IV ПЛОСКАЯ ОДНОРОДНАЯ ЛИНЕЙНО ПОЛЯРИЗОВАННАЯ ВОЛНА В НЕОГРАНИЧЕННОЙ

IV. ПЛОСКАЯ ОДНОРОДНАЯ ЛИНЕЙНО ПОЛЯРИЗОВАННАЯ ВОЛНА В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОДНОРОДНОЙ ЛИНЕЙНОЙ СРЕДЕ

4. 1 ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ Фронт волны – поверхность, на которой фаза волны постоянна. Плоской называется волна, фронт которой – плоскость. Однородной называется волна, параметры которой в пределах фронта неизменны. Плоскость поляризации – плоскость, в которой лежат векторы и . Поляризация называется линейной, если в процессе распространения положение плоскости поляризации не изменяется. Реально существуют волны с неплоским фронтом. M . Источник R L Фронт можно считать плоским, если R>>L.

4. 2 РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ПЛОСКОЙ ОДНОРОДНОЙ ВОЛНЫ Естественной называется система координат одна из осей которой совпадает с направлением распространения волны. Система уравнений Максвелла: Из (4. 2) получим: Подставив (4. 3) в (4. 1) после несложных преобразований будем иметь: Как известно:

Тогда (4. 4) с учётом (4. 5) примет вид: Применив к обеим частям (4. 1) оператор и обозначив учитывая, что получим однородное волновое уравнение (уравнение Гельмгольца). Здесь оператор Введём естественную систему координат: x Тогда фронт волны параллелен пл. XOY. z y Для плоской однородной волны:

Тогда (4. 8) : (4. 10) примет вид: Поскольку откуда: Общее решение (4. 12): Очевидно: Тогда: амплитуда прямой волны, распространяющейся в сторону увеличения координаты z. амплитуда обратной волны, распространяющейся в сторону уменьшения координаты z, откуда с учётом (4. 11) получим:

Магнитное поле найдём из (4. 3):

Основные результаты. 1. Поле – суперпозиция двух волн, движущихся в противоположных направлениях - +z и –z ( прямая и обратная волны). 2. Поля и имеют лишь поперечные составляющие и взаимно перпендикулярны. 3. Отношение комплексных амплитуд Размерность: Величина , равная отношению комплексных амплитуд называется характеристическим сопротивлением среды, в которой распространяется электромагнитная волна. и , 4. Поскольку в уравнении (4. 1) отсутствуют сторонние токи, амплитуды и останутся неопределёнными.

4. 3 ПЛОСКАЯ ВОЛНА В ИДЕАЛЬНОЙ СРЕДЕ Идеальной называется среда без потерь. Параметры среды будут вещественными величинами; значит величины и также вещественны. Будем рассматривать электрическое поле прямой волны, т. к. магнитное поле связано с ним однозначно, а поле обратной волны при необходимости можно получить, поменяв в поле прямой волны знаки перед на противоположные. Из (4. 14) получим: Для анализа удобно перейти к вещественной записи: Величина - фаза поля. Тогда уравнение поверхности равных фаз т. е волна – плоская.

Рассмотрим несколько случаев. 1) Поле в точке. Тогда из (4. 18) получим, пренебрегая векторным характером поля: Период – минимальный промежуток времени между двумя точками, имеющими одинаковую фазу. Тогда откуда: Таким образом, - скорость изменения фазы во времени. 2) Поле при . Тогда: Длина волны – минимальное расстояние между двумя точками, имеющими одинаковую фазу. Тогда откуда: Значит, - скорость изменения фазы в пространстве.

Величина в случае среды без потерь называется постоянной распространения или фазовой постоянной. 3) Пусть за промежуток времени сместилась на точка с фиксированной фазой называется. Фазовой скоростью волны скорость движения точки с фиксированной фазой. Очевидно, Тогда Откуда

Значит, в среде без потерь фазовая скорость не зависит от частоты. 4) Поскольку Из (4. 24) получим: вещественная величина, синфазны. т. е. в среде без потерь 5) Скорость движения энергии: Очевидно, откуда т. е. в среде без потерь и

Основные свойства поля плоской волны в идеальной среде: 1. Амплитуда поля неизменна. 2. Поля и синфазны. 3. Фазовая скорость не зависит от частоты. 4. x 5. y

E z H

4. 4 ПЛОСКАЯ ВОЛНА В СРЕДЕ С ПОТЕРЯМИ 1. Общие соотношения Пусть Тогда где

Характеристическое сопротивление где Таким образом, в среде с потерями поля не синфазны. и

Электрическое поле в вещественной форме амплитуда поля. Здесь .

Глубина проникновения убывает в – расстояние, на котором амплитуда поля раз. Из (4. 34) получим Фазовая скорость Длина волны постоянная распространения; коэффициент затухания; коэффициент фазы.

2. Вывод основных констант Из (4. 28) : Возведя обе части (4. 39) в квадрат, получим: откуда Результат решения:

Здесь обозначено Очевидно, Тогда получим: из (4. 37) Значит, в среде с потерями фазовая скорость зависит от частоты ! Это явление называется дисперсией. из (4. 38)

Основные свойства поля плоской волны в среде c потерями: 1. Амплитуда поля убывает с увеличением z. 2. Поля Е и Н не синфазны. 3. Фазовая скорость зависит от частоты (дисперсия). 4. Дисперсия приводит к искажению сигнала, распространяющегося в среде с потерями.

E z H

3. Поле в хорошем проводнике В хорошем проводнике Тогда из (4. 43) и (4. 44) получим: откуда Значит, разность фаз Е и Н Поле быстро затухает.

4. Поле в хорошем диэлектрике В хорошем диэлектрике Тогда из (4. 44) получим: В (4. 43) разложим в ряд: Подставив (4. 45) в (4. 43), получим: Значит, и поле при распространении слабо затухает.