История счета и систем счисления Москва 2006 г

История счета и систем счисления Москва, 2006 г. 1

Все есть число! Цифры – символы для изображения чисел. Система счисления – знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита Москва, 2006 г. 2

Системы счисления Позиционные Унарные Непозиционные Москва, 2006 г. 3

Унарные системы Число образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу. Примеры: • зарубки • черточки • палочки Москва, 2006 г. 4

Арифметика каменного века = Единичная система счисления 10 - 11 тыс. лет до н. э. Москва, 2006 г. 5

Непозиционные системы счисления, в которых каждой цифре соответствует величина, не зависящая от её места в записи числа. Египетская Римская XXIV Древнегреческая j Славянская Москва, 2006 г. 6

Египетская нумерация 1 10000 10 100000 10000000 Москва, 2006 г. 7

Римская система счисления Москва, 2006 г. 8

Древнегреческая нумерация j 500 30 2 Москва, 2006 г. 2 500 30 500 2 30 9

Славянская кириллическая нумерация Примеры: Москва, 2006 г. 10

Славянская кириллическая нумерация Знак, обозначающий цифру ( «титло» ) - 1000 - 2000 - 10000 - 200000 - 100000 или - 10000000 - 7000 - 50000 (Тьма) (Легионы) (Леорды) (Вороны) Москва, 2006 г. 11

Позиционные системы счисления, в которых вклад каждой цифры в величину числа зависит от её положения (позиции) в последовательности цифр, изображающей число. Название системы зависит от количества используемых в ней цифр. • Вавилонская • Десятичная • Двоичная • Восьмеричная • Двенадцатеричная и др. Москва, 2006 г. 12

Вавилонская система счисления Москва, 2006 г. 13

Десятичная система счисления Цифры 1234567890 сложились в Индии около 400 г. н. э. Арабы стали пользоваться подобной нумерацией около 800 г. н. э. Примерно в 1200 г. н. э. эту нумерацию начали применять в Европе. Москва, 2006 г. 14

Двоичная система счисления Используются две цифры – 0 и 1 1 0 1 1 Применяются в технических устройствах Москва, 2006 г. 15

Восьмеричная система счисления Используются цифры от 0 до 7 . . . Шведский король Карл XII в 1717 г. увлекся этой системой и собирался ввести ее как общегосударственную Москва, 2006 г. 16

Двенадцатеричная система счисления • Считали фаланги пальцев • Для счета использовали большой палец • Число 12 – дюжина • Имеет больше делителей (2, 3, 4, 6) чем десятичная (2 и 5) Москва, 2006 г. 17

• В сутках две дюжины часов • Час делится на пять дюжин минут • Столовые сервизы на 6 или 12 персон • Набор карандашей или фломастеров Москва, 2006 г. 18

Римская система счисления • • | 1 V 5 X 10 L 50 C 100 D 500 M 1000 Москва, 2006 г. 19

Римская система счисления • Значение числа равно: • сумме значений идущих подряд нескольких одинаковых <цифр>; • разности значений двух <цифр>, если слева от большей<цифры> стоит меньшая. В этом случае от значения большей <цифры> отнимается значение меньшей <цифры>. Москва, 2006 г. 20

Римская система счисления • Число 32 в римской системе счисления имеет вид XXXII=X+Х+X+I+I=30+2 • Число 444 в римской системе счисления будет записано в виде СDХLIV=(D-С)+(L-X)+(V-I)=400+40+4 • Число 1974 в римской системе счисления имеет вид МСМLХХIV=М+(М-С)+L+X+X+(V-I)= =1000+900+50+20+4 Москва, 2006 г. 21

Позиционная система счисления • Количественное значение цифры зависит от её положения в числе • Алфавит, основание, разрядные слагаемые Москва, 2006 г. 22

Десятичная система счисления • Используется десять цифр. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 • Десять единиц одного разряда составляют одну единицу следующего разряда • Число 10 называется основанием системы счисления • 10 -3, 10 -2, 10 -1, 1, 100, 10000 Москва, 2006 г. 23

Десятичная система счисления • 52535=50000+2000+500+30+5 • 52535=5∙ 10000+2 ∙ 1000+5 ∙ 100+3 ∙ 10+5 ∙ 1 • 52535=5∙ 104+2 ∙ 103+5 ∙ 102+3 ∙ 101+5 ∙ 100 • 52535, 854=5∙ 104+2∙ 103+5∙ 102+3∙ 101+5∙ 100+ 8∙ 10 -1+5∙ 10 -2+4∙ 10 -3 Москва, 2006 г. 24

Развернутая форма записи числа Aq=an n+a ∙q n-1+… ∙q +a 2∙q 2+a 1∙q 1+a 0∙q 0+ a-1∙q-1+a-2∙q-2+…a-m∙q-m Москва, 2006 г. 25

Развернутая форма записи числа 52535, 854=5∙ 104+2∙ 103+5∙ 102+3∙ 101+5∙ 100+ 8∙ 10 -1+5∙ 10 -2+4∙ 10 -3 Москва, 2006 г. 26

Двоичная система счисления • Используется две цифры. 0, 1 • Две единицы одного разряда составляют одну единицу следующего разряда • Число 2 называется основанием системы счисления • 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048 Москва, 2006 г. 27