Итоги секции математики 5 -11 классы заочный этап

Итоги секции математики 5 -11 классы (заочный этап XVII турнира им. М. В. Ломоносова)

Структура заданий и их оценивание Количество заданий Часть 1 Часть 2 Форма ответа Оценивание 5 4 кода (1, 2, 3 и 4) только один верный Верный ответ – 1 балл; неверный – 0 баллов 10 Свободный ответ Целое число или конечная десятичная дробь без единиц измерения (!) Верный ответ – 2 балла; неверный – 0 баллов

Идеи решения некоторых задач 5 класс 5. В коробке лежат большие и маленькие рубашки: на больших пришито по 7 пуговиц, а на маленьких – по 4. Вася насчитал в общей сложности 10 рубашек и всего на них 60 пуговиц. Каких рубашек в коробке больше: больших или маленьких? 1) больших 2) маленьких 3) поровну 4) Вася заведомо ошибся при подсчете

Решение. Краткая запись условия: Б + М = 10 7 Б + 4 М = 60 Количество больших рубашек может быть только четным числом: 2, 4, 6 или 8. Можно сократить перебор до двух вариантов (делимость на 4) Вывод: правильный ответ 4) – Вася ошибся

12. Одноклассники Вася и Петя живут в одном доме, на каждой лестничной клетке которого 4 квартиры. Вася живет на пятом этаже, в квартире 83, а Петя — на третьем этаже в квартире 169. Сколько этажей в доме?

Решение. Сначала надо считать площадки (на каждой по 4 квартиры). Вася живет в квартире 83 – это 21 -я площадка и 5 -й этаж; Петя живет в квартире 169 – это 43 -я площадка и 3 -й этаж. 21 – 5 = 16 43 – 3 = 40 Ответ. 8 этажей в доме.

6 класс 11. В зоологическом магазине есть 17 волнистых попугайчиков. Надо разместить их по клеткам, так, чтобы ни в каких двух из них не оказалось одинакового количества попугаев. Какое наибольшее число клеток можно занять таким образом?

Основная идея: построить оценку и придумать пример. 1) Чтобы занять как можно больше клеток, количество попугаев в клетке должно быть как можно меньше. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 > 17 2) Пример для пяти клеток: 1 + 2 + 3 + 4 + 7 = 17 Ответ. 5

15. На клетчатой бумаге нарисован квадрат с размерами 101 × 101 клетки. Из левого верхнего угла вырезали клеточку, а затем стали вырезать каждую пятую клетку (см. рис. ). Так сделали с каждой стороной квадрата. Найдите периметр получившейся фигуры. (За единицу измерения примите сторону клетки. )

Два важных вопроса для поиска решения: 1) Как меняют периметр вырезанные квадраты? 2) Сколько всего квадратов вырезали?

101 4 + 19 2 4 = (101 + 38) 4 = 139 4 = (150 – 11) 4 = 600 – 44 = 556 Ответ. 556.

7 класс 4. В июне число солнечных дней составило 25% от количества пасмурных, количество тёплых – 20% от количества холодных. Только три дня были и солнечными, и тёплыми. Сколько было и пасмурных и холодных дней? (Всего в июне 30 дней. ) 1) 27 2) 22 3) 19 4) 17

Солнечные дни составляют четверть от пасмурных дней, т. е. солнечных – 6 дней, пасмурных – 24 дня. Теплые дни составляют пятую долю от холодных дней, т. е. теплых – 5 дней, холодных – 25 дней. Солнечных – 6, теплых – 5, причем 3 дня солнечные и теплые, значит, теплых и при этом пасмурных было только 2 дня. Всего пасмурных 24, тогда 22 пасмурных и холодных. Ответ. 22 дня (код 2)

6. Три дюжины лимонов стоят столько рублей, сколько дают лимонов на 16 рублей. Сколько рублей стоит дюжина лимонов? (Одна дюжина – это 12. )

Основная идея решения – пропорция. 36 лимонов – х рублей х лимонов – 16 рублей 2 = 36 16 х х = 6 4 = 24 Ответ. 8.

8 класс 4. Малыш и Карлсон съели 75% всего запаса варенья, причем на долю Малыша пришлось 4% съеденного варенья. Сколько процентов от общего запаса варенья съел Карлсон? 1) 74% 2) 73% 3) 72% 4) 71%?

Главный вопрос при работе с процентами: что считать целым (от чего считаются проценты)? Съедено 75% всего варенья, т. е. Малыш съел 4% от этого, т. е. 0, 04 = 0, 03, т. е. 3% от всего варенья. Значит, Карлсон съел 72 % от общего запаса (75 – 3 = 72). Ответ. 72% (код 3)

9. Таракан Валентин объявил, что умеет бегать со скоростью 65 м/мин. Ему не поверили, и правильно: на самом деле Валентин все перепутал и думал, что в метре 60 сантиметров, а в минуте 100 секунд. Расстояние Валентин измерял в сантиметрах, причем сделал это правильно, а время – в секундах, и тоже при этом не ошибся. С какой скоростью (в «нормальных» м/мин) бегает таракан Валентин?

Решение. Ответ. 23, 4 м/мин.

9 класс 6. Найдите значение выражения: если х = 0, 125. Решение «методом пристального всматривания» . Ответ. -3.

11. Имеется желоб, по которому в обе стороны могут кататься одинаковые шарики с фиксированной скоростью. Если два шарика соударяются, каждый из них меняет направление своего движения на противоположное. С одного конца желоба двигаются пять шариков на равных расстояниях друг от друга, с другого конца – семь шариков (тоже на равных расстояниях друг от друга). Сколько всего будет соударений?

Оригинальная идея: после столкновения шарики не меняют направления своего движения, а как бы, пройдя через друга, продолжают движение в заданном направлении. Количество соударений, это количество парных встреч, т. е. 5 7 = 35. Ответ. 35.

10 класс 2. Водитель проехал первые 40% пути со скоростью, на 20% меньшей запланированной. На сколько процентов он должен увеличить свою фактическую скорость на оставшемся участке пути, чтобы в итоге весь путь был пройден на 2% быстрее, чем планировалось? 1) 25% 3) 45, 75% 2) 37, 5% 4) 56, 25%

Удобно обозначить два участка пути как 2 S и 3 S, а планируемую скорость v. Тогда планируемое время в пути – 5 S/v. Скорость на первом участке пути – 0, 8 v; а на втором участке – х 0, 8 v ( х – коэффициент, соответствующий проценту увеличения фактической скорости). Уравнение:

Ответ. 56, 25% (код 4).

12. Последовательность чисел 1, 8, 22, 43, … обладает тем свойством, что разности двух соседних членов (последующего и предыдущего) образуют арифметическую прогрессию. Найдите номер члена последовательности, равного 35 351.

а 1 = 1 а 2 = 8 = а 1 + 7 а 3 = 22 = 8 + 14 = а 2 + 7 2 = а 1 + 7(1 + 2) а 4 = 43 =22 + 21 = а 3 + 7 3 = а 1 + 7(1 + 2 + 3) … аn = а 1 + 7(1 + 2 + 3 + … + (n-1))

Ответ. 101.

11 класс 2. Какое максимальное число квадратов можно сделать из двенадцати одинаковых спичек? Спички при этом не должны пересекать друг на друга. 1) 7 2) 6 3) 5 4) 4

Решение. Ключевая идея: выйти из плоскости (куб). Ответ. 6 квадратов (код 2).

15. Решите уравнение . В ответе укажите значение , где n – количество решений уравнения, а m – минимальное среди них. Решение.

k = -1; 0 или 1. Таким образом, количество решений: n = 3. Функция у = 3 arcsinx является возрастающей, значит, наименьшее значение x соответствует условию k = -1, т. е. Тогда Ответ. -3.

Благодарю за внимание! Желаю успехов Вам и Вашим ученикам!