История с геометрией Семь свободных искусств

История с геометрией

Семь свободных искусств • Грамматика • Риторика • Диалектика • Арифметика • Геометрия • Музыка • Астрономия В Древнем Риме Геометрия считалась одним из семи искусств, философ Марциан Капелла в своём трактате «Свадьба Философии и Меркурия» создал визуальные образы всех семи искусств. Искусства олицетворяли женщины с соответствующими атрибутами, Геометрия держит в своих руках глобус и циркуль, которым она может измерять, реже угольник, линейку или компасы.

«Свадьба Философии и Меркурия»

Муза Геометрии Геометрия держит в своих руках книгу и циркуль

Задача Дидоны Согласно легенде, город Карфаген был основан Дидоной, царицей из Тира. Она искала землю, пригодную для нового поселения, но местные жители позволили ей занять только ту территорию, которую она сможет окружить воловьей шкурой. Поняв, что если сделать буквально то, на что рассчитывали туземцы, то она получит очень малый участок земли, царица с большой изобретательностью разрезала шкуру вола на тонкие полоски, а затем разложила их так, чтобы окружить площадь, гораздо большую, чем можно было бы просто покрыть одной шкурой. Математическая задача, с которой встретилась Дидона, заключается в следующем: определить замкнутую кривую данного периметра, ограничивающую максимальную площадь.

Решение задачи Дидоны

Фалес Милетский

Геометрия - землемерие Древнеиндийская задача. Над озером тихим С полфута размером Высился лотоса цвет. Он рос одиноко, И ветер порывом Отнёс его в сторону. Нет Боле цветка над водой. Нашёл же рыбак его Ранней весною В двух футах от места, где рос. Итак, предложу я вопрос: “Как озера вода здесь глубока? ” Какова глубина в современных единицах длины (1 фут приближенно равен 0, 3 м) ?

Пифагор

Теорема Пифагора Задача арабского математика XI в. На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной 30 локтей, другой – 20 локтей. Расстояние между их основаниями – 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую к поверхности воды между пальмами. Они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы появилась рыба? А вот другой вариант этой же задачи !

Архимед

Архимедовы луночки

Аполлоний Пергский

Окружность и точка Аполлония Пусть A' , B' и C' есть точки касания окружности Аполлония с соответствтвующими вневписанными окружностями. Тогда прямые AA' , BB' и CC' пересекаются в одной точке Ap, которую называют точкой Аполлония треугольника ABC.

Аполлоний прославился в первую очередь монографией «Конические сечения» (8 книг), в которой дал содержательную общую теорию эллипса, параболы и гиперболы. Именно Аполлоний предложил общепринятые названия этих кривых; до него их называли просто «сечениями конуса» . Он ввёл и другие математические термины, латинские аналоги которых навсегда вошли в науку, в частности: асимптота, абсцисса, ордината, аппликата. Многие теоремы Аполлония, особенно о максимумах, эволютах, нормалях и т. п. вошли в современные учебники по дифференциальной геометрии конических сечений.

Герон Александрийский Его изобретение - эолипил - не получил должного признания и не был востребован ни в эпоху античности, ни позже, фактически, эолипил Герона является прототипом паровых турбин, появившихся лишь спустя два тысячелетия! Более того, его можно считать одним из первых реактивных двигателей. Для создания божественных чудес жрецам пришлось воспользоваться умом и научными знаниями Герона. Одним из наиболее впечатляющих чудес стал разработанный им механизм, который открывал двери в храм при разжигании огня на алтаре.

Наиболее известна "Метрика" Герона — научный труд, в котором даны определение шарового сегмента, тора, правила и формулы для точного и приближенного вычисления площадей правильных многоугольников, объемов усеченных конуса и пирамиды. В "Метрике" приводится знаменитая формула Герона для определения площади треугольника по трем сторонам, даются правила численного решения квадратных уравнений и приближенного извлечения квадратных и кубических корней.

Задача о кратчайшем пути Значимость данной задачи определяется ее различными практическими применениями. Например в GPS-навигаторах, где осуществляется поиск кратчайшего пути между двумя перекрестками. В качестве вершин выступают перекрестки, а дороги являются ребрами, которые лежат между ними. Сумма расстояний всех дорог между перекрестками должна быть минимальной, тогда найден самый короткий путь.

Гиппарх Работа Гиппарха о хордах окружности (по современным понятиям – синусам), составленные им таблицы, предвосхитившие таблицы тригонометрических функций, послужили отправной точкой для развития хордовой тригонометрии, игравшей важную роль в греческой и мусульманской астрономии.

Евклида обоснованно считают «отцом геометрии» . Именно он заложил основы этой области знаний и возвёл её на должный уровень, открыв обществу законы одного самых сложных разделов математики в то время. После переезда в Александрию, Евклид, как и многие учёные того времени, проводит большую часть времени в Александрийской библиотеке. Этот музей, посвящённый литературе, искусству и наукам, был основан ещё Птолемеем. Здесь Евклид начинает объединять геометрические принципы, арифметические теории и иррациональные числа в единую науку геометрию. Он продолжает доказывать свои теоремы и сводит их в колоссальный труд «Начала» .

Система, которую учёный продолжал разрабатывать в своих «Началах» , станет единственной геометрией, которую будет знать мир вплоть до XIX века. Однако современные математики открыли новые теоремы и гипотезы геометрии, и разделили предмет на «евклидову геометрию» и «неевклидову геометрию» . «Начала» Евклида (Иллюстрация из Парижской рукописи, Начало ХIY века).

Математика Востока, в отличие от древнегреческой, всегда носила более практичный характер: основными областями применения математики были торговля, ремесло, строительство, география, астрономия, механика, оптика, наследование. В начале IX века научным центром становится Багдад, где создают «Дом мудрости» , в который приглашаются виднейшие учёные всего исламского мира. В целом, эпоха исламской цивилизации в математических науках может быть охарактеризована не как эпоха поиска новых знаний, но — как эпоха передачи и улучшения знаний, полученных от греческих математиков. Типичные сочинения авторов этой эпохи, дошедшие до нас в большом количестве — это комментарии к трудам предшественников и учебные курсы по арифметике, алгебре, сферической тригонометрии и астрономии.

Ал-Хорезми заведовал библиотекой «Дома мудрости» , изучал индийские и греческие знания, он написал книгу «Об индийском счёте» , способствовавший популяризации позиционной системы во всём мире. В XII веке эта книга переводится на латинский, от имени её автора происходит наше слово «алгоритм» . Другое сочинение ал-Хорезми, «Краткая книга об исчислении аль-джабра и аль-мукабалы» оказало большое влияние на европейскую науку и породило ещё один современный термин «алгебра» .

Ал-Бируни Одним из величайших учёных-энциклопедистов исламского мира был Ал-Бируни. Книга Ал-Бируни содержит приближённое вычисление стороны правильного вписанного девятиугольника, хорды дуги в 1°, числа пи.

Омар Хайам Прославленный поэт и математик, он внёс вклад в математику своим сочинением «О доказательствах задач алгебры и аль-мукабалы» , где изложил оригинальные геометрические методы решения кубических уравнений: неизвестное строилось как точка пересечения двух подходящих конических сечений. В своих исследованиях Омар Хайам опирался прежде всего на опыт греческой и эллинистической науки — Аристотеля, Евклида. Однако он сумел дополнить уже известное и создать новую, мощную математику с определяющей вычислительно-алгоритмической компонентой.

Рубаи

Западная Европа В земледельческом обществе этого периода, почти что отсутствовали факторы, которые содействовали бы развитию математики даже непосредственно практического характера. Математика в монастырях сводилась всего лишь к скромной арифметике церковного назначения. Известное значение среди этих математиков-церковников приобрел уроженец Британии Алкуин, связанный с двором Карла Великого. Его написанные по-латыни «Задачи для оттачивания ума юношей» содержат подборку задач, многие из этих задач восходят еще к древнему Востоку. Например: «Собака гонится за кроликом, который находится впереди нее в 150 футах, и при каждом прыжке делает 9 футов, в то время как кролик прыгает на 7 футов. За сколько прыжков собака нагонит кролика? »

Леонардо Фибоначчи Торговля с Востоком оживляет западную науку, первым из этих купцов, чьи математические работы выявляют известную зрелость, был Леонардо из Пизы. Леонардо, которого называли также Фибоначчи , путешествовал по Востоку как купец. Вернувшись, он написал свою «Книгу абака» (Liber abaci, 1202 г. ), заполненную арифметическими и алгебраическими сведениями, собранными им во время путешествий. В книге «Практика геометрии» (Practica geometriae, 1220 г. ) Леонардо подобным же образом рассказывает о том, что он открыл в области геометрии и тригонометрии. Впрочем, он цитирует и Ал-Хорезми, . Задача же, которая приводит к «ряду Фибоначчи» : 0, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, каждый член которого есть сумма двух ему предшествующих, по-видимому, является новой.

Циркуль Фибоначчи Однако, уже в фасаде древнегреческого храма Парфенона присутствуют золотые пропорции, о которых говорит Фибоначчи. При его раскопках были обнаружены циркули, которыми пользовались архитекторы и скульпторы античного мира. В Помпейском циркуле (музей в Неаполе) также заложены пропорции золотого деления.

Жерар Дезарг В строительстве, архитектуре и живописи необходимы расчеты перпективы изображений. Жерар Дезарг был архитектором в Лионе, он автор книги о перспективе (1636 г. ). Его брошюра с любопытным названием «Первоначальный набросок попытки разобраться в том, что получается при встрече конуса с плоскостью» (1639 г. ) содержит некоторые из основных понятий проективной геометрии такие, как точки на бесконечности, инволюции, полярные соотношения. Свою «теорему Дезарга» о перспективном отображении треугольников он обнародовал в 1648 г. Плодотворность этих идей в полной мере раскрылась лишь в девятнадцатом столетии.

Теорема Дезарга

Блез Паскаль

Гаспар Монж, будучи великим математиком и инженером, рассматривал свою начертательную геометрию не как математику, а как область графики, для которой математика служила подсобным средством. Изречение Монжа «чертеж — язык техника» говорит о прикладном значении, которое Монж придавал той науке, создателем которой сам и явился. Гаспар Монж свел невозможные фактически «чертежные» построения в пространстве трех измерений к действиям над двумя ортогональными проекциями какого-либо тела, получаемыми на двух, неизменно связанных между собою, взаимно перпендикулярных координатных плоскостях, служащих плоскостями проекций.

Начертательная геометрия

Рене Декарт В рассматриваемую эпоху все выдающиеся философы были математиками и все выдающиеся математики были философами. В поисках новых изобретений иногда непосредственно приходили к математическим открытиям. Декарт опубликовал свою «Геометрию» в качестве применения своего общего метода объединения, в данном случае объединения алгебры и геометрии. Согласно общепринятой точке зрения заслуга книги Декарта состоит главным образом в создании так называемой аналитической геометрии

Аналитическая геометрия В основе этого метода лежит так называемый метод координат, впервые применённый Декартом. Каждой линии соответствует некоторое уравнение, связывающее координаты фигуры или тела. Декарт построил такие уравнения для алгебраических кривых и провёл их классификацию.

Векторы

Джозайя Гиббс

Леонард Эйлер

Леонард Эйлер (1707 -1783) — швейцарский, немецкий и российский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук. Эйлер — автор более чем 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др. Почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление российской науки. В 1726 году он был приглашён работать в Санкт-Петербург, Хорошо знал русский язык и часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском. Первые русские академики-математики и астрономы были учениками Эйлера. Некоторые из его потомков до сих пор живут в России.

Слепой Эйлер, пользуясь своей феноменальной памятью, продолжал диктовать свои открытия. В течение его жизни увидели свет 530 его книг и статей; умирая, он оставил много рукописей, которые Петербургская академия публиковала в течение последующих 47 лет. Несколько статей посвящены занимательной математике (семь кёнигсбергских мостов, задача о шахматном коне).

Именно Эйлер создал несколько новых математических дисциплин — теорию чисел, вариационное исчисление, теорию комплексных функций, дифференциальную геометрию поверхностей, специальные функции. Другие области его трудов: диофантов анализ, астрономия, оптика, акустика, статистика и т. д. Познания Эйлера были энциклопедичны; кроме математики, он глубоко изучал ботанику, медицину, химию, теорию музыки. Число вершин (В), граней (Г) и рёбер (Р) у любого выпуклого многогранника связаны простой формулой: В + Г = Р + 2.

Карл Фридрих Гаусс

Карл Гаусс предложил также явный способ построения с помощью циркуля и линейки правильного 17 -угольника. Это событие Гаусс посчитал столь значительным, что отметил его в «Дневнике» и завещал высечь правильный 17 -угольник на своем надгробии (воля Гаусса была исполнена). В 1818 Карл Гаусс одним из первых начинает размышлять над созданием неевклидовой геометрии, но от публикации полученных результатов воздерживается, опасаясь, по собственному признанию, возражений и насмешек невежд. В основе этого фундаментального труда лежат также принадлежащие Гауссу идеи так называемой внутренней геометрии поверхности. Если поверхность изгибать не растягивая, то ее внутренние свойства остаются неизменными. Впоследствии по образу и подобию внутренней геометрии поверхностей Гаусса была создана многомерная риманова геометрия.

Неэвклидова геометрия По определению Евклида параллельные линии — прямые, лежащие в одной плоскости и никогда не встречающиеся, как бы далеко мы их ни продолжали. В 1799 году гениальный математик Карл Гаусс пошел по пути планомерного вывода всех следствий, но его размышления привели к сомнению в возможности доказать аксиому Евклида, и к 1816 году у математика созрело убеждение в невозможности такого доказательства. Из этих пересмотренных постулатов следовало, что возможна геометрия, где параллельных прямых не существует, что сумма углов треугольника, равная 180° в евклидовой геометрии, больше 180° в эллиптической геометрии и меньше 180° в гиперболической геометрии.

Николай Лобачевский Громкая слава Лобачевского основана на его геометрических изысканиях. К 1826 г. он определил разработанную им систему как «воображаемую геометрию» в отличие от «употребительной» , евклидовой. Открытие Лобачевского было впервые представлено в статье «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» ( «Учёные записки Казанского университета» , 1835 г. ).

Георг Риман При измерениях на участках земной поверхности, малых в сравнении с размерами земного шара, можно с успехом применять обычную планиметрию, однако результаты измерений на больших участках обнаруживают существенное отклонение от законов планиметрии. Перенесение этих понятий на многомерные пространства приводит к общей геометрии.

Лента Мёбиуса и бутылка Клейна

Топология

Геометрическое моделирование

Машинная графика

Проектирование

Фракталы

Бенуа Мандельброт Первые примеры самоподобных множеств с необычными свойствами появились в XIX веке в результате изучения непрерывных недифференцируемых функций. Термин «фрактал» введён Бенуа Мандельбротом в 1975 году и получил широкую известность с выходом его книги «Фрактальная геометрия природы» . Особую популярность фракталы обрели с развитием компьютерных технологий, позволивших эффектно показать эти структуры. Для фрактала увеличение масштаба не ведёт к упрощению структуры, то есть на всех шкалах можно увидеть одинаково сложную картину. Многие объекты в природе обладают свойствами фрактала, например: побережья, облака, кроны деревьев, снежинки, кровеносная система, система альвеол человека или животных.

Интернет источники Картинка. Раскрытая книга. http: //dl. mehradco. com/src/Gallery/Pritable. Photo/Book/Book-17 www. mehrad-co. com(L). jpg http: //all-biography. ru/evklid. html#ixzz 4 Ailyl. YQt