Избранные вопросы теории многогранников Ростов-на-Дону 2010 г.
Теория многогранников, в частности выпуклых многогранников, — одна из самых увлекательных глав геометрии. Л. А. Люстерник
Многогранники в природе (кристаллы и вирусы)
Икосаэдро-додекаэдрическая структура Земли В земной коре как бы проступают проекции вписанных в земной шар правильных многогранников: икосаэдра и додекаэдра. 62 их вершины и середины ребер, называемые узлами, оказывается, обладают рядом специфичecких свойств, позволяющих объяснить многие непонятные явления.
Многогранники в искусстве
Ярчайшим примером художественного изображения многогранников в XX веке являются графические фантазии Маурица Корнилиса Эшера (1898 -1972) Голландский художник, родившийся в Леувардене.
Вклад ученых в теорию многогранников Платон (427– 347 до н. э. ) Одним из существенных черт его учения является рассмотрение идеальных объектов - абстракций. икосаэдр октаэдр куб тетраэдр додекаэдр
Архимедовы тела Существует семейство тел, родственных Платоновым - это полуправильные выпуклые многогранники
Кеплер Иоганн (1571 -1630 г) – немецкий астроном В 1596 году Кеплер предложил правило, по которому вокруг сферы Земли описывается додекаэдр, а в нее вписывается икосаэдр
Виды выпуклых многогранников Тетраэдр Гексаэдр (куб) Октаэдр
Додекаэдр Икосододекаэдр
Виды невыпуклых многогранников Звёздчатый октаэдр Большой додекаэдр Соединение пяти октаэдров
Теорема Рассмотрим два известных многогранника: тетраэдр и куб. Обозначим: В – вершины многогранника, Р – ребра, Г – грани. Составим следующую таблицу:
В последнем столбце таблицы вычисляется величина Э, которая равна В + Г – Р. Таким образом, имеет место равенство: В + Г – Р = 2. Оно называется формулой Эйлера для многогранников.
Доказательство теоремы Эйлера Пусть ∑ - поверхность простого многогранника, В(∑), Г(∑) и Р(∑). Тогда Э(∑) = В(∑) + Г(∑) - Р(∑). Доказать, что Э(∑) = 2. Введем обозначения S 0 – поверхность некоторой сферы; L 0 – криволинейная сетка; Р(S 0), Г(S 0), В(S 0) – ребра, грани и вершины поверхности S 0. Э(S 0)=Г(S 0)+ В(S 0)- Р(S 0)= Э(∑)
Вырежем из поверхности сферы S 0 одну грань и гомеоморфно деформируем полученную сферу в плоскую область (рис. 1, а). Вследствие деформации сферы сетка L 0 на S 0 трансформируется в некоторую сетку L 1 на ∑ 1. Тогда Э(∑ 0)=Э(∑ 1)+1 (*) Для нахождения Э(∑ 1) будем последовательно упрощать область ∑ 1, убирая ребра, грани и вершины так, чтобы на каждом этапе величина Э=В+Г-Р не менялась.
Ребро АВ и грань α принадлежит поверхности ∑ 1. Для ∑ 2 выполняется Э(∑ 2)=Э(∑ 1). Далее удалим из ∑ 2 ребро АС и грань β (рис. 1, б). Для ∑ 3 выполняется Э(∑ 3)=Э(∑ 2). После k-го шага придем к области ∑k+1, являющейся многоугольником. Поэтому Э(∑k+1)=1. значит, Э(∑ 1)= Э(∑k+1)=1 и в силу (*) Э(∑ 0)=2 Рис. 1
Обобщенная теорема Эйлера ∑ - произвольная поверхность, L – криволинейная сетка. Пусть ВL(∑), ГL(∑) и РL(∑) суть числа вершин, граней и ребер сетки L. Тогда ЭL(∑)= ВL(∑)+ ГL(∑) -РL(∑).
Возникают интересные вопросы: 1. Зависит ли величина ЭL(∑) от выбора сетки L; 2. Будут ли все поверхности ∑ с одним и тем же значением Э(∑) гомеоморфны другу.
Ответ на первый вопрос: Не зависит. ЭL(∑) определяется ∑ и, значит, ЭL(∑)= Э(∑). Рассмотрим произвольные сетки L 1 и L 2, L 3 получается наложением сеток L 1 и L 2 друг на друга. Тогда, рассматривая сетку L 3 как произошедшую из L 1 и аккуратно подсчитывая образованные грани, ребра и вершины, получаем
Ответ на второй вопрос: Поверхности с одним и тем же значением Э(∑) гомеоморфны другу. Поверхности с различными значениями Э(∑) не могут быть гомеоморфны другу, так как при гомеоморфных отображениях величин Э(∑) сохраняется.
Следствие из теоремы Эйлера Если все грани выпуклого многогранника суть треугольники, причем в некоторых вершинах они сходятся по шесть, а во всех остальных по пять граней, то вершин, в которых сходятся пять граней, будет ровно двенадцать.
Скачать презентацию Избранные вопросы теории многогранников Ростов-на-Дону 2010 г
Избранные вопросы теории многогранников.ppt