ИСТОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИИ ВВЕДЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ

• ИСТОРИЯ ТРИГОНОМЕТРИИ • ВВЕДЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИИ

Тригономе трия (от греч. τρίγονο (треугольник) и греч. трия μετρειν (измерять), то есть измерение треугольников) — раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (Bartholomäus Pitiscus, 1561— 1613), а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, геодезии и архитектуре

Эти ученые внесли свой вклад в развитие тригонометрии Архимед Жозеф Луи Лагранж Фалес

Тригонометрия – математическая дисциплина, изучающая зависимость между сторонами и углами треугольника. Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела, при измерении расстояний до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, при контроле системы навигации, в теории музыки, акустике, оптике, электронике, теории вероятностей, статистике, биологии, медицине (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтике, химии, сейсмологии, метеорологии, океанологии, картографии, архитектуре, экономике, электронной технике, машиностроении, компьютерной графике.

• Понятие синуса встречается уже в III в. до н. э. • и имел название джива (тетева лука) , • в IX в. заменено на арабское слово • джайб (выпуклость) , XII в. заменено на латинское • синус (изгиб, кривизна). • Косинус – это дополнительный синус. • Тангенс переводится с латинского • как «касающийся»

с а в Синус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего катета к гипотенузе. Косинус — отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенс — отношение противолежащего катета к прилежащему.

В 1748 году ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР ввел в математику обозначения для синуса и косинуса углов : « sin » и « cos » . В фундаментальном труде « Введение в анализ бесконечных» ученый изложил теорию тригонометрических функций, которая является основой современной математики. Л. ЭЙЛЕР / 1707 -1783 г. г. / Основное тригонометрическое тождество впервые в изложении Эйлера предстало в виде : 2 2 sin α + cos α = 1 ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ

2 α- аргумент 2 sin α +cos α = 1 Аргумент может быть ЛЮБЫМ, но только ОДИНАКОВЫМ для обеих функций. НАПРИМЕР 2 2 sin 30°+ cos 30° =1 2 2 sin t + cos t = 1 2 2 sin (t+3α) + cos (t+3α) =1 ОСНОВНОЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ ТОЖДЕСТВО α= 30° π α= 3 α= t+3

ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ СИНУСА И КОСИНУСА УГЛА 2 2 sin α=1 - cos α 2 2 sin α + cos α = 1 2 sin α = 1 - cos α ЗНАК перед корнем выбирается в зависимости от того, в какой четверти лежит угол α : y sin α y cos α + + - 2 2 cos α=1 - sin α x 2 cos α= 1 - sin α СЛЕДСТВИЕ ИЗ ОСНОВНОГО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО ТОЖДЕСТВА + + x

Зависимость тангенса и котангенса от синуса и косинуса • Синус угла определяется как ордината • точки • Косинус — абсцисса точки • Тангенс – отношение ординаты к абсциссе • точки • Котангенс – отношение абсциссы к ординате • точки

Четность, нечетность синуса, косинуса, тангенса, котангенса Нечетные функции Четная функция

Радианная мера угла центральный угол R С R – радиус С – длина дуги Если R = C, то центральный угол равен одному радиану Радианной мерой угла называется отношение длины соответствующей дуги к радиусу окружности

Градусная и радианная меры углов Угол в градусах Угол в радианах

Таблица значений тригонометрических функций.

Вычислить • • 1 вариант sin (-π/3) cos 2π/3 tg π/6 ctg π/4 cos (-π/6) sin 3π/4 • • 2 вариант cos (-π/4 ) sin π/3 ctg π/6 tg π/4 sin (-π/6) cos 5π/6

Проверим • • Ответы 1 вариант - √ 3/2 - 1/2 √ 3/3 1 √ 3/2 √ 2/2 • • Ответы 2 вариант √ 2/2 √ 3/2 √ 3 1 - 1/2 - √ 3/2

Задача № 1. Найдите cos α, если известно следующее:

• Итак, нам известен синус, а надо найти косинус. Из основного тригонометрического тождества следует: • sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ 3/4 + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1/4 ⇒ cos α = ± 1/2 = ± 0, 5. • Осталось разобраться со знаком перед дробью. По условию, угол α принадлежит промежутку (π 3π/2). Переведем углы из радианной меры в градусную — получим: α ∈ (180°; 270°). • Очевидно, это III координатная четверть, где все косинусы отрицательны. Поэтому cos α = − 0, 5.

Задача № 2. Найдите tg α, если известно следующее:

• Тангенс и косинус связаны уравнением, следующим из основного тригонометрического тождества: • • Получаем: tg α = ± 3. Знак тангенса определяем по углу α. Известно, что α ∈ (3π/2; 2π). Переведем углы из радианной меры в градусную — получим α ∈ (270°; 360°). • Очевидно, это IV координатная четверть, где все тангенсы отрицательны. Поэтому tg α = − 3.

Задача № 3 • В треугольнике ABC угол C равен 90º, sin A=√ 17/7. Найдите tg A.

Решение задачи № 3: • Если в условии нет данных о сторонах и углах, а есть только тригонометрические функции, то воспользуемся формулами:

• Сразу видно, что можно использовать формулу: • • Остаётся из основного тригонометрического тождества sin 2 A + cos 2 A = 1 найти cos. A:

• Таким образом: • • Ответ: 0, 25