Итерационные методы решения СЛАУ 1 — сходящийся итерационный

Итерационные методы решения СЛАУ (1) - сходящийся итерационный процесс

Алгоритм: 1. 2. 3. 4. точность начальное приближение Реализация (4) -выход.

Теорема Необходимым и достаточным условием сходимости итерационного процесса (4) при любом начальном приближении является требование, чтобы все собственные числа матрицы В по модулю были меньше 1, т. е. (5) Определение. Число называется собственным числом матрицы В, если существует такое, что называется собственным вектором матрицы В, соответствующим числу (7) определение собственного числа

Теорема Пусть , тогда при любом начальном приближении итерационный процесс сходится к единственному решению системы (1) и при этом справедливы оценки: Замечание. Аналогичные оценки имеют место для метода простых итераций

Теорема Если дифференцируема и при этом выполняются условия что то итерационный процесс и при этом выполняются оценки

Конкретные представители итерационных методов решения СЛАУ

Метод Якоби (1)

Итерационный процесс строится на основании (2) идет до тех пор пока не выполнится

Метод Зейделя из (1) выражаем по формуле (2) и итерационный процесс строится следующим образом: идет до тех пор пока не выполнится (4) или его аналог (5)

Матричная запись методов Якоби и Зейделя

Итерационный процесс (3) в матричном виде Убедимся что (10) сходится к решению

Матричная запись метода Зейделя

Покажем что (13) или (14) сходится к решению (11)

Условия сходимости метода Якоби 1. Достаточное условие Если матрица А имеет диагональное преобладание, то метод Якоби сходится. отметим для доказательства

2. Необходимое и достаточное условие Для того, чтобы итерационный процесс сходился, необходимо и достаточно чтобы все корни уравнения Доказательство:

Необходимое и достаточное условие сходимости метода Зейделя Для того, чтобы итерационный процесс сходился, необходимо и достаточно чтобы все корни уравнения Доказательство:

Метод Зейделя для нормальных систем называется нормальной, если матрица А Система симметрическая и положительно определенная. Теорема Для нормальных систем метод Зейделя сходится всегда. Получение нормальной системы Замечание. Если матрица А имеет диагональное преобладание, То метод Зейделя сходится и скорость сходимости выше чем у метода Якоби.