков стержня, где соблюдается это условие, изгибающий момент, остается постоянным М=const.

Напряжения при чистом изгибе

Напряжения при чистом изгибе Можно обнаружить, что совокупность точек, расположенных до изгиба в плоскости поперечного сечения стержня, после изгиба также образует плоскость, но переместившуюся и пространстве. Это утверждение, будучи точным для чистого изгиба, в общем случае является приближенным и именуется гипотезой плоских сечений, о которой мы уже говорили.

Напряжения при чистом изгибе

Напряжения при чистом изгибе Условно примем левое сечение за неподвижное. Тогда в результате поворота правого сечения на угол dθ верхние слои удлинятся, а нижние — укоротятся. Очевидно, существует слой, в котором удлинения отсутствуют. Назовем его нейтральным слоем. Отметим его отрезком CD.

Напряжения при чистом изгибе В результате поворота сечений изменение кривизны нейтрального слоя будет следующим: 1/ρ= dθ/ dz Произвольно взятый отрезок AB=dz получит приращение длины А'В' — АВ. Так как сечения остаются плоскими, А'В' – АВ=(ρ+y)dθ- ρ dθ =y dθ где у — расстояние от рассматриваемого отрезка АВ до нейтрального слоя CD. Допустим, что положение этого слоя пока неизвестно.

Напряжения при чистом изгибе Относительное удлинение слоя АВ равно ε= y dθ/ dz= y/ρ По закону Гука σ=E ε =E y/ρ Таким образом, при чистом изгибе напряжения в поперечном сечении изменяются по линейному закону.

Напряжения при чистом изгибе Геометрическое место точек в сечении, удовлетворяющее условию σ =0, называется нейтральным слоем или нейтральной линией сечения. Нейтральная линия, очевидно, перпендикулярна к плоскости кривизны изогнутого стержня.

Напряжения при чистом изгибе Свяжем теперь напряжение σ с внутренними силовыми факторами. Сумма элементарных сил σ d. F дает нормальную силу N в сечении. Но при чистом изгибе N=0. Поэтому N=∫F σ d. F=0 или, согласно выражению для σ, E/ρ ∫F y d. F=0 откуда ∫F y d. F=0

Напряжения при чистом изгибе

Напряжения при чистом изгибе Этот интеграл представляет собой знакомый нам статический момент сечения относительно нейтральной линии. Так как статический момент равен нулю, нейтральная линия проходит через центр тяжесmu сечения.

Напряжения при чистом изгибе Соответственно координата y получает определенность - она отсчитывается от центральной оси, перпендикулярной плоскости кривизны. Точно так же получает определенность и кривизна 1/ρ , как кривизна нейтрального слоя или как кривизна оси стержня.

Напряжения при чистом изгибе Внесем определенность в систему осей х, у, z, связанную с сечением. Начало координат О совместим с центром тяжести сечения. Ось z направим по нормали к сечению, а ось х по нейтральной линии. Ось у перпендикулярна оси х, следовательно, она лежит в плоскости изменения кривизны.

Напряжения при чистом изгибе Это — так называемая подвижная система осей, положение которой меняется в пространстве при переходе от одного сечения к другому. Изгибающий момент в поперечном сечении стержня, как и нормальная сила, может быть выражен через напряжения σ : ∫F σ x d. F=My ; ∫F σ y d. F=Mx.

Напряжения при чистом изгибе Рассмотрим частный случай, при котором имеет место совпадение плоскостей момента и кривизны. При этом момент элементарных сил σ d. F относительно оси у равен нулю, а относительно оси х — полному изгибающему моменту М. Соответственно получаем E/ρ ∫F y x d. F=0; E/ρ ∫F y 2 d. F=M

Напряжения при чистом изгибе Первое выражение приводится к виду Jху=0 Это значит, что изменение кривизны стержня происходит в плоскости момента в том случае, если последняя проходит через одну из главных осей сечения. Такой изгиб называется прямым. В отличие от прямого изгиба, изгиб при котором плоскость изгибающего момента с главной осью сечения не совпадает, называется косым изгибом.

Напряжения при чистом изгибе Из второго выражения получаем зависимость кривизны стержня от изгибающего момента: 1/ρ=M/ E Jх где Jх — момент инерции сечения относительно главной центральной оси, перпендикулярной плоскости изгибающего момента. Величина EJх называется жесткостью стержня при изгибе.

Напряжения при чистом изгибе Жесткостью стержня при изгибе пропорциональна четвертой степени линейных размеров сечения. Возвращаясь к формуле σ=E ε =E y/ρ и исключая из нее кривизну 1/ρ, получаем выражение для σ σ = M y/ Jх

Напряжения при чистом изгибе Максимальное напряжение при изгибе возникает в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии: σmax = M ymax/ Jх Отношение Jх/ ymax называется моментом сопротивления сечения при изгибе и обозначается через Wх измеряется в см 3 или мм 3 Соответственно σmax = Mизг/ Wх Эта формула является основной в расчетах на прочность при изгибе.

Напряжения при поперечном изгибе В случае поперечного изгиба в сечении стержня возникает не только изгибающий момент, но и поперечная сила Q. Эта сила представляет собой равнодействующую элементарных распределенных сил, лежащих в плоскости сечения. Следовательно в поперечных сечениях возникают не только нормальные, но и касательные напряжения.

Напряжения при поперечном изгибе

Напряжения при поперечном изгибе Возникновение касательных напряжений τ сопровождается появлением угловых деформаций γ. Поэтому, кроме основных смещений, свойственных чистому изгибу, каждая элементарная площадка сечения d. F получает еще некоторые дополнительные угловые смещения, обусловленные сдвигом.

Напряжения при поперечном изгибе Касательные напряжения распределены по сечению неравномерно. Поэтому неравномерно будут распределены и угловые смещения. Это значит, что при поперечном изгибе в отличие от чистого изгиба поперечные сечения не остаются плоскими.

Напряжения при поперечном изгибе

Напряжения при поперечном изгибе На величине нормальных напряжений искажение плоскости поперечных сечений заметным образом не сказывается. В частности, если поперечная сила Q не меняется по длине стержня, то формулы σ = M y/ Jх σmax = Mизг/ Wх выведенные для случая чистого изгиба, будут давать совершенно точные результаты и в случае поперечного изгиба.

Напряжения при поперечном изгибе При поперечной силе, изменяющейся вдоль оси стержня, формулы чистого изгиба дают для σ некоторую погрешность. Можно показать, что величина этой погрешности имеет порядок отношения h/ L, где h — размер поперечного сечения в плоскости изгиба, а L — длина стержня. В реальных конструкциях размеры поперечного сечения стержня много меньше его длины. Следовательно, величина h/L относительно мала и соответственно незначительной оказывается погрешность.

Напряжения при поперечном изгибе Все сказанное дает основание использовать гипотезу плоских сечений. Это предположение приемлемо в той мере, в какой угловые деформации γ в сечении можно считать существенно меньшими, чем угловые перемещения, обусловленные изменением кривизны бруса.

Напряжения при поперечном изгибе Второй особенностью поперечного изгиба является наличие нормальных напряжений, возникающих в продольных сечениях бруса, т. е. напряжений «надавливания» между слоями. Эти напряжения возникают только при переменной поперечной силе Q и имеют весьма малую величину.

Напряжения при поперечном изгибе Теперь определим касательные напряжения τ при поперечном изгибе. Рассчитать эти напряжения проще всего через парные им касательные напряжения, возникающие в продольных сечениях стержня. Выделим из бруса элемент длиной dz. При поперечном изгибе моменты, возникающие в левом и правом сечениях элемента, не одинаковы и отличаются на величину d. M.

Напряжения при поперечном изгибе

Напряжения при поперечном изгибе Продольным горизонтальным сечением, проведенным на расстоянии у от нейтрального слоя, разделим элемент на две части и рассмотрим условия равновесия верхней части. Равнодействующая нормальных сил σd. F в левом сечении в пределах заштрихованной площади F* равна, очевидно, N* = ∫F* σd. F, или N* =M/Jx ∫F* y 1 σd. F где через y 1 обозначена в отличие от у текущая ордината площадки d. F.

Напряжения при поперечном изгибе

Напряжения при поперечном изгибе Полученный интеграл представляет собой статический момент относительно оси х части площади, расположенной выше продольного сечения (выше уровня у). Обозначим этот статический момент через S*x. Тогда N* =M S*x /Jx

Напряжения при поперечном изгибе В правом сечении нормальная сила будет другой N*+d N* =(M+d. M) S*x /Jx Разность этих сил d N* =d. M S*x /Jx должна уравновешиваться касательными силами, возникающими в продольном сечении элемента.

Напряжения при поперечном изгибе

Напряжения при поперечном изгибе В качестве первого приближения примем, что касательные напряжения распределены по ширине сечения b равномерно. Тогда d. M S*x /Jx =τ b dz откуда τ = Q S*x / b Jx Полученная формула носит название формулы Журавского, по имени русского ученого 19 века, который впервые провел общее исследование касательных напряжений при поперечном изгибе.

Напряжения при поперечном изгибе Зависимость τ от у в сечении определяется через статический момент S*x. При подходе к верхней кромке сечения площадь заштрихованной части сечения уменьшается до нуля, следовательно, S*x =0. При подходе к нижней кромке S*x =0 также.

Напряжения при поперечном изгибе Зависимость τ от у в сечении стержня прямоугольного сечения со сторонами b и h можно определить следующим образом S*x =b/2(h 2 /4 -y 2 ), Jx =bh 2 /12, b=b Следовательно, τ = 6 Q /bh 3 (h 2 /4 -y 2 ) а τmax = 3 Q /2 bh

Напряжения при поперечном изгибе

Напряжения при поперечном изгибе Из примера можно сделать общий вывод, что зона максимальных касательных напряжений расположена приблизительно в средней части высоты сечения, а τмах для нетонкостенных сечений имеет значение порядка Q/F

Напряжения при поперечном изгибе Можно произвести сопоставление абсолютных величин максимальных нормальных и максимальных касательных напряжений. Например, для консольной балки прямоугольного сечения имеем мах= Мизг/Wx =6 Pl/bh 2 , τ мах = 3 P /2 bh откуда τ мах/ мах=h/4 l т. е. касательные напряжения существенно меньше нормальных.

Напряжения при поперечном изгибе В связи с малостью величины τмах расчет на прочность при поперечном изгибе производится только по нормальным напряжениям, как и при чистом изгибе. Указанная оценка, с немногочисленными исключениями, сохраняется для всех нетонкостенных стержней.

Напряжения при поперечном изгибе

Напряжения при поперечном изгибе Внешняя сила, приходящаяся на лист, равна P/n, а наибольшее нормальное напряжение в поперечном сечении листа равно мах= Мизг/Wx = (P/n)l/(b/6)(h/n)2=6 Pln/bh 2 Если листы плотно стянуть достаточно жесткими болтами, брус будет изгибаться как целый.

Напряжения при поперечном изгибе В этом случае величина наибольшего нормального напряжения оказывается в n раз меньшей, т. е. мах=6 Pl/bh 2 Иными словами, связанный пакет листов способен в первом приближении выдержать нагрузку в n раз большую, чем несвязанный.

Внецентренное растяжение и сжатие При внецентренном растяжении равнодействующая внешних сил не совпадает с осью стержня, как при обычном растяжении, а смещена относительно оси z и остается ей параллельной. Пусть точка А приложения равнодействующей внешних сил имеет в сечении координаты х0 и у0. Тогда относительно главных осей равнодействующая сила Р дает моменты Мх=Ру0 и Му=Рх0

Внецентренное растяжение и сжатие

Внецентренное растяжение и сжатие Таким образом, внецентренное растяжение — сжатие оказывается родственным косому изгибу. В отличие от последнего, однако, при внецентренном растяжении в поперечном сечении стержня возникают не только изгибающие моменты, но и нормальная сила N=P.

Внецентренное растяжение и сжатие При внецентренном растяжении — сжатии в отличие от косого изгиба нейтральная линия не проходит через центр тяжести сечения. По мере того как точка приложения силы удаляется от центра тяжести нейтральная линия приближается к центру тяжести.

Внецентренное растяжение и сжатие При внецентренном растяжении и сжатии нейтральная линия может как пересекать сечение, так и находиться за его пределами. В первом случае в сечении возникают и растягивающие, и сжимающие напряжения. Во втором случае напряжения во всех точках сечения будут одного знака.

Внецентренное растяжение и сжатие Данное свойство имеет значение, например, для расчета сжатых кирпичных или бетонных колонн. Эти материалы плохо сопротивляется растяжению. Поэтому желательно, чтобы напряжения при внецентренном сжатии были для всего сечения сжимающими и чтобы нейтральная линия проходила за пределами сечения.

Внецентренное растяжение и сжатие Для этого нужно внешнюю силу прикладывать достаточно близко к центру тяжести. В окрестности центра тяжести существует область, называемая ядром сечения. Если сила Р приложена внутри ядра сечения, напряжения во всех точках сечения будут одного знака.

Внецентренное растяжение и сжатие Если сила приложена за пределами ядра сечения, нейтральная линия пересекает сечение, и напряжения в сечении будут как сжимающими, так и растягивающими. Когда точка приложения силы находится на границе ядра, нейтральная линия касается контура сечения.