Итерационные методы решения систем линейных уравнений СЛАУ —

Итерационные методы решения систем линейных уравнений (СЛАУ) - Условия сходимости - Приведение матрицы к диагональному виду - Метод простой итерации - Метод Гаусса-Зейделя

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ Сходимость итерационного метода решения. Для сходимости необходимо и достаточно, чтобы | i(G)| < 1, где i(G) – все собственные значения матрицы G. Сходимость гарантирована также, если исходная матрица А имеет диагональное преобладание, т. е. Это значит, что диагональный элемент матрицы по модулю больше суммы модулей элементов матрицы этой строки. Если же в матрице А нет диагонального преобладания, его нужно добиться посредством каких-либо ее линейных преобразований, не нарушающих их равносильности.

Приведение матрицы к диагональному преобладанию 2<1, 8+0, 4 2<3+1, 1 7>1+1 Как видно в уравнениях (I) и (II) нет диагонального преобладания, а в (III) есть, поэтому его оставляем неизменным. Добьемся диагонального преобладания в уравнении (I). Умножим (I) на , (II) на , сложим оба уравнения и в полученном уравнении выберем и так, чтобы имело место диагональное преобладание:

Умножим (I) на , (II) на , сложим оба уравнения и в полученном уравнении выберем и так, чтобы имело место диагональное преобладание: (2 + 3 ) х1 + (– 1, 8 + 2 ) х2 +(0, 4 – 1, 1 )х3 = Взяв = = 5, получим 25 х1 + х2 – 3, 5 х3 = 5. Для преобразования второго уравнения (II) с преобладанием, (I) умножим на , (II) умножим на , и из (II) вычтем (I). Получим (3 – 2 ) х1 + (2 + 1, 8 ) х2 + +(– 1, 1 – 0, 4 )х3 = − . Положим = 2, = 3, получим 0 х1 + 9, 4 х2 – 3, 4 х3 = − 3. В результате получим систему:

МЕТОД ПРОСТОЙ ИТЕРАЦИИ Вычисления продолжаются до тех пор, пока разница между предыдущим и последующим значениями х будет равна или меньше заданной погрешности

ПРИМЕР. Методом простой итерации с точностью =0, 001 решить систему линейных уравнений. Запишем его в виде итераций. В качестве начального приближения возьмем вектор свободных членов, т. е. = (2, 15; – 0, 83; 1, 16; 0, 44). Подставим значения вектора в формулы

2, 15; – 0, 83; 1, 16; 0, 44 Продолжая вычисления, результаты занесем в таблицу:

k х1 х2 х3 х4 ξ 0 2, 15 – 0, 83 1, 16 0, 44 ∆x 1 1 2, 9719 – 1, 0775 1, 5093 – 0, 4326 0, 8219 2 3, 3555 – 1, 0721 1, 5075 – 0, 7317 0, 3836 3 3, 5017 – 1, 0106 1, 5015 – 0, 8111 0, 1462 4 3, 5511 – 0, 9277 1, 4944 – 0, 8321 0, 0494 5 3, 5637 – 0, 9563 1, 4834 – 0, 8298 0, 0126 6 3, 5678 – 0, 9566 1, 4890 – 0, 8332 0, 0041 7 3, 5760 – 0, 9575 1, 4889 – 0, 8356 0, 0082 8 3, 5709 – 0, 9573 1, 4890 – 0, 8362 -0, 0051 9 3, 5712 – 0, 9571 1, 4889 – 0, 8364 0, 0003 10 3, 5713 – 0, 9570 1, 4890 – 0, 8364 0, 0001 Конец раздела

МЕТОД ГАУССА-ЗЕЙДЕЛЯ (итерационный) ≠ 0 Выразим из уравнений х

Далее выполняются следующие шаги итерации до тех пор, пока разница между предыдущим и последующим значениями х не будет равен или меньше заданной погрешности

Вторая итерация Конец раздела